中考数学一轮复习常考题型突破练习专题19 全等三角形（2份打包，原卷版+解析版）

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专题19 全等三角形
【考查题型】

【知识要点】
知识点1 全等三角形及其性质
全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形。
全等图形的性质：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。④周长、面积相等。
全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
考查题型一 全等三角形的性质
典例1．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ）
A． B． C． D．
变式1-1．（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
变式1-2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
变式1-3．（2020·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．
变式1-4．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，在和中，，，，则________º．

知识点2：全等三角形的判定（重点）

一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等、周长、面积相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
【备注】判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。
证题的思路（重点）：

考查题型二 利用SSS证明两个三角形全等
典例2．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶．（2021·江苏盐城·中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（    ）

A． B． C． D．
变式2-1．（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________

变式2-2．（2022·广西·中考真题）如图，在中，BD是它的一条对角线，

(1)求证：；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接BE，若，求的度数．
变式2-3．（2022·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝

(1)求证：△ABC≌△CDA ；
(2)求草坪造型的面积．
变式2-4．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：．
变式2-5．（2022·广西玉林·中考真题）问题情境：
在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①     ②     ③若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究与全等．

问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；
(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求的概率．
变式2-6．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．
考查题型三 利用SAS证明两个三角形全等
典例3．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶．（2022·浙江金华·中考真题）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ）

A． B． C． D．
变式3-1．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（    ）

A．50° B．55° C．65° D．70°
变式3-2．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(   )

A． B． C． D．
变式3-3（2021·江苏泰州·中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则 为（　　）

A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
变式3-4．（2022·吉林·中考真题）如图，，．求证：．

变式3-5．（2022·四川南充·中考真题）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，分别与交于点M，N．求证：

(1)．
(2)．
变式3-6．（2022·新疆·中考真题）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．

(1)求证：；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
变式3-7．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．

(1)求证：；
(2)若，求证：四边形为平行四边形．
变式3-8．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
变式3-9．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．

考查题型四 利用ASA证明两个三角形全等
典例4．（2022·湖南湘西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
变式4-1．（2021·重庆·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（    ）

A．1 B． C．2 D．
变式4-2．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（    ）

A．1 B． C． D．2
变式4-3．（2022·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC．

变式4-4．（2022·四川乐山·中考真题）如图，B是线段AC的中点，，求证：．

变式4-5．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．

(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
变式4-6．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
变式4-7．（2022·云南·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°

(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
变式4-8（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
考查题型五 利用AAS证明两个三角形全等
典例5．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．
变式5-1．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（    ）

A． B． C． D．
变式5-2（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（   ）
A． B． C． D．
变式5-3．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．

变式5-4．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是_________．

变式5-5．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，点C在上，．求证：．

变式5-6．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．

(1)求证：MP=NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
变式5-7．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
变式5-8．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，AC平分，垂足分别为B，D．

(1)求证：；
(2)若，求四边形ABCD的面积．
变式5-9．（2022·重庆·中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹）

在和中，
∵，
∴．
∵，
∴______①____．
∵，
∴______②_____．
又∵____③______．
∴（）．
同理可得：_____④______．
．
变式5-10．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当，时，求的长．
考查题型六 利用HL证明两个三角形全等
典例6．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ）

A． B． C． D．
变式6-1．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（    ）

A．当时，四边形ABMP为矩形
B．当时，四边形CDPM为平行四边形
C．当时，
D．当时，或6s
变式6-2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．

变式6-3．（2022·湖北随州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．

(1)求证；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为，．求的长．
变式6-4．（2022·贵州遵义·中考真题）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
考查题型七 全等三角形综合问题
典例7（2022·湖南常德·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（    ）

A． B．，
C． D．
变式7-1．（2022·黑龙江·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（    ）

A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
变式7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）以下命题：①面包店某种面包售价元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了元；②等边三角形中，是边上一点，是边上一点，若，则；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式7-3．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式7-4．（2021·广西河池·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（   ）

A． B． C． D．
知识点3 角平分线的性质
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
几何描述：点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，
PD=PE。

角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
点P在∠AOB的平分线上。
考查题型八 角平分线的性质
典例8．（2022·四川资阳·中考真题）如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；
第四步：过点M作于点N．
下列结论一定成立的是(   )

A． B．
C． D．
变式8-1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4+2
变式8-2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
变式8-3．（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
变式8-4．（2022·湖南郴州·中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．

变式8-5．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度．

变式8-6．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．

(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
考查题型九 角平分线的判定
典例9．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：

①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（    ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
变式9-1．（2021·青海·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）

A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
变式9-2．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个