人教版12.1 全等三角形精练

这是一份人教版12.1 全等三角形精练，文件包含专题23全等三角形的常考应用6个考点六大题型原卷版docx、专题23全等三角形的常考应用6个考点六大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
【题型2 利用三角形全等求两端的距离】
【题型3 利用三角形全等测量物体的内径】
【题型4 利用三角形全等解决工程中的问题】
【题型5 利用三角形全等解决面积问题】
【题型6 利用三角形全等解决生活中其他问题】
【题型1 利用三角形全等测量能到两端的距离】
1．（2023春•桥西区期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到△ABC≌△DEC，理由是（ ）
A．SSSB．AASC．ASAD．SAS
【答案】D
【解答】证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
故选：D．
2．（2023春•铁西区月考）如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延长线上，则量出线段（ ）的长即为A，B两点的距离．
A．BCB．BDC．CED．DE
【答案】D
【解答】解：测得DE线段的长就是A、B两点的距离，理由如下：
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠B＝∠EDC＝90°．
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED．
故选：D．
3．（2023春•青冈县期末）有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，量出DE的长为50m，则锥形小山两端A、B的距离为 50 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB＝DE＝50．
答：锥形小山两端A、B的距离为50m．
故答案为：50．
4．（2022秋•天河区校级期末）如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知AB垂直于河岸BF，现在BF上取两点C、D，使CD＝CB，过点D作BF的垂线ED，使A、C、E在一条直线上，若ED＝90米，则AB的长是 90 米．
【答案】90．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝90．
故答案为：90．
5．（2022春•峄城区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿着堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，达到C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点，量得CD的距离是35米．你知道在点A处小明与游艇的距离吗？请说出他这样做的理由．
【答案】在A点处小明与游艇的距离为35米，
【解答】解：在A点处小明与游艇的距离为35米，
理由：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS＝CD，
∵CD＝35米，
∴AS＝CD＝35米，
答：在A点处小明与游艇的距离为35米，
6．（2022秋•宾阳县期中）上数学活动课时，欢欢为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．
阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由．
（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由．
（3）方案（Ⅱ）若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，BC＝CD，方案（Ⅱ） 可行 （填“可行”或“不可行”）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方案（Ⅰ）可行．
理由：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE．
（2）方案（Ⅱ）可行．
理由：∵AB⊥BF，ED⊥BF，
∴∠ABC＝∠EDC，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE．
（3）方案（Ⅱ）若满足∠ABD＝∠BDE≠90°，BC＝CD，
则根据ASA可知：△ABC≌△EDC，可得AB＝DE，
所以方案（Ⅱ）也可行．
故答案为可行．
7．（2022春•遂川县期末）小明家所在的小区有一个池塘，如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE＝CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．
（1）你能说明小明这样做的根据吗？
（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：在△ACB和△ECD中
∵，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴DE＝AB；
（2）如图，连接AD，
AD＝200米，AC＝120米，
∴AE＝240米，
∴40米＜DE＜440米，
∴40米＜AB＜440米．
8．（2022春•洋县期末）小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝ CB ，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段 DE 的长度就是AB的长．
（1）按小明的想法填写题目中的空格；
（2）请完成推理过程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB的长．
故答案为：CB，DE；
（2）由题意得DG⊥BF，
∴∠CDE＝∠CBA＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB（全等三角形的对应边相等）．
9．（青山区期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．
乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．
丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．
（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有 甲、乙、丙 ；
（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）甲、乙、丙；
（2）答案不唯一．
选甲：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝ED；
选乙：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B＝∠CDE＝90°，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED；
选丙：
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC．
【题型2 利用三角形全等求两端的距离】
10．（2023春•万柏林区校级期中）把等腰直角三角形纸板ABC按如图所示的方式直立在桌面上，顶点A顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE为 8cm ．
【答案】8cm．
【解答】解：∵∠CEA＝∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠ECA+∠EAC＝∠EAC+∠DAB＝∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠ECA＝∠DAB，∠EAC＝∠DBA，
在△AEC和△BAD中
，
∴△AEC≌△BAD（ASA），
∴AE＝BD＝3cm，AD＝CE＝5cm，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
故答案为：8cm．
11．（崆峒区校级期末）小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°，此时量得BD＝11.2m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝70°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP＝AB，
∵DB＝11.2，PB＝3，
∴AB＝11.2﹣3＝8.2（m），
答：路灯的高度AB是8.2米．
12．（2023•青秀区校级模拟）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用三角尺测量物体的数学探究”实践活动．
【实践发现】某小组的同学用若干个高度都是1cm的相同长方体小木块垒两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个直角三角尺（∠MCN＝90°），点C在线段AB上，点M和N分别与木墙的顶端重合，如图所示．
探究1：如图1，当放置的是等腰直角三角尺（含45°的三角尺）时，同学们发现：两堵木墙高度之和等于两堵墙之间的距离，即AC、BC、AM、BN的数量关系为AC+BC＝AM+BN，请你判断同学们的结论是否正确，并说明理由；
探究2：如图2，当放置的不是等腰直角三角尺时，∠MCN＝90°，试探究AC、BC、AM、BN的数量关系，并证明你的结论．
【答案】探究1：结论正确，理由见解析；
探究2：AC•BC＝AM•AN，理由见解析．
【解答】解：探究1：结论正确，理由如下：
在等腰直角△MCN中，∠MCN＝90°，MC＝NC，
∴∠MCA+∠BCN＝90°，
∵MA⊥AB，NB⊥AB，
∴∠MAC＝∠CBN＝90°，
∴∠MCA+∠CMA＝90°，
∴∠CMA＝∠BCN，
在△ACM和△BNC中，
，
∴△ACM≌△BNC（AAS），
∴BC＝AM，AC＝BN，
∴AC+BC＝AM+BN；
探究2：AC•BC＝AM•AN，理由如下：
∵∠MCN＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，
∵MA⊥AB，NB⊥AB，
∴∠MAC＝∠CBN，
∴∠AMC+∠ACM＝90°，
∴∠AMC＝∠BCN，
∴△AMC∽△BCN，
∴AM：BC＝AC：BN，
即AC•BC＝AM•AN．
13．（2022•汉滨区四模）如图，一条河流MN旁边有两个村庄A，B，AD⊥MN于D．由于有山峰阻挡，村庄B到河边MN的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C能到达A，B两个村庄，与A，B的连线夹角为90°，且与A，B的距离也相等，测量C，D的距离为150m，请求出村庄B到河边的距离．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点B作BE⊥MN于点E，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中，
．
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴BE＝CD＝150m．即村庄B到河边的距离是150米．
14．（2022秋•天山区校级期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AC＝DF，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝16m，BF＝5m，求FC的长度．
【答案】（1）见解析；（2）6m．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝16m，BF＝5m，
∴FC＝16﹣5﹣5＝6（m）．
15．（2022秋•亳州期末）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E处的俯角为α，小华站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为β，发现α与β互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米．
（1）求证：AF＝CE；
（2）求单元楼AB的高．
【答案】（1）见解析；
（2）单元楼AB的高为39米．
【解答】解：（1）过点F作FG⊥AB，垂足为G，
由题意得：
∠AGF＝∠EDC＝90°，BG＝EF＝1米，FG＝BE＝20米，∠AFG＝β，∠CED＝α，
∴∠CED+∠ECD＝90°，
∵α+β＝90°，
∴∠ECD＝β＝∠AFG，
∵BE＝CD＝20米，
∴FG＝CD＝20米，
∴△AGF≌△EDC（AAS），
∴AF＝CE；
（2）∵△AGF≌△EDC，
∴AG＝ED＝BD﹣BE＝58﹣20＝38（米），
∴AB＝AG+GB＝39（米），
∴单元楼AB的高为39米．
16．（2022秋•新罗区校级月考）如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD．其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF．
（1）请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．
（2）E、F、M三点是否共线？请说明理由．
【答案】（1）石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等，理由见解析；
（2）E、F、M三点共线．证明见解析．
【解答】解：（1）石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
又∵M为BC中点，
∴BM＝MC．
在△BEM和△CFM中，
，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF．
即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等；
（2）E、F、M三点共线．
证明如下：
∵△BEM≌△CFM，
∴∠BME＝∠CMF，
又∠BMF+∠CMF＝180°，
∴∠BMF+∠BME＝180°，
∴E，M，F在一条直线上．
17．（2022秋•钟楼区校级月考）如图，工人师傅要在墙壁上的点O处用电钻打孔，要使钻头从墙壁对面的点B处打出．已知墙壁厚30cm，点B与点O的铅直距离AB长15cm．在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC＝30cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝15cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，就能使钻头正好从点B处打出，为什么？
【答案】钻头正好从点B处打出．
【解答】解：当D，O，B三点共线时，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB＝CD＝15cm，
即钻头正好从点B处打出．
18．（2022春•铜川期末）如图为某单摆装置示意图，摆线长OA＝OB＝OC，当摆线位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD＝15cm，当摆线位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，求此时摆球到OA的水平距离CE的长（CE⊥OA）．
【答案】摆球到OA的水平距离CE的长为15cm．
【解答】解：∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD＝15cm，
∴摆球到OA的水平距离CE的长为15cm．
19．（2021秋•阜阳月考）某同学用11块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方体ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC），其截面示意图如图所示，点B在EF上，点A和点C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF．
【答案】22cm．
【解答】解：根据题意，可得AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBA+∠FBC＝90°，
∴∠EAB＝∠FBC，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，CF＝BE，
∵用11块高度都是2cm的相同长方体小木块，
∴AE＝10cm，CF＝12cm，
∴BE＝12cm，BF＝10cm，
∴EF＝12+10＝22（cm），
∴两堵木墙之间的距离EF为22cm．
【题型3 利用三角形全等测量物体的内径】
19．（2022秋•潍坊期末）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（ ）
A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边
【答案】A
【解答】解：在△OAB与△OCD中，
，
∴△OAB≌△ODC（SAS）．
故选：A．
20．（2023春•南海区校级期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝3cm，EF＝5cm，圆形容器的壁厚是 1 cm．
​
【答案】1．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝3cm，
∵EF＝5cm，
∴圆柱形容器的壁厚是×（5﹣3）＝1（cm），
故答案为：1．
21．（2022秋•思明区期末）卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条AB，CD的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明．
已知： OA＝OB，OC＝OD ．
求证： AC＝BD ．
证明： 在△AOC与△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC＝BD． ．
【答案】OA＝OB，OC＝OD；
AC＝BD；
两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
∴AC＝BD．
【解答】已知：OA＝OB，OC＝OD．
求证：AC＝BD．
证明：连接AC，
∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
∴AC＝BD．
故答案为：OA＝OB，OC＝OD；
AC＝BD；
两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
∴AC＝BD．
22．（2022春•市北区期末）如图，小明家有一个玻璃容器，他想测量一下它的内径是多少？但是他无法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，这样只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径，你知道其中的道理吗？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：连接AC，BD，
在△ODB和△OCA中，
，
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴BD＝AC．
故只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径．
【题型4 利用三角形全等解决工程中的问题】
23．（2022秋•洪山区期末）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【答案】D
【解答】解：由题意可知OC＝OD，MC＝MD，
在△OCM和△ODM中，
，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠COM＝∠DOM，
∴OM就是∠AOB的平分线．
故选：D．
24．（2021秋•孟村县期末）如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1km，DC＝1km，村庄A和C，A和D间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3km，只有A和B之间由于间隔了一个小湖，无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座桥，测得AE＝1.2km，BF＝0.7km，则建造的桥长至少为（ ）
A．1.2kmB．1.1kmC．1kmD．0.7km
【答案】B
【解答】解：由题意知：BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，
∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB＝AC＝3km，
故斜拉桥至少有3﹣1.2﹣0.7＝1.1（千米）．
故选：B．
25．（2020秋•涪城区校级期末）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】B
【解答】解：如图，连接AB、CD，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AB＝CD．
故选：B．
26．（2021秋•荔城区校级期中）公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒斯这样测得轮船到海岸的距离：如图所示，在海边灯塔上进行测量，直立一根可以原地转动的竖竿EF（垂直于地面），在其上一点A处连接一个可以绕A转动并固定在任意位置上的横杆，先转动横杆使其转向船的位置B，再转动竖竿EF，使横杆对准岸上的某一点C，然后测量D、C的距离，即得D、B的距离，哲学家得到△ADC≌△ADB的依据可能是（ ）
A．SSSB．SSAC．ASAD．HL
【答案】C
【解答】解：由题意得，∠ADC＝∠ADB＝90°，∠CAD＝∠BAD，
∵AD＝AD，
∴△ADC≌△ADB（ASA），
∴BD＝CD，
故选：C
【题型5 利用三角形全等解决面积问题】
27.（2022秋•仙居县期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形ABCD），测量得：AD＝CD＝50cm，AB＝BC＝78cm，AC＝60cm，BD＝112cm，则此风筝的大小为（即四边形ABCD的面积） cm2．
【答案】3360．
【解答】解：∵AD＝CD＝50cm，AB＝BC＝78cm，
∴BD是AC的垂直平分线，
∵AC＝60cm，BD＝112cm，
∴四边形ABCD的面积＝AC•BD＝60×112＝3360（cm2）．
故答案为3360．
28.（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），
则S△CDA＝（平方米），
∴草坪造型的面积为：2×＝3（平方米）．
【题型5 利用三角形全等解决生活中其他问题】
29．（2023•荆州模拟）如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【答案】D
【解答】解：第一片玻璃只有一个角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第二片玻璃既没有边与原三角形相等，也有没有角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第三片玻璃有两角及其夹边与原三角形相等，可以通过ASA判定新三角形与原三角形全等；
故选：D．
30．（2022秋•射洪市期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块（ ）
A．（1）和（3）B．（3）和（4）C．（1）和（4）D．（1）和（2）
【答案】D
【解答】解：A．带第（1）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
B．带第（2）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
C．带第（1）和（4）块去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
D．带第（1）和（2）块去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
故选：D．
31．（2022秋•常德期末）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
【答案】A
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：A．
32．（2022•太原一模）“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，△ABC的周长为24cm，FC＝3cm．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（ ）
A．44cmB．45cmC．46cmD．48cm
【答案】B
【解答】解：∵BF＝EC，BC＝BF+FC，EF＝EC+CF，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴C△DEF＝C△ABC＝24cm．
∵CF＝3cm，
∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC﹣CF＝24+24﹣3＝45cm．
故选：B．
33．（椒江区期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【答案】C
【解答】解：∵AB⊥CO，
∴∠ACO＝∠BCO，
在△AOC与△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，
故选：C．
34．（2022秋•卧龙区校级期末）“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用测量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 SSS （用字母表示）．
【答案】SSS．
【解答】解：在△DHE和△DHF中，
，
∴△DHE≌△DHF（SSS），
∴∠DEH＝∠DFH．
故答案为：SSS．
35．（2022秋•东阿县校级期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠CBA＝32°，则∠EFD＝ 58° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵两个滑梯的长度相同，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，