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人教版九年级数学上册举一反三专题24.6直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】(原卷版+解析)
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这是一份人教版九年级数学上册举一反三专题24.6直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】(原卷版+解析)，共46页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12366" 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc12366 \h 2
\l "_Tc4998" 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 PAGEREF _Tc4998 \h 2
\l "_Tc17339" 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 PAGEREF _Tc17339 \h 3
\l "_Tc7539" 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 PAGEREF _Tc7539 \h 4
\l "_Tc10609" 【题型5 定义法判断切线】 PAGEREF _Tc10609 \h 5
\l "_Tc29043" 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 PAGEREF _Tc29043 \h 6
\l "_Tc28461" 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 PAGEREF _Tc28461 \h 7
\l "_Tc26544" 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc26544 \h 8
\l "_Tc4167" 【题型9 利用切线的性质求角度】 PAGEREF _Tc4167 \h 9
\l "_Tc27282" 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc27282 \h 10
【知识点1 直线与圆的位置关系】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．直线l与⊙O相交B．直线l与⊙O相切
C．直线l与⊙O相离D．无法确定
【变式1-2】（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2−1的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．三种情况均有可能
【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】（2022秋•北仑区期末）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．3B．5C．6D．10
【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
A．0≤r≤125B．125≤r≤3C．125≤r≤4D．3≤r≤4
【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4B．3≤r＜5C．3≤r＜4D．3≤r≤5
【变式2-3】（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜22B．﹣42≤b≤42C．﹣22＜b＜22D．﹣42＜b＜42
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】（2022秋•武汉期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【变式3-1】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．0或1或2
【变式3-3】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画圆．
（1）当r＝ 时，⊙C与边AB相切；
（2）当r满足 时，⊙C与边AB只有一个交点；
（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【变式4-1】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 ．
【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定： = 1 \* GB3 ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
= 2 \* GB3 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
= 3 \* GB3 ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型5 定义法判断切线】
【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【变式5-1】（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【变式5-2】（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【变式5-3】（2022秋•慈溪市期末）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP＝5B．OE＝OF
C．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】
【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE是⊙O的切线．
【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【变式6-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
求证：BC是圆O的切线．
【变式6-3】（2022秋•武夷山市期末）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【变式7-1】（2022秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆
【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【变式7-3】（2022秋•丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论： = 1 \* GB3 ①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
= 2 \* GB3 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型8 利用切线的性质求线段长度】
【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点C是切点，弦CF⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DCF；
（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD的长．
【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O的半径是 ．
【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（ ）
A．4B．22C．23D．26
【题型9 利用切线的性质求角度】
【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【变式9-1】（2022秋•香洲区期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 ．
【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】
【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD＝AB，以线段AB为直径作⊙O，分别交BD，AC于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BC＝4，求点B到AC的距离．
【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为
则有：
相交：直线和圆有两个公共点
直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点
直线和相切
相离：直线和圆没有公共点
直线和相离
专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12366" 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc12366 \h 2
\l "_Tc4998" 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 PAGEREF _Tc4998 \h 4
\l "_Tc17339" 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 PAGEREF _Tc17339 \h 6
\l "_Tc7539" 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 PAGEREF _Tc7539 \h 9
\l "_Tc10609" 【题型5 定义法判断切线】 PAGEREF _Tc10609 \h 13
\l "_Tc29043" 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 PAGEREF _Tc29043 \h 15
\l "_Tc28461" 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 PAGEREF _Tc28461 \h 19
\l "_Tc26544" 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc26544 \h 23
\l "_Tc4167" 【题型9 利用切线的性质求角度】 PAGEREF _Tc4167 \h 27
\l "_Tc27282" 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc27282 \h 30
【知识点1 直线与圆的位置关系】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．直线l与⊙O相交B．直线l与⊙O相切
C．直线l与⊙O相离D．无法确定
【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
【变式1-2】（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2−1的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．三种情况均有可能
【分析】设P（t，14t2﹣1），利用两点间的距离公式计算出OP=14t2+1，再计算出P点到直线y＝﹣2的距离为14t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y＝﹣2相切．
【解答】解：设P（t，14t2﹣1），
∴OP=t2+(14t2−1)2=(14t2+1)2=14t2+1，
∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴P点在直线y＝﹣2的上方，
∴P点到直线y＝﹣2的距离为14t2﹣1﹣（﹣2）=14t2+1，
∴P点到直线y＝﹣2的距离等于圆的半径，
∴以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是相切．
故选：B．
【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断．
【解答】解：∵直线l1与⊙O相切，
∴圆心O到一条直线l1的距离为5，
∵直线l2与⊙O相离，
∴圆心O到一条直线l2的距离大于5，
∵直线l3与l4与⊙O相交，
∴圆心O到一条直线l3和直线l4的距离都小于5，
而圆心O到直线l3的距离较小，
∴圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3．
故选：C．
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】（2022秋•北仑区期末）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．3B．5C．6D．10
【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
A．0≤r≤125B．125≤r≤3C．125≤r≤4D．3≤r≤4
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r=125，
当直线与圆如图所示也可以有交点，
∴125≤r≤4．
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4B．3≤r＜5C．3≤r＜4D．3≤r≤5
【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC=AB2+BC2=5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜22B．﹣42≤b≤42C．﹣22＜b＜22D．﹣42＜b＜42
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B（0，b），
当y＝0时，x＝b，则与y轴的交点是A（b，0），
则OA＝OB＝b，即△OAB是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，
AB=OA2+OB2=b2+b2=2b，
连接圆心O和切点C，则OC＝4，OC⊥AB，
∵S△AOB=12OA•OB=12AB•OC，
∴4=OA⋅OBAB=b⋅b2b，
则b＝42；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣42；
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣42＜b＜42．
故选：D．
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】（2022秋•武汉期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
【变式3-1】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为：AB⋅ACBC=4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．0或1或2
【分析】根据当圆的半径r＞圆心到直线的距离d时，直线与圆相交，即可得出直线l和这个圆的公共点的个数．
【解答】解：∵圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，
∴r＞d，
∴直线与圆相交，
∴这条直线和这个圆的公共点的个数为2．
故选：C．
【变式3-3】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画圆．
（1）当r＝ 2.4 时，⊙C与边AB相切；
（2）当r满足 3＜r≤4或r＝2.4 时，⊙C与边AB只有一个交点；
（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．
【分析】（1）当⊙C与边AB相切时，则d＝r，由此求出r的值即可；
（2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案；
（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数由0个、1个、2个三种情况．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝2.4，
故答案为：r＝2.4．
（2）①当直线与圆相切时，即d＝r＝2.4，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
②当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，
∴3＜r≤4，
故答案为：3＜r≤4或r＝2.4；
（3）①如图3，当0≤r＜2.4时，圆C与边AB有0个交点；
②如图1，当r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
③如图4，当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点；
④如图2，当3＜r≤4时，圆C与边AB有1个交点；
⑤如图5，当r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
综上所述，当0≤r＜2.4或r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
当3＜r≤4或r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点．
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题
【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．
∵C（1，0），直线AB的解析式为y=34x+3，
∴直线CH的解析式为y=−43x+43，
由 y=−43x+43y=34x+3解得x=−45y=125，
∴H（−45，125），
∴CH=(1+45)2+(125)2=3，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，
∴EH＝3﹣1＝2，
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=12×5×2＝5，
故选：A．
【变式4-1】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 13 ．
【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵∠POA＝90°，
∴PA=OA2+OP2=4+OP2，
当OP最小时，PA取最小值，
由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，
∴PA的最小值为：4+32=13，
故答案为：13．
【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 7 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 21 ．
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP=OA2−PA2=21，
故答案为：7，21．
【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【解答】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB=BC2+QC2=13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定： = 1 \* GB3 ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
= 2 \* GB3 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
= 3 \* GB3 ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型5 定义法判断切线】
【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B．
【解答】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，
A、如图EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、如图，EF⊥半径OA，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
D、如上图，EF⊙O有公共点，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
故选：B．
【变式5-1】（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，
故A，B，D选项不正确，C选项正确，
故选：C．
【变式5-2】（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案．
【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误．
（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，原命题正确．
（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确．
（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误．
故选：A．
【变式5-3】（2022秋•慈溪市期末）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP＝5B．OE＝OF
C．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
【解答】解：
∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】
【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的性质解答即可；
（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AF⊥BC，根据平行线的性质得到AF⊥AE，根据切线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（2）证明：连接AO并延长交BC于F，
∵AB＝AC，
∴AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴AF⊥AE，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB＝23；
（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，
∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，
∴∠AOC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD=12OA=12×2＝1，
∴AD=3OD=3，
又∵OP⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝23；
（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，
而OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴C是OP的中点，
∴CP＝CO＝CB，
∴∠CBP＝∠P，
而∠OCB＝∠CBP+∠P，
∴∠CBP＝30°
∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线．
【变式6-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
求证：BC是圆O的切线．
【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠CAD＝∠ODA，根据平行线的判定得出OD∥AC，求出OD⊥BC，再根据切线的判定推出即可．
【解答】证明：连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∵OD过圆心O，
∴BC是圆O的切线．
【变式6-3】（2022秋•武夷山市期末）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．
【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD＝DF
∴AC与⊙D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；
∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【变式7-1】（2022秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵OD⊥a于D，
∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．
故选：D．
【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵圆心到直线的距离等于半径，
∴AC是⊙O的切线．
【变式7-3】（2022秋•丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．
【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE＝OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF＝OE＝OA，即可判定CD是⊙O的切线；
（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA＝r，可得OE＝EC＝r，由勾股定理求得OC=2r，则可得方程r+2r＝102，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．
∵BC切⊙O于点E，
∴OE⊥BC，OE＝OA，
又∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴OF＝OE＝OA，
即：CD是⊙O的切线．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，
∴AB＝BC＝10，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC=AB2+BC2=102，
∵OE⊥BC，
∴OE＝EC，
设OA＝r，则OE＝EC＝r，
∴OC=OE2+EC2=2r，
∵OA+OC＝AC，
∴r+2r＝102，
解得：r＝20﹣102．
∴⊙O的半径为：20﹣102．
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论： = 1 \* GB3 ①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
= 2 \* GB3 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型8 利用切线的性质求线段长度】
【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点C是切点，弦CF⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DCF；
（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠CAE，根据等角的余角相等可得出结论；
（2）根据垂径定理得到CE=12CF＝4，根据勾股定理求出⊙O的半径，根据角平分线的性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACF+∠CAE＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAE，
∴∠ACD＝∠ACF；
（2）解：由（1）可知，∠ACD＝∠ACF．
∵CF⊥AB，CF＝8，
∴CE=12CF＝4，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3，
在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2＝8，
∵∠ACD＝∠ACF，AD⊥CD，CF⊥AB，
∴AD＝AE＝8．
【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【解答】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，OA=OB2−AB2=132−122=5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在Rt△OAH中，AH=OA2−OH2=52−32=4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O的半径是 4 ．
【分析】连接OB，OD，根据切线的性质得到∠OBE＝∠ODE＝90°，延长AB，CD交于E，求得∠AEC＝90°，根据正方形的性质得到BE＝DE＝OB，设⊙O的半径是r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OD，
∵AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
延长AB，CD交于E，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEB是矩形，
∵OB＝OD，
∴四边形ODEB是正方形，
∴BE＝DE＝OB，
设⊙O的半径是r，
∴AE＝r+2，CE＝r+4，
∵AE2+CE2＝AC2，
∴（r+2）2+（r+4）2＝102，
解得：r＝4（负值舍去），
∴⊙O的半径是4，
故答案为：4．
【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（ ）
A．4B．22C．23D．26
【分析】如图，连接OA、OD，构造等腰直角△AOD和直角△AOB．首先利用勾股定理求得OA的长度，然后通过解直角△AOB求得边AB的长度．
【解答】解：如图，连接OA、OD，
∵∠C＝45°．
∴∠AOD＝2∠C＝90°．
又∵OA＝OD，AD＝4，
∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝22．
又∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°．
∵∠B＝30°，OA＝22，
∴AB=3OA＝26．
故选：D．
【题型9 利用切线的性质求角度】
【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．
【解答】
解：（Ⅰ）连接BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP＝65°，
∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
＜∠AOP＝∠BPO+∠C，
∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，
∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，
∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，
∵OC∥BD，
∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，
∴∠OBD＝2x，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝2x，
∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝90°﹣2x＝30°．
【变式9-1】（2022秋•香洲区期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
【分析】根据题意可以求得∠OAP和∠OBP的度数，然后根据∠BAC＝35°，即可求得∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°．
【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 55°或125° ．
【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
当点C在劣弧AB上，则∠ACB=12∠AOB＝55°，
当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．
则∠ACB的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．
【分析】（Ⅰ）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；
（Ⅱ）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出∠ABC＝2∠C，即可求出∠C．
【解答】解：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴DA⊥AO，
∴∠DAO＝90°，
∴∠DAB+∠BAO＝90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠DAB，
（Ⅱ）∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∵AD＝AC，
∴∠D＝∠C，
∴∠OAC＝∠D，
∵∠OAC＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠D+∠DAB，
∴∠ABC＝2∠D，
∵∠D＝∠C，
∴∠ABC＝2∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴2∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠E＝∠C＝30°
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】
【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD＝AB，以线段AB为直径作⊙O，分别交BD，AC于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BC＝4，求点B到AC的距离．
【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠DAE，进而征得∠BAE＝∠CBD，得到∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，根据切线的判定即可证得BC是⊙O的切线；
（2）连接BF，可得AF⊥AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB＝3，AC＝5，由三角形的面积公式即可求出BF．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BD，∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AD＝AB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵∠BAC＝2∠CBD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接BF，
∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥AC，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，BC＝4，AC＝AD+CD＝AB+2，
∴AB2+42＝（AB+2）2，
∴AB＝3，
∴AC＝5，
∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BF，
∴BF=AB⋅BCAC=3×45=125，
即点B到AC的距离为125．
【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，求出∠ACB+∠CAB＝90°，求出∠OAD＝90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OA=12OD，求出OA，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴OA=12OD=12（OB+BD），
∵OA＝OB，BD＝2，
∴OA＝2，
∴AC＝2OA＝4．
【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的长为6．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，又AD＝4，∠D＝60°，即得AB=3BD＝23，根据∠ABC＝45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF＝BF=22AB=6，又△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，得AC＝22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC＝BF+CF=6+2．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点A作AF⊥BC于F，如图：
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD=12AD＝2，
∴AB=3BD＝23；
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF=22AB=22×23=6，
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴AC＝22，
∴CF=AC2−AF2=(22)2−(6)2=2，
∴BC＝BF+CF=6+2．
答：线段AB的长为23，线段BC的长为6+2．直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为
则有：
相交：直线和圆有两个公共点
直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点
直线和相切
相离：直线和圆没有公共点
直线和相离
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12366" 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc12366 \h 2
\l "_Tc4998" 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 PAGEREF _Tc4998 \h 2
\l "_Tc17339" 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 PAGEREF _Tc17339 \h 3
\l "_Tc7539" 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 PAGEREF _Tc7539 \h 4
\l "_Tc10609" 【题型5 定义法判断切线】 PAGEREF _Tc10609 \h 5
\l "_Tc29043" 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 PAGEREF _Tc29043 \h 6
\l "_Tc28461" 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 PAGEREF _Tc28461 \h 7
\l "_Tc26544" 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc26544 \h 8
\l "_Tc4167" 【题型9 利用切线的性质求角度】 PAGEREF _Tc4167 \h 9
\l "_Tc27282" 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc27282 \h 10
【知识点1 直线与圆的位置关系】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．直线l与⊙O相交B．直线l与⊙O相切
C．直线l与⊙O相离D．无法确定
【变式1-2】（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2−1的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．三种情况均有可能
【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】（2022秋•北仑区期末）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．3B．5C．6D．10
【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
A．0≤r≤125B．125≤r≤3C．125≤r≤4D．3≤r≤4
【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4B．3≤r＜5C．3≤r＜4D．3≤r≤5
【变式2-3】（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜22B．﹣42≤b≤42C．﹣22＜b＜22D．﹣42＜b＜42
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】（2022秋•武汉期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【变式3-1】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．0或1或2
【变式3-3】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画圆．
（1）当r＝ 时，⊙C与边AB相切；
（2）当r满足 时，⊙C与边AB只有一个交点；
（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【变式4-1】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 ．
【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定： = 1 \* GB3 ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
= 2 \* GB3 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
= 3 \* GB3 ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型5 定义法判断切线】
【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【变式5-1】（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【变式5-2】（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【变式5-3】（2022秋•慈溪市期末）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP＝5B．OE＝OF
C．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】
【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE是⊙O的切线．
【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【变式6-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
求证：BC是圆O的切线．
【变式6-3】（2022秋•武夷山市期末）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【变式7-1】（2022秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆
【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【变式7-3】（2022秋•丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论： = 1 \* GB3 ①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
= 2 \* GB3 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型8 利用切线的性质求线段长度】
【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点C是切点，弦CF⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DCF；
（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD的长．
【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O的半径是 ．
【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（ ）
A．4B．22C．23D．26
【题型9 利用切线的性质求角度】
【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【变式9-1】（2022秋•香洲区期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 ．
【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】
【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD＝AB，以线段AB为直径作⊙O，分别交BD，AC于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BC＝4，求点B到AC的距离．
【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为
则有：
相交：直线和圆有两个公共点
直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点
直线和相切
相离：直线和圆没有公共点
直线和相离
专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12366" 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc12366 \h 2
\l "_Tc4998" 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 PAGEREF _Tc4998 \h 4
\l "_Tc17339" 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 PAGEREF _Tc17339 \h 6
\l "_Tc7539" 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 PAGEREF _Tc7539 \h 9
\l "_Tc10609" 【题型5 定义法判断切线】 PAGEREF _Tc10609 \h 13
\l "_Tc29043" 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 PAGEREF _Tc29043 \h 15
\l "_Tc28461" 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 PAGEREF _Tc28461 \h 19
\l "_Tc26544" 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc26544 \h 23
\l "_Tc4167" 【题型9 利用切线的性质求角度】 PAGEREF _Tc4167 \h 27
\l "_Tc27282" 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc27282 \h 30
【知识点1 直线与圆的位置关系】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．直线l与⊙O相交B．直线l与⊙O相切
C．直线l与⊙O相离D．无法确定
【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
【变式1-2】（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2−1的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．三种情况均有可能
【分析】设P（t，14t2﹣1），利用两点间的距离公式计算出OP=14t2+1，再计算出P点到直线y＝﹣2的距离为14t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y＝﹣2相切．
【解答】解：设P（t，14t2﹣1），
∴OP=t2+(14t2−1)2=(14t2+1)2=14t2+1，
∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴P点在直线y＝﹣2的上方，
∴P点到直线y＝﹣2的距离为14t2﹣1﹣（﹣2）=14t2+1，
∴P点到直线y＝﹣2的距离等于圆的半径，
∴以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是相切．
故选：B．
【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断．
【解答】解：∵直线l1与⊙O相切，
∴圆心O到一条直线l1的距离为5，
∵直线l2与⊙O相离，
∴圆心O到一条直线l2的距离大于5，
∵直线l3与l4与⊙O相交，
∴圆心O到一条直线l3和直线l4的距离都小于5，
而圆心O到直线l3的距离较小，
∴圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3．
故选：C．
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】（2022秋•北仑区期末）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．3B．5C．6D．10
【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
A．0≤r≤125B．125≤r≤3C．125≤r≤4D．3≤r≤4
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r=125，
当直线与圆如图所示也可以有交点，
∴125≤r≤4．
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4B．3≤r＜5C．3≤r＜4D．3≤r≤5
【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC=AB2+BC2=5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜22B．﹣42≤b≤42C．﹣22＜b＜22D．﹣42＜b＜42
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B（0，b），
当y＝0时，x＝b，则与y轴的交点是A（b，0），
则OA＝OB＝b，即△OAB是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，
AB=OA2+OB2=b2+b2=2b，
连接圆心O和切点C，则OC＝4，OC⊥AB，
∵S△AOB=12OA•OB=12AB•OC，
∴4=OA⋅OBAB=b⋅b2b，
则b＝42；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣42；
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣42＜b＜42．
故选：D．
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】（2022秋•武汉期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
【变式3-1】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为：AB⋅ACBC=4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．0或1或2
【分析】根据当圆的半径r＞圆心到直线的距离d时，直线与圆相交，即可得出直线l和这个圆的公共点的个数．
【解答】解：∵圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，
∴r＞d，
∴直线与圆相交，
∴这条直线和这个圆的公共点的个数为2．
故选：C．
【变式3-3】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画圆．
（1）当r＝ 2.4 时，⊙C与边AB相切；
（2）当r满足 3＜r≤4或r＝2.4 时，⊙C与边AB只有一个交点；
（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．
【分析】（1）当⊙C与边AB相切时，则d＝r，由此求出r的值即可；
（2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案；
（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数由0个、1个、2个三种情况．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝2.4，
故答案为：r＝2.4．
（2）①当直线与圆相切时，即d＝r＝2.4，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
②当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，
∴3＜r≤4，
故答案为：3＜r≤4或r＝2.4；
（3）①如图3，当0≤r＜2.4时，圆C与边AB有0个交点；
②如图1，当r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
③如图4，当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点；
④如图2，当3＜r≤4时，圆C与边AB有1个交点；
⑤如图5，当r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
综上所述，当0≤r＜2.4或r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
当3＜r≤4或r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点．
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题
【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．
∵C（1，0），直线AB的解析式为y=34x+3，
∴直线CH的解析式为y=−43x+43，
由 y=−43x+43y=34x+3解得x=−45y=125，
∴H（−45，125），
∴CH=(1+45)2+(125)2=3，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，
∴EH＝3﹣1＝2，
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=12×5×2＝5，
故选：A．
【变式4-1】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 13 ．
【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵∠POA＝90°，
∴PA=OA2+OP2=4+OP2，
当OP最小时，PA取最小值，
由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，
∴PA的最小值为：4+32=13，
故答案为：13．
【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 7 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 21 ．
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP=OA2−PA2=21，
故答案为：7，21．
【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【解答】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB=BC2+QC2=13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定： = 1 \* GB3 ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
= 2 \* GB3 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
= 3 \* GB3 ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型5 定义法判断切线】
【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B．
【解答】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，
A、如图EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、如图，EF⊥半径OA，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
D、如上图，EF⊙O有公共点，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
故选：B．
【变式5-1】（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，
故A，B，D选项不正确，C选项正确，
故选：C．
【变式5-2】（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案．
【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误．
（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，原命题正确．
（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确．
（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误．
故选：A．
【变式5-3】（2022秋•慈溪市期末）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP＝5B．OE＝OF
C．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
【解答】解：
∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】
【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的性质解答即可；
（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AF⊥BC，根据平行线的性质得到AF⊥AE，根据切线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（2）证明：连接AO并延长交BC于F，
∵AB＝AC，
∴AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴AF⊥AE，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB＝23；
（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，
∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，
∴∠AOC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD=12OA=12×2＝1，
∴AD=3OD=3，
又∵OP⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝23；
（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，
而OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴C是OP的中点，
∴CP＝CO＝CB，
∴∠CBP＝∠P，
而∠OCB＝∠CBP+∠P，
∴∠CBP＝30°
∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线．
【变式6-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
求证：BC是圆O的切线．
【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠CAD＝∠ODA，根据平行线的判定得出OD∥AC，求出OD⊥BC，再根据切线的判定推出即可．
【解答】证明：连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∵OD过圆心O，
∴BC是圆O的切线．
【变式6-3】（2022秋•武夷山市期末）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．
【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD＝DF
∴AC与⊙D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；
∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【变式7-1】（2022秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵OD⊥a于D，
∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．
故选：D．
【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵圆心到直线的距离等于半径，
∴AC是⊙O的切线．
【变式7-3】（2022秋•丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．
【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE＝OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF＝OE＝OA，即可判定CD是⊙O的切线；
（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA＝r，可得OE＝EC＝r，由勾股定理求得OC=2r，则可得方程r+2r＝102，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．
∵BC切⊙O于点E，
∴OE⊥BC，OE＝OA，
又∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴OF＝OE＝OA，
即：CD是⊙O的切线．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，
∴AB＝BC＝10，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC=AB2+BC2=102，
∵OE⊥BC，
∴OE＝EC，
设OA＝r，则OE＝EC＝r，
∴OC=OE2+EC2=2r，
∵OA+OC＝AC，
∴r+2r＝102，
解得：r＝20﹣102．
∴⊙O的半径为：20﹣102．
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论： = 1 \* GB3 ①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
= 2 \* GB3 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型8 利用切线的性质求线段长度】
【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点C是切点，弦CF⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DCF；
（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠CAE，根据等角的余角相等可得出结论；
（2）根据垂径定理得到CE=12CF＝4，根据勾股定理求出⊙O的半径，根据角平分线的性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACF+∠CAE＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAE，
∴∠ACD＝∠ACF；
（2）解：由（1）可知，∠ACD＝∠ACF．
∵CF⊥AB，CF＝8，
∴CE=12CF＝4，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3，
在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2＝8，
∵∠ACD＝∠ACF，AD⊥CD，CF⊥AB，
∴AD＝AE＝8．
【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【解答】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，OA=OB2−AB2=132−122=5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在Rt△OAH中，AH=OA2−OH2=52−32=4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O的半径是 4 ．
【分析】连接OB，OD，根据切线的性质得到∠OBE＝∠ODE＝90°，延长AB，CD交于E，求得∠AEC＝90°，根据正方形的性质得到BE＝DE＝OB，设⊙O的半径是r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OD，
∵AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
延长AB，CD交于E，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEB是矩形，
∵OB＝OD，
∴四边形ODEB是正方形，
∴BE＝DE＝OB，
设⊙O的半径是r，
∴AE＝r+2，CE＝r+4，
∵AE2+CE2＝AC2，
∴（r+2）2+（r+4）2＝102，
解得：r＝4（负值舍去），
∴⊙O的半径是4，
故答案为：4．
【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（ ）
A．4B．22C．23D．26
【分析】如图，连接OA、OD，构造等腰直角△AOD和直角△AOB．首先利用勾股定理求得OA的长度，然后通过解直角△AOB求得边AB的长度．
【解答】解：如图，连接OA、OD，
∵∠C＝45°．
∴∠AOD＝2∠C＝90°．
又∵OA＝OD，AD＝4，
∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝22．
又∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°．
∵∠B＝30°，OA＝22，
∴AB=3OA＝26．
故选：D．
【题型9 利用切线的性质求角度】
【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．
【解答】
解：（Ⅰ）连接BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP＝65°，
∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
＜∠AOP＝∠BPO+∠C，
∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，
∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，
∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，
∵OC∥BD，
∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，
∴∠OBD＝2x，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝2x，
∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝90°﹣2x＝30°．
【变式9-1】（2022秋•香洲区期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
【分析】根据题意可以求得∠OAP和∠OBP的度数，然后根据∠BAC＝35°，即可求得∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°．
【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 55°或125° ．
【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
当点C在劣弧AB上，则∠ACB=12∠AOB＝55°，
当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．
则∠ACB的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．
【分析】（Ⅰ）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；
（Ⅱ）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出∠ABC＝2∠C，即可求出∠C．
【解答】解：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴DA⊥AO，
∴∠DAO＝90°，
∴∠DAB+∠BAO＝90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠DAB，
（Ⅱ）∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∵AD＝AC，
∴∠D＝∠C，
∴∠OAC＝∠D，
∵∠OAC＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠D+∠DAB，
∴∠ABC＝2∠D，
∵∠D＝∠C，
∴∠ABC＝2∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴2∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠E＝∠C＝30°
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】
【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD＝AB，以线段AB为直径作⊙O，分别交BD，AC于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BC＝4，求点B到AC的距离．
【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠DAE，进而征得∠BAE＝∠CBD，得到∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，根据切线的判定即可证得BC是⊙O的切线；
（2）连接BF，可得AF⊥AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB＝3，AC＝5，由三角形的面积公式即可求出BF．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BD，∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AD＝AB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵∠BAC＝2∠CBD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接BF，
∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥AC，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，BC＝4，AC＝AD+CD＝AB+2，
∴AB2+42＝（AB+2）2，
∴AB＝3，
∴AC＝5，
∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BF，
∴BF=AB⋅BCAC=3×45=125，
即点B到AC的距离为125．
【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，求出∠ACB+∠CAB＝90°，求出∠OAD＝90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OA=12OD，求出OA，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴OA=12OD=12（OB+BD），
∵OA＝OB，BD＝2，
∴OA＝2，
∴AC＝2OA＝4．
【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的长为6．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，又AD＝4，∠D＝60°，即得AB=3BD＝23，根据∠ABC＝45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF＝BF=22AB=6，又△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，得AC＝22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC＝BF+CF=6+2．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点A作AF⊥BC于F，如图：
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD=12AD＝2，
∴AB=3BD＝23；
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF=22AB=22×23=6，
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴AC＝22，
∴CF=AC2−AF2=(22)2−(6)2=2，
∴BC＝BF+CF=6+2．
答：线段AB的长为23，线段BC的长为6+2．直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为
则有：
相交：直线和圆有两个公共点
直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点
直线和相切
相离：直线和圆没有公共点
直线和相离
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