2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习02（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习02（含答案），共14页。试卷主要包含了B，与y轴交于点C．等内容，欢迎下载使用。
如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该矩形为点P，Q的相关矩形“．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．
(1)已知点A的坐标为(1，0)．
①若点B的坐标为(2，5)，求点A，B的“相关矩形”的周长；
②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，已知抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A和点C，求抛物线y＝x2＋mx＋n与y轴的交点D的坐标；
(2)⊙O的半径为4，点E是直线y＝3上的从左向右的一个动点．若在⊙O上存在一点F，使得点E，F的“相关矩形”为正方形，直接写出动点E的横坐标的取值范围．
如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，顶点为D，对称轴交x轴于点E.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设M为该抛物线对称轴左侧上的一点，过点M作直线MN∥x轴，交该抛物线于另一点N.是否存在点M，使四边形DMEN是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接CE(如图2)，设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q.连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标.
如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A(4，0)，点C(0，4)．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB＝3：1．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．
已知OE＝m，OF＝t
①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？
②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴，x轴分别相交于A(0，2)，B(2，0)，C(4，0)三点，点D是二次函数图象的顶点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标；
(3)M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD＋MC的最小值．
如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=eq \f(1,2)x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣eq \f(1,9)x2＋bx＋c经过点B、C，OA＝18．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直线DE的解析式；
(3)如图3，在(2)的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周长
如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8,OE=17，抛物线y=eq \f(3,20)x2﹣3x+m与y轴相交于点A,抛物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K．
(1)将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处．
①点B的坐标为( 、 ),BK的长是 ,CK的长是 ；
②求点F的坐标；
③请直接写出抛物线的函数表达式；
(2)将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连接OG,折痕与OG相交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连接MG,MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1×S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．
\s 0 答案
解：(1)用交点式函数表达式得：y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y=x2﹣4x+3；
(2)①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB=PE=2，则点P坐标为(4，3)，
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P(4，3)或(0，3)；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为(2，0)
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，
即：=2，解得：m=2，故点P(2，﹣1)；
故：点P(4，3)或(0，3)或(2，﹣1)；
(3)直线BC的表达式为：y=﹣x+3，
设点E坐标为(x，x2﹣4x+3)，则点D(x，﹣x+3)，
S四边形AEBD=eq \f(1,2)AB(yD﹣yE)=﹣x+3﹣x2+4x﹣3=﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x=eq \f(3,2)，其最大值为eq \f(9,4)，此时点E(eq \f(3,2)，﹣eq \f(3,4))．
解：(1)①如图1，
∵矩形ACBD是点A，B的“相关矩形”，
∴AD∥CB，
∵点A(1，0)，B(2，5)，
∴点C(2，0)，BC＝5，
∴AC＝2﹣1＝1，
∴点A，B的“相关矩形”的周长为2(AC＋BC)＝2×(1＋5)＝12；
②如图2，
∵点C在直线x＝3上，
∴点C的横坐标为3，
∵点A(1，0)，C的“相关矩形”为正方形，
∴BC∥AD，AB＝BC，
∴点B的坐标为(3，0)，
∴BC＝AB＝3﹣1＝2
∴点C的坐标为(3，2)或(3，﹣2)，
∵抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A和点C，
∴或
∴或
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x＋2或y＝x2﹣5x＋4，
令x＝0，则y＝2或y＝4
∴点D的坐标为(0，2)或(0，4)；
(2)如图3，
当点F在y轴的右侧时，点E在点M的右侧时，点E的横坐标大，连接OM，OF，
设OG＝m，
∵点E，F的“相关矩形”为正方形，
∴FM＝ME，
∵点E在直线y＝3上，
∴MG＝3，
在Rt△OGF中，FG＝＝，
∴点E的横坐标为OG＋ME＝OG＋MF＝OG＋MG＋FG＝OG＋3＋FG
＝m＋＋3＝(﹣)2＋2＋3
≥2＋3(当且仅当＝时，取等号)，
即m＝2eq \r(2)时，点E的横坐标为(OG＋ME)最大＝(m＋)最大＋3＝4eq \r(2)＋3，
∴点E的横坐标最大是4eq \r(2)＋3，
由圆的对称性得，点E的横坐标的最小值为﹣(4eq \r(2)＋3)，
即点E的横坐标的范围是大于等于﹣(4eq \r(2)＋3)而小于等于(4eq \r(2)＋3)．
解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x﹣3)，
将点C(0，﹣2)代入，得：﹣3a＝﹣2，解得a＝eq \f(2,3)，
则抛物线解析式为y＝eq \f(2,3)(x＋1)(x﹣3)＝eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x﹣2；
(2)∵y＝eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x﹣2＝eq \f(2,3)(x﹣1)2﹣eq \f(8,3)，
∴顶点D(1，﹣eq \f(8,3))，即DE＝eq \f(8,3)，
∵四边形DMEN是菱形，
∴点M的纵坐标为﹣eq \f(4,3)，
则eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x﹣2＝﹣eq \f(4,3)，得x＝1±eq \r(3)，
∵M为该抛物线对称轴左侧上的一点，
∴x＜1，则x＝1﹣eq \r(3)，
∴点M坐标为(1﹣eq \r(3)，﹣eq \f(4,3))；
(3)∵C(0，﹣2)，E(1，0)，∴OC＝2，OE＝1，
如图，设P(m，eq \f(2,3)m2﹣eq \f(4,3)m﹣2)(m＞1)，
则PQ＝|eq \f(2,3)m2﹣eq \f(4,3)m﹣2|，EQ＝m﹣1，
①若△COE∽△PQE，
，
解得m＝0(舍)或m＝5或m＝2或m＝﹣3(舍)，
此时点P坐标为(5，8)或(2，﹣2)；
②若△COE∽△EQP，
解：(1)∵点A(4，0)，点C(0，4)．且四边形OABC是正方形，
∴QA＝QC＝BC＝4，
∵CG：GB＝3：1．
∴CG＝3，BG＝l，
∴点G的坐标为(3，4)，
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
把.4(4，0)，C(0，4)，G(3，4)，代入y＝ax2＋bx＋c得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋3x＋4，
令y＝0，则﹣x2＋3x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴点D的坐标为(﹣1，0)；．
(2)①∵EF⊥FG，∠EOF＝∠GFE＝∠GCF＝90°，
∴∠EFO＋∠FEO＝∠EFO＋∠CFG＝90°，．
∴∠FEO＝∠CFG，
∴△EOF∽△FCG，
∴＝，即＝，
∴m＝﹣eq \f(1,3)t2＋eq \f(4,3)t＝﹣eq \f(1,3)(t﹣2)2＋eq \f(4,3)，
∴当t＝2时，m有最大值，最大值为eq \f(4,3)；
②∵点A(4，0)，点C(0，4)，且四边形OABC是正方形，
∴点B的坐标为(4，4)，
设直线OB的解析式为y＝kx，
把(4，4)，代入得：4＝4k，解得k＝1，
∴直线OB的解析式为y＝x，
过点R作RS⊥y轴于点S，如图：
∵点E与点R关于直线FG对称，EF⊥FG，
∴RF＝EF，∠RFS＝∠EFO，
∴△RFS≌△EFO(AAS)，
∴RS＝EO＝m，FS＝FO＝t，则SO＝2t，
∴点R的坐标为(﹣m，21)
∵点R与点Q关于直线OB对称，
同理点Q的坐标为(2t，﹣m)，
把Q(2t，﹣m)代入y＝﹣x2＋3x＋4，
得：﹣m＝﹣4t2＋6t＋4，
由①得m＝﹣eq \f(1,3)t2＋eq \f(4,3)t，∴eq \f(1,3)t2﹣eq \f(4,3)t＝﹣4t2＋6t＋4，
解得：t1＝，t2＝，
∵0≤t1≤4，
∴当t＝时，点G恰好落在抛物线上．
解：(1)∵抛物线经过B(2，0)，C(4，0)，
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a(x﹣2)(x﹣4)，
把A(0，2)代入，可得a＝eq \f(1,4)，
∴二次函数的解析式为y＝eq \f(1,4)x2﹣eq \f(3,2)x＋2；
(2)如图，当点P在直线AC的下方时，过点B作BP0∥AC交抛物线于点P0，
由题意直线AC的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x＋2，
∴kAC＝﹣eq \f(1,2)，∴KBP0＝﹣eq \f(1,2)，
∴直线BP0的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x＋1，
由，解得，
则P0与B重合，不符合题意．
当点P在直线AC的上方时，作直线BP0关于直线AC的的对称直线P1P2，交抛物线于P1，P2．
∵直线AC的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x＋2，
∴可得直线P1P2的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x＋3，
由，解得或，
∴P1(2＋2eq \r(2)，2﹣eq \r(2))，P2(2﹣2eq \r(2)，2＋eq \r(2))；
(3)解：如图，以O为圆心，OA为半径的圆，连接OM，取OB的中点E，连接EM、ED，
∵A(0，2)，B(2，0)，C(4，0)，
∴OA＝OB，即B在⊙O上，
∵y＝eq \f(1,4)x2﹣eq \f(3,2)x＋2＝eq \f(1,4)(x﹣3)2﹣eq \f(1,4)，∴顶点D(3，﹣eq \f(1,4))，
∵∠AMB＝45°，
∴∠AMB＝eq \f(1,2)∠BOA，
∴M在在⊙O上，即OM＝2，
取OB的中点E(1，0)，
∵＝，＝，＝，
∴＝，
又∠EOM＝∠MOC，
∴△EOM∽△MOC，
∴＝，
∴EM＝eq \f(1,2)MC，
∴2MD＋MC＝2(MD＋eq \f(1,2)MC)＝2(MD＋ME)≥2ED，
∵ED＝＝，
∴2MD＋MC的最小值为．
解：（1）∵直线y=eq \f(1,2)x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，∴A（0，﹣3），
∵B（﹣4，﹣5），
∴，∴，
∴抛物线解析式为y=x2+eq \f(9,2)x﹣3，
（2）存在，设P（m，m2+eq \f(9,2)m﹣3），（m＜0），
∴D（m，eq \f(1,2) m﹣3），∴PD=|m2+4m|
∵PD∥AO，∴当PD=OA=3，
故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，∴|m2+4m|=3，
①当m2+4m=3时，∴m1=﹣2﹣eq \r(7)，m2=﹣2+eq \r(7)（舍），
∴m2+eq \f(9,2)m﹣3=﹣1﹣eq \f(\r(7),2)，∴P（﹣2﹣eq \r(7)，﹣1﹣eq \f(\r(7),2)），
②当m2+4m=﹣3时，∴m1=﹣1，m2=﹣3，
Ⅰ、m1=﹣1，∴m2+eq \f(9,2)m﹣3=﹣eq \f(13,2)，∴P（﹣1，﹣eq \f(13,2)），
Ⅱ、m2=﹣3，∴m2+eq \f(9,2)m﹣3=﹣eq \f(15,2)，∴P（﹣3，﹣eq \f(15,2)），
∴点P的坐标为（﹣2﹣eq \r(7)，﹣1﹣eq \f(\r(7),2)），（﹣1，﹣eq \f(13,2)），（﹣3，﹣eq \f(15,2)）．
（3）如图，
∵△PAM为等腰直角三角形，∴∠BAP=45°，
∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，
设直线AP解析式为y=kx﹣3，
∵直线AB解析式为y=eq \f(1,2)x﹣3，∴k=3，
∴直线AP解析式为y=3x﹣3，
联立，
∴x1=0（舍）x2=﹣eq \f(3,2)
当x=﹣eq \f(3,2)时，y=﹣eq \f(1,2)，∴P（﹣eq \f(3,2)，﹣eq \f(15,2)）．
解：∵四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣eq \f(1,9)x2＋bx＋c经过点B、C，OA＝18．
∴AB＝OC＝OA＝18，
∴C(0，18)，B(18，18)，
∴c＝18，
∴18＝﹣eq \f(1,9)×182＋bx＋18，解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(1,9)x2＋2x＋18；
(2)如图，在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，
设∠ABD＝α，
∵∠EDA＝2∠ABD，
∴∠EDA＝2α，
∵DI＝DE，
∴∠EID＝∠IED＝α，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝DA＝9，
∴tanα＝＝，
∴tan∠EIA＝＝，
设AE＝x，则AI＝2x，
∴ED＝DI＝IA﹣DA＝2x﹣9，
在Rt△ADE中，ED2＝AD2＋AE2，
即(2x﹣9)2＝92＋x2，解得x1＝12，x2＝0 (舍)，
∴AE＝12，
∴E(18，12)，
∵D(9，0)，
设直线ED的解析式为y＝kx＋t，
∴，解得，
∴直线DE的解析式为y＝eq \f(4,3)x﹣12；
(3)如图，延长BD，交y轴于点M，设直线DP交y轴于点S，
∵OD＝DA，∠DOM＝∠DAB，∠ODM＝∠ADB，
∴△ODM≌△ADB(ASA)，
∴MD＝DB，
∵点Q为BP中点，DQ＝PQ，
∴DQ＝BQ＝PQ，
∴∠QDB＝∠QBD，∠QDP＝∠QPD，∠QDB＋∠QBD＋∠QDP＋∠QPD＝180°，
∴∠BDQ＋∠PDQ＝90°，即∠BDP＝90°，
∴PH⊥BD，
∴∠SDO＋∠MDO＝∠MDO＋∠OMD＝90°，
∴∠SDO＝∠OMD＝∠ABD，
∴tan∠SDO＝tan∠ABD＝＝，
∴OS＝eq \f(1,2)OD＝eq \f(9,2)，∴S(0，eq \f(9,2))，
设直线SD的解析式为y＝mx＋n，将点S(0，eq \f(9,2))，D(9，0)代入得，
，解得，
∴直线SD的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x＋eq \f(9,2)，
联立，解得，，
∵点P在AB右侧的抛物线上，
∴P(27，﹣9)，
∵D(9，0)，B(18，18)，
∴PD＝9eq \r(5)，BD＝9eq \r(5)，
∴DB＝DP，
∴△DBP是等腰直角三角形，
∴∠DBP＝45°，DQ⊥BP，
∵BH⊥BP，
∴BH∥DQ，
∴＝1，
∴DH＝DP，
∵D(9，0)，P(27，﹣9)，
∴H(﹣9，9)，
∵点G在OD上，GC＝GE，C(0，18)，E(18，12)，
设G(p，0)，则p2＋182＝(18﹣p)2＋122，解得p＝4，
∴G(4，0)，
∵H(﹣9，9)，G(4，0)，C(0，18)，
∴CG＝2eq \r(85)，CH＝9eq \r(2)，HG＝5eq \r(10)，
∴CG＋HG＋CH＝2eq \r(85)＋5eq \r(10)＋9eq \r(2)，
∴△CGH的周长为2eq \r(85)＋5eq \r(10)＋9eq \r(2)．
解：(1)如图1中，
①∵抛物线y=eq \f(3,20)x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10，∴点B坐标(10，0)，
∵四边形OBKC是矩形，∴CK=OB=10，KB=OC=8，
故答案分别为10，0，8，10．
②在RT△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，
∴FK==6，∴CF=CK﹣FK=4，∴点F坐标(4，8)．
③设OA=AF=x，在RT△ACF中，
∵AC2+CF2=AF2，∴(8﹣x)2+42=x2，∴x=5，
∴点A坐标(0，5)，代入抛物线y=eq \f(3,20)x2﹣3x+m得m=5，
∴抛物线为y=eq \f(3,20)x2﹣3x+5．
(2)不变．S1×S2=189．理由：
如图2中，在RT△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，
∴DG==15，
∴CG=CD﹣DG=2，∴OG==2eq \r(17)，
∵CP⊥OM，MH⊥OG，∴∠NPN=∠NHG=90°，
∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，
∴∠HGN=∠NMP，
∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，
∴△GHN∽△MHG，∴=，
∴GH2=HN×HM，∵GH=OH=eq \r(17)，∴HN×HM=17，
∵S1×S2=eq \f(1,2)×OG×HN×eq \f(1,2)×OG×HM=(eq \f(1,2)×2eq \r(17))2×17=289．