初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.1 轴对称与轴对称图形当堂检测题

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1. 通过具体实例认识轴对称、轴对称图形、探索轴对称的基本性质.
2. 探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形关于给定对称轴对称图形.
3. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
知识点 轴对称图形
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.
注意：
1. 轴对称图形的对称轴是一条直线，
2. 轴对称图形是1个图形，
3. 有些对称图形的对称轴有无数条。
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴.
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这
条线段的垂直平分线.
【题型1 轴对称的相关概念】
【典例1】（2022秋•昆明期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】A
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
【变式1-1】（2022秋•东港区期末）如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【解答】解：如图，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有5个．
故选C．
【变式1-2】（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有 个
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：
故答案为：3．
【题型2 轴对称图形的相关概念】
【典例2】（2023春•渝北区校级期中）下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A、B、C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【变式2-1】（2023春•青秀区校级期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【变式2-2】（2023春•南宁期中）学习轴对称图形中后，小乐画出如图四个图形，其中只有1条对称轴的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A．该图形有无数条对称轴，故此选项不合题意；
B．该图形有4条对称轴，故此选项不合题意；
C．该图形有1条对称轴，故此选项符合题意；
D．该图形有2条对称轴，故此选项不合题意．
故选：C．
【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】
【典例3】（2023•城阳区一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，共有1条对称轴；
B．该图形是轴对称图形，共有3条对称轴；
C．该图形是轴对称图形，共有2条对称轴；
D．该图形是轴对称图形，共有2条对称轴．
故选：B．
【变式3-1】下列图形中对称轴只有两条的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A、圆有无数条对称轴，故本选项不符合题意；
B、等边三角形有3条对称轴，故本选项不符合题意；
C、矩形有2条对称轴，故本选项符合题意；
D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有 条．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．
故答案为：无数．
【题型4 轴对称再镜面对称中的应用】
【典例4】（2022秋•乳山市期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（ ）
A．21：05B．20：15C．20：12D．21：50
【答案】B
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为20：15．
故选：B．
【变式4-1】（2021秋•播州区期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，它在水中的倒影表示正确的是A，
故选：A．
【变式4-2】（2021秋•恩施市校级期末）一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为 ．
【答案】鄂Q•W6E01．
【解答】解：如图所示：该车的牌照号码为鄂Q•W6E01．
．
故答案为：鄂Q•W6E01．
【题型5 轴对称的操作应用】
【典例5】（2022秋•桓台县期中）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．
【答案】答案见解答．
【解答】解：如图所示：
．
【变式5-1】（2022秋•永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．
【答案】见试题解答内容．
【解答】解：作轴对称图形如下（答案不唯一）：
【变式5-2】（2021秋•船营区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充．
（1）使得图①成为轴对称图形；
（2）使得图 ②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形；
（3）使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．
【答案】见解答．
【解答】解：如图所示（答案不唯一）：
【题型6 与轴承对称相关的探索图形规律问题】
【典例6】（2020春•顺德区校级期末）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．10B．15C．21D．28
【答案】C
【解答】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，
∴∠BAD＝∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDE中，
∴△BDE≌△CDE（SSS），
∴图2中有1+2＝3对三角形全等；
同理：图3中有1+2+3＝6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
所以：第6个图形中全等三角形的对数是，
故选：C．
【变式6-1】（2021秋•沂源县期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2
【答案】A
【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠3＝（180°﹣∠1），
在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠3﹣∠A，
∠CED＝∠3+∠A，
∴∠A′ED＝∠CED+∠2＝∠3+∠A+∠2，
∴180°﹣∠3﹣∠A＝∠3+∠A+∠2，
整理得，2∠3+2∠A+∠2＝180°，
∴2×（180°﹣∠1）+2∠A+∠2＝180°，
∴2∠A＝∠1﹣∠2．
故选：A．
【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【答案】D
【解答】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3，
∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N．
故选：D．
【题型7 与轴对称相关的开放性问题】
【典例7】（2022秋•东营区校级期末）如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是 等边 三角形，△ABC的周长＝ 24 cm．
【答案】等边三角形，24．
【解答】解：∵AD是△ABC的对称轴，
∴BD＝CD＝4cm，AB＝AC，
∴BC＝BD+CD＝8cm，
∵∠DAC＝30°，
∴∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC的周长为＝3BC＝24cm．
故答案为：等边三角形，24．
【变式7-1】（2022秋•开封期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝25°，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中，∠1＝ 65° ．
【答案】65°．
【解答】解：∵∠2+∠3＝90°，∠3＝25°，
∴∠2＝65°．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝65°．
故答案为：65°．
【变式7-2】（2022秋•青云谱区校级期中）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有 2 个．
【答案】2．
【解答】解：要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，
使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域①⑤．
故答案为：2．
【题型8 轴对称的实际应用】
【典例8】（2022秋•乐清市月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为 12平方米 ，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3） 3660 元．
【答案】12平方米；3660．
【解答】解：由题意：展板的面积＝12a•b（平方米），
当a＝0.5米，b＝2米时，展板的面积＝12（平方米）．
制作整个造型的造价＝12×80+π×4×450＝3660（元）．
故答案是：12平方米；3660．
【变式8-1】（2022秋•栖霞市期末）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．
【答案】如图所示，运动路线：A→P→B．
【解答】解：如图所示：运动路线：A→P→B．
【变式8-2】如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF）．
（1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数；
（2）已知∠BAE+∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．
【答案】（1）116°．
（2）BC∥PA．证明见解析部分．
【解答】解：（1）∵∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE，∠PAD+∠PAB+∠BAE＝180°，
∴∠PAB＝180°﹣32°﹣32°＝116°．
（2）BC∥PA，理由如下：
∵∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°﹣∠PAD﹣∠BAE，
∴∠PAB＝180°﹣2∠BAE．
同理：∠ABC＝180°﹣2∠ABE．
∵∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣2（∠BAE+∠ABE）＝180°．
∴BC∥PA．
1．（2023•平顶山二模）从“同一个世界，同一个梦想”的2008年夏季奥运会，到“一起向未来”的2022年冬季奥运会，北京成为世界上首座“双奥之城”，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ）
A．200个B．400个C．1000个D．2000个
【答案】A
【解答】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况．
同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况，所以最多可制作200个．
故选：A．
3．（2003•海淀区）如图，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【答案】B
【解答】解：∵把△ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′
＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED
＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）
＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
故选：B．
4．（2020•薛城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是 ．
【答案】674．
【解答】解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2020÷6＝336…4，
当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0），
∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+2＝674（次），
故答案为：674．
1．（2022秋•河西区期末）2022年卡塔尔世界杯开幕式上中国元素闪耀登场．下面四幅与世界杯相关的图标中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2．（2022秋•东宝区期末）在以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）
A．.B．C．.D．
【答案】B
【解答】解：A有2条对称轴，B有4条，C有0条，D有1条．则对称轴条数最多的一个图形是B．
故选：B．
3．（2022春•淮阳区期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（ ）
A．AB．BC．CD．D
【答案】B
【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．
故选：B．
4．（2023•雄县模拟）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】B
【解答】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，
故选：B．
5．（2023春•海淀区校级月考）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解答】解：如图，连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，
∵P1是P关于直线l的对称点，
∴直线l是PP1的垂直平分线，
∴OP1＝OP＝2.8，
∵P2是P关于直线m的对称点，
∴直线m是PP2的垂直平分线，
∴OP2＝OP＝2.8，
当P1，O，P2不在同一条直线上时，
OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，
即 0＜P1P2＜5.6，
当P1，O，P2在同一条直线上时，
P1P2＝OP1+OP2＝5.6，
∴P1，P2之间的距离可能是5，
故选：A．
6．（2022秋•婺城区期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【答案】A
【解答】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；
②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；
③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．
综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故选：A．
7．（2020秋•十堰期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【答案】B
【解答】解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B．
8．（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】D
【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2020÷6＝336…4，
∴当点P第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，
∴第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点D，
故选：D．
9．（2022秋•汤阴县期中）小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是 ．
【答案】12：08：51．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是12：08：51．
故答案为：12：08：51．
如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分的面积
是 cm2．
【答案】9．
【解答】解：∵△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，
∴S△ABD＝S△ACD＝，S△CEF＝S△BEF，
∴阴影部分的面积等于△ABC面积的一半，
∴S阴影＝×18＝9（cm2）．
故答案为：9．
11．（秋•西城区校级期中）如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．
（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；
（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求．
（2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求．
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