沪科版九年级下册第24章 圆24.4 直线与圆的位置关系24.4.2 切线的判定与性质精品练习题

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题24.9切线的判定与性质

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•鹿城区模拟）如图，直线与相切于点，交于点，连接，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】先根据切线的性质得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后计算即可．

【解析】直线与相切于点，

，

，

，

，

．

故选：．

2．（2021•镇江）如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．

【解析】连接，

与边相切于点，

，

，

，

，

故选：．

3．（2021•嘉善县一模）如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】根据切线的性质得出，，求出，求出，根据圆周角定理求出，再求出答案即可．

【解析】，分别与相切于点，点，

，，

，

，

，

是直径，

，

，

故选：．

4．（2019•苏州）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案．

【解析】为的切线，

，

，

，

，

，

，

；

故选：．

5．（2019春•徐汇区校级月考）如图，在的内接四边形中，是的直径，，过点的切线与直线交于点，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】连接，先利用圆内接四边形的性质得，再根据证得是等边三角形，得出，由切线的性质可得，然后利用互余计算的度数．

【解析】连接，如图，

，

，

，

是等边三角形，

，

为切线，

，

，

，

故选：．

6．（2021秋•北碚区校级月考）如图，已知的半径为2，与相切，连接并延长，交于点，过点作，交于点，连接，若，则弦的长为　　

A．3 B．5 C． D．

【分析】交于，交于，连接、，如图，根据切线的性质得到，则，再利用垂径定理得到，，所以，，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．

【解析】交于，交于，连接、，如图，

与相切，

，

，

，

，

，，

，

，

在中，，

，

，

在中，．

故选：．

7．（2021•新吴区二模）如图，正方形的顶点、在上，边与相切，若正方形的周长记为，的周长记为，则、的大小关系为　　

A． B． C． D．无法判断

【分析】连接，延长交于点，连接，由切线的性质证明，设的半径为，正方形的边长为，则，，由勾股定理得出，解得．比较与的大小则可得出答案．

【解析】连接，延长交于点，连接，

与相切，

，

四边形是正方形，

，，

，

四边形为矩形，，

，

设的半径为，正方形的边长为，则，

，

在中，，

即，

解得．

正方形的周长，的周长，

，

，

故选：．

8．（2021秋•鹿城区校级月考）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在优弧上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理解答即可．

【解析】为的切线，

，

，

，

由圆周角定理得：，

故选：．

9．（2021•金华模拟）如图，在中，，，，有一过点的动圆与斜边相切于动点，连接．随着切点的位置不同，则圆的半径最小值为　　

A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2

【分析】如图，作于点，当、、在同一条直线上时半径最小，利用圆的切线性质得出的半径的最小值，进而得出答案．

【解析】如图，作于点，

当、、在同一条直线上时半径最小，

，，，

，

，

即，

解得：，

即半径最小值为：1.2，

故选：．

10．（2021•福建模拟）如图，等边的周长为，半径为2的从与相切于点的位置出发，在外部按顺时针的方向沿三角形滚动，又回到与相切于点的位置则，则自转了　　

A．2周 B．3周 C．4周 D．5周

【分析】这个圆的运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数．

【解析】圆在三边运动自转周数：，

当圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：，即一周，

自转了周，

故选：．

二．填空题（共8小题）

11．（2021•南岗区模拟）如图，在中，，点在上，以为半径的与相切于点，若，则的长为 　12　．

【分析】连接，如图，利用切线的性质得到，再由得到，利用圆周角定理得到，则可根据三角形内角和计算出，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出、，从而得到的长．

【解析】连接，如图，

与相切于点，

，

，

，

，

，

而，

，解得，

，

，，

．

故答案为12．

12．（2021•杭州）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连结，则　　．

【分析】根据圆的切线性质可得出为直角三角形，再利用勾股定理求得长度．

【解析】是的切线，为切点，

，

在中，，，

，

故：．

13．（2021•温州）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到△，使点落在上，边交线段于点．若，则　85　度．

【分析】根据切线的性质得到，连接，如图，再根据旋转的性质得，，，则判断△为等边三角形得到，所以，然后利用三角形外角性质计算．

【解析】与的边相切，

，

，

连接，如图，

绕点按顺时针方向旋转得到△，

，，，

，

△为等边三角形，

，

，

．

故答案为85．

14．（2021•徐州模拟）如图，是的切线，点为切点，交于点，，点在上，，则　　．

【分析】连接，如图，关键切线的性质得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则根据平行线的性质得到，然后根据圆周角定理求解．

【解析】连接，如图，

是的切线，点为切点，

，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为．

15．（2021•宁波模拟）如图，已知与相切于点，是上一点，连接，若，，的半径为5，则的面积　　．

【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，由切线的性质得出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长，根据三角形面积公式可求出答案．

【解析】连接，，过点作于点，过点作于点，

与相切于点，

，

，

，

，

，

，，，

，

，

，

．

故答案为．

16．（2021•越秀区校级二模）如图，在中，，，．以上的一点为圆心，为半径作与相切于点，则的半径为　　．

【分析】连接，根据勾股定理得到，由切线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解析】连接，

在中，，，．

，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

，

的半径为，

故答案为：．

17．（2021•凉山州）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 　3　．

【分析】连接、，作于，如图，根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，由切线的性质得到，根据勾股定理得到，推出当点运动到点时，最小，于是得到结论．

【解析】连接、，作于，如图，

等边三角形的边长为4，

，，

，，

为的切线，

，

在中，，

点是边上一动点，

当点运动到点时，最小，

即的最小值为，

的最小值为，

故答案为：3．

18．（2020秋•潢川县期末）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为　4　．

【分析】连接、，由切线性质可知，且，则当最小时，最小，故当与直线垂直时，最小，再利用等腰直角三角形的性质可求得的值，由勾股定理可求得答案．

【解析】连接，，

为的切线，

，且，

当最小时，最小，

当与直线垂直时，最小，

如图，设直线交轴、轴于点、，

则，，

，

，

，即的最小值为，

的最小值，

故答案为：4．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021•资兴市模拟）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．

（1）证明：是的切线；

（2）若半径为3，，求的长．

【分析】（1）连接，推出，推出，推出，根据切线的判定推出即可；

（2）过点作，证得四边形为矩形，，得出，由勾股定理可求出答案．

【解析】（1）证明：如图1，连接．

，

，

平分，

，

，

，

，

，

点在上，

是的切线；

（2）解：如图2，过点作，

，

四边形为矩形，，

，

，

，

是的直径，

，

在中，，，

，

答：的长为．

20．（2020•广安）如图，是的直径，点在的延长线上，平分交于点，于点．

（1）求证：直线是的切线．

（2）如果，，求线段的长．

【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出，则，证得，则可得出结论；

（2）连接，设，由勾股定理得出，证明，由相似三角形的性质可求出答案．

【解析】证明：（1）如图1，连接，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

，

，

是的切线；

（2）解：如图1，连接，

设，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

21．（2021•温州模拟）如图，在中，，以为直径的交于点，为弧上一点，且是弧的中点，过点作，交线段的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若的直径为8，，求的值．

【分析】（1）连接，，交点为点，由圆周角定理证出，得出，则可得出结论；

（2）由勾股定理求出，由直角三角形的性质得出，根据锐角三角函数的定义可得出答案．

【解析】（1）证明：连接，，交点为点，

是弧的中点，

，

为的直径，

，

，

，

，

为的切线；

（2）解：为的直径，

，

，

，

，

设，，由勾股定理得，，

，

，

，

为的中点，

，

，

，

，

设，，

，

解得，

．

22．（2021•南山区二模）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作线段，交于点且．

（1）求证：直线是的切线．

（2）如果，，求弦的长．

【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出，则，则可得出结论；

（2）先根据勾股定理求出，，的长，证明，得出比例线段即可求出的长．

【解析】（1）证明：连接，

，

，

，

，

，

，

，

，

为的直径，

，

，

，

，

，

是的切线；

（2）解：在中，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，，

在和中，

，，

，

，

即，

．

23．（2019•朝阳）如图，四边形为菱形，以为直径作交于点，连接交于点，是上的一点，且，连接．

（1）求证：是的切线．

（2）若，，求的半径．

【分析】（1）证明，可得，证出，即，是的切线．

（2）连接，求出，在和中，可得，解方程可求出的长．则可求出．

【解析】（1）证明：如图1，连接，

四边形为菱形，

，，，

，

，

即，

，

，

是的直径，

，

，

，

，

是的半径，

是的切线；

（2）解：如图2，连接，

是的直径，

，

，

，，

，

在和中，

，，

，

，

，

．

的半径为．

24．（2021•定陶区一模）如图，为直径，、为上异于、的两点，连接．过点作，垂足为，直线与相交于点．

（1）若，求证：为的切线；

（2）若半径为，，求的长．

【分析】（1）连接，根据同圆的半径相等推角相等，再通过已知角的关系推，证明，从而证明为的切线；

（2）连接，由圆周角定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出则可得出答案．

【解析】证明：（1）如图，连接，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是的半径，

为的切线．

（2）解：连接，

，

，

，

设，则，

半径为，

，

，

，

，

．