数学九年级下册24.4.1 直线与圆的位置关系精品习题

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题24.8直线与圆的位置关系

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•武进区模拟）已知的半径为5，点到直线的距离为3，则上到直线的距离为2的点共有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据平行线间的距离相等，先过点作，即可求得上到直线的距离为2的点的个数．

【解析】如图，

的半径为5，点到直线的距离为3，

，

过点作，垂足为，交于、两点，且，

上到直线的距离为2的点为、、，

上到直线的距离为2的点有3个，

故选：．

2．（2021•嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为　　

A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切

【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．

【解析】的半径为，线段，，

即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径，

点在外，点在上，

直线与的位置关系为相交或相切，

故选：．

3．（2021春•九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径的圆，与直线的位置关系为　　

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

【分析】本题应将该点到直线的距离与半径对比即可判断．

【解析】点到直线的距离为2，半径为2，

则有，

这个圆与直线相切．

故选：．

4．（2019秋•海曙区期末）平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么与轴的位置关系是　　

A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是

【分析】由题意可求到轴的距离为4，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解．

【解析】的圆心坐标为，

到轴的距离为4

轴与相交

故选：．

5．（2020秋•中山市期末）圆的直径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是　　

A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切

【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离，再与半径进行比较．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．

【解析】圆的直径为13 ，

圆的半径为6.5 ，

圆心与直线上某一点的距离是，

圆的半径圆心到直线的距离，

直线于圆相切或相交，

故选：．

6．（2021•奉贤区二模）如图，在中，，，，点在边上，且．以点为圆心，为半径作圆，如果与的边有3个公共点，那么下列各值中，半径不可以取的是　　

A．6 B．10 C．15 D．16

【分析】根据勾股定理得到，求得，，过分别作于，于，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解析】，，，

，

，

，，

过分别作于，于，

，

，，

，，

，，

，，

，，

当过点时，连接，根据勾股定理得，

如图，以点为圆心，为半径作圆，如果与的边有3个公共点，

或10或16或，

故选：．

7．（2019秋•扬州期中）已知圆心到直线的距离为，的半径，若是方程的一个根，则直线与圆的位置关系为　　

A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定

【分析】先根据是方程的一个根求出的值，再由直线和圆的位置关系即可得出结论．

【解答】解是方程的一个根，

．

当，时，，

直线于圆相交．

故选：．

8．（2020秋•金山区期末）如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么的半径的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．

【解析】过点作于点，

，．如果以点为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，

，

当直线与圆相切时，，圆与斜边只有一个公共点，圆与斜边只有一个公共点，

，

，

当直线与圆如图所示也可以有交点，

．

故选：．

9．（2019松江区二模）如图，在中，，，，的半径为1，已知与直线相交，且与没有公共点，那么的半径可以是　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】由中，，，，利用勾股定理即可求得的长，又由、没有公共点，可得与外离或内含，然后利用两圆位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系求得答案．

【解析】中，，，，

，

、没有公共点，

与外离或内含，

的半径为1，

若外离，则半径的取值范围为：，

若内含，则半径的取值范围为，

与直线相交，且与没有公共点，

半径的取值范围为：或．

故选：．

10．（2019•青浦区二模）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】作于，当与边相切时，圆心与重合，即；当时，与交于点，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程得出；即可得出结论．

【解析】作于，如图所示：

则，，

，

当与边相切时，切点为，圆心与重合，即；

当时，与交于点，

设，则，

在中，由勾股定理得：，

解得：；

以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点，则的取值范围是；

故选：．

二．填空题（共8小题）

11．（2019秋•崇明区期末）已知中，，，．如果以点为圆心的圆与斜边有唯一的公共点，那么的半径的取值范围为　或　．

【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．

【解析】根据勾股定理求得，

当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；

当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则．

故半径的取值范围是或．

故答案为：或．

12．（2020•上海）在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为2，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　　．

【分析】根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于，连接，如图2，设与边相切于，连接，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解析】在矩形中，，，，

，

如图1，设与边相切于，连接，

则，

，

，

，

，

，

如图2，设与边相切于，连接，

则，

，

，

，

，

，

，

如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是，

故答案为：．

13．（2019•静安区二模）已知在中，，，如果以点为圆心的圆与斜边有且只有一个交点，那么的半径是　　．

【分析】根据等腰直角三角形的性质和直线与圆的位置关系解答即可．

【解析】

在中，，，

以点为圆心的圆与斜边有且只有一个交点，

，

，

即的半径是

故答案为：．

14．（2019•顺庆区校级自主招生）在中，，，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 　或　．

【分析】此题注意两种情况：

（1）圆与相切时；

（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．

根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．

【解析】如图，，

以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．

根据勾股定理求得．

分两种情况：

（1）圆与相切时，即；

（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即．

或．

15．（2020秋•抚顺期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与轴的位置关系为　相交　．

【分析】可先求出圆心到轴的距离，再根据半径比较，若圆心到轴的距离大于圆心距，轴与圆相离；小于圆心距，轴与圆相交；等于圆心距，轴与圆相切．

【解析】依题意得：圆心到轴的距离为：半径4，

所以圆与轴相交，

故答案为：相交．

16．（2020•东台市模拟）在矩形中，，．点为对角线上一点（不与重合），是以点为圆心，为半径的圆，当与矩形各边的交点个数为5个时，半径的范围是　　．

【分析】根据与矩形各边的交点个数探索当解答个数为5个时的两个临界点的情况，分两种情况进行计算后得出半径的取值范围．

【解析】如图1，当与边相切时，此时为与长方形的边有4个交点的最大临界值，

设与边相切于点，连接，则，

，，

，

，

，

解得，经检验是原方程的根，

如图2，当与边相切前，与长方形的边有5个交点，

设与边相切于点，连接，则，

，

，

解得，经检验是原方程的根，

综上所述，当半径满足时，与矩形各边的交点个数为5个，

故答案为：．

17．（2021•鼓楼区校级模拟）如图，中，，，，点在边上，以为直径的圆，与边有公共点，则的最小值是 　　．

【分析】由题意可证，可得，可求的长，即可求的最小值．

【解析】当点是切点且时，则有最小值，如图，

，，

，

，

中，，，，

，

设，

，

解得，

．

的最小值为．

故答案为．

18．（2021•高青县二模）如图，在矩形中，，，是的中点，是上一点．若以点为圆心，为半径作圆．与线段仅有一个公共点，则的长的取值范围是

　或　．

【分析】因为与线段仅有一个公共点，所以分两种情况进行解答，第一种．与线段相切，第二种，与线段相交，且只有一个公共点，分别画出相应的图形，借助切线的性质，直角三角形的边角关系进行解答即可．

【解析】（1）当与线段相切时，如图1，

设切点为，则，

是的中点，，

，在中，

，

是矩形，

，，

，

又，

，

，

即，

，

即时，与线段相切，与线段仅有一个公共点；

（2）当过线段的端点时，如图2，

此时与线段有两个公共点的最小临界值，

，

当过线段的端点时，如图3，此时与线段有一个公共点的最大临界值，

此时，，

因此时，与直线相交，而与线段仅有一个公共点，

综上所述，当或时，与线段仅有一个公共点，

故答案为：或．

三．解答题（共6小题）

19．如图，在中，，，，若要以为圆心，为半径画，根据下列条件，求半径的值或取值范围．

（1）直线与相离．

（2）直线与相切．

（3）直线与相交．

【分析】过作于，根据勾股定理得到，再根据三角形的面积公式得到的长，然后根据圆心到的距离与半径的关系即可得到结论．

【解析】过作于，

，，，

，

，

（1）直线与相离，则的取值范围是；

（2）直线与相切，则的值是；

（3）直线与相交，则的取值范围是．

20．（2020秋•崇川区月考）在中，，，．

（1）若以点为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？

（2）若直线与半径为的相切，求的值．

（3）若线段与半径为的有唯一公共点，求的取值范围．

【分析】（1）由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，作于，由的面积得出，即可得出结论；

（2）由切线的性质和三角形面积求出即可；

（3）分两种情况：①圆与相切时，即；

②点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即．即可得出答案．

【解析】（1），，，

，

是直角三角形，，

作于，如图所示：

由的面积得：，

若以点为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系是相离；

（2）若直线与半径为的相切，

设切点为，则，

由的面积得：，

即；

（3），

以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．

分两种情况：

①圆与相切时，即；

②点在圆内部，点在圆上或圆外时，

此时，即．

的取值范围时或．

21．（2020•丰台区模拟）如图，在中，，，，是的中点，到点的距离等于的所有点组成的图形记为，图形与交于点．

（1）补全图形并求线段的长；

（2）点是线段上的一点，当点在什么位置时，直线与图形有且只有一个交点？请说明理由．

【分析】（1）由勾股定理易求得的长；可连接，由圆周角定理知，易知，可得关于、、的比例关系式，即可求出的长．

（2）当与相切时，由切线长定理知，则，那么和就是等角的余角，由此可证得，即是的中点．在证明时，可连接，证即可．

【解析】（1）如图所示，在中，，，，；

连接，为直径，

；

，，

；

，

；

（2）当点是的中点时，与相切；

证明：连接，

是的中线；

，

；

，

；

；

，

与相切．

22．（2019•东台市期中）已知：平面直角坐标系中，的圆心在轴上，半径为1，沿轴上向右平移．

（1）如图1，当与轴相切时，点的坐标为　和　；

（2）如图2，设以每秒1个单位的速度从原点左侧沿轴向右平移，直线与轴交于点，交轴于点，问：在运动过程中与直线有公共点的时间共几秒？

【分析】（1）直接可以写出当与轴相切时，点的坐标，

（2）在直角三角形中，，，由勾股定理得，设经过秒后与直线相切，过点作的垂线，垂足为，；①当在直线的左边与直线相切时，，根据的成比例线段求解；

②当直线的右边与直线切时，，根据的成比例线段求解．

【解析】（1）已知圆的半径为1，

故当与轴左侧相切时，点的坐标为，

故当与右轴左侧相切时，点的坐标为，

即当与轴相切时，点的坐标为和，

（2），，故，

设经过秒后与直线相切，作的垂线，垂足为，则；

①当直线的左边与直线相切时，，

，，即，

解得，

②当在直线的右边与直线相切时，；

由得，，即，

解得，

在运动过程中与直线有公共点的时间共秒．

23．（2020秋•铁西区期末）如图，为圆的直径，取的中点，过点作交圆于点，在的上方，连接，，点在线段的延长线上，且．

（1）求的度数；

（2）求直线与圆的公共点个数．

【分析】（1）如图，连接，根据等腰三角形的性质得到．推出是等边三角形．得到．于是得到．

（2）根据三角形的内角和定理得到．由垂直的定义得到．推出是的切线．于是得到结论．

【解析】（1）如图，连接，

，

点为的中点，，

，

，

是等边三角形，

，

；

（2）如图，，

，

，

，

，

是的切线，

直线与的公共点个数为1．

24．（2021•朝阳一模）如图，在中，，，动点从出发，沿以的速度运动，运动到停止，在整个运动过程中，经过、、三点，设运动时间为秒．

（1）当时，求的半径；

（2）求当为何值时，与所在直线相切．

【分析】（1）过点作交于点，首先求出，当时，，此时点恰好在中点，即与点重合，可知此时是直径，即可解答；

（2）过点作交于点，于，可知当与所在直线相切时，点点重合，利用特殊角的三角函数求出半径，即可解决问题．

【解析】（1）过点作交于点，

，，

，，

，

，

，

当时，，此时点恰好在中点，即与点重合，

，

，

经过、、三点，

是的直径，

的半径为；

（2）如图，过点作交于点，于，

，

，

，

，

，

，

当与所在直线相切时，点点重合，

在中，由，，

可得，

在中，由，，

得：，

，

，

时，与所在直线相切．