2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习01（含答案）

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx﹣3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(﹣1，0)，连接BC，OB＝2OC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；
(3)如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋x＋c经过A(﹣2，0)，B(0，4)两点，直线x＝3与x轴交于点C．
(1)求a，c的值；
(2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的顶点为M，直线y=m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶.
(1)由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是__________.
(2)抛物线y=eq \f(1,2)x2对应的准蝶形必经过B(m，m)，则m=________，对应的碟宽AB是_____.
(3)抛物线y=ax2﹣4a﹣eq \f(5,3)(a＞0)对应的碟宽在x 轴上，且AB=6.
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp，yp)，使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围.若没有，请说明理由.
在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如果抛物线与x轴只有唯一的公共点，请确定m的取值范围．
(3)若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线y=﹣2x+2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
抛物线y＝ax2＋4(a≠0)与x轴交于A，B两点(A点在B点的左侧)，AB＝4，点P(2，1)位于第一象限．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；
(3)将(1)中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x＋4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．
如图，抛物线y=ax2＋bx﹣5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E为x轴下方抛物线上的一点，坐标为(﹣2，﹣5)，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
如图所示，抛物线y＝﹣x2＋bx＋3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．
①若点F在第一象限内，当∠BCF＝∠BCA时，求点F的坐标；
②若∠ACO＋∠FCB＝45°，则点F的横坐标为 ．
如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x＋t2＋2t﹣5的图象记为L，点P是L上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别为(1，0)，(1，1)，连接AB．
(1)若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；
(2)若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；
(3)当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣eq \f(11,4)，直接写出t的值．
\s 0 答案
解：(1)令x＝0，则y＝﹣3，
∴C(0，﹣3)，
∴OC＝3，
∵OB＝2OC，
∴OB＝6，
∴B(6，0)，
将B、C点代入y＝ax2＋bx﹣3，
∴，解得，
∴y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,2)x﹣3；
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
，解得，
∴y＝eq \f(1,2)x﹣3，
∴设P(t，eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,2)t﹣3)，则Q(t，eq \f(1,2)t﹣3)，
∴PQ＝﹣eq \f(1,2)t2＋3t，
∵CO＝3，BO＝6，
∴BC＝3eq \r(5)，
在Rt△ABC中，sin∠BCO＝eq \f(2\r(5),5)，cs∠BCO＝eq \f(\r(5),5)，
∵PQ∥CO，
∴∠HQP＝∠OCB，
∴sin∠HQP＝eq \f(2\r(5),5)，cs∠HQP＝eq \f(\r(5),5)，
∴HP＝eq \f(2\r(5),5)PQ，HQ＝eq \f(\r(5),5)PQ，
∴△PHQ周长＝HP＋PQ＋HQ
＝(1＋eq \f(3\r(5),5))PQ＝(1＋eq \f(3\r(5),5))(﹣eq \f(1,2)t2＋3t)＝(1＋eq \f(3\r(5),5))[﹣eq \f(1,2)(t﹣3)2＋eq \f(9,2)]，
∵点P是直线BC下方，
∴0＜t＜6，
∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值＋eq \f(9,2)，
此时P(3，﹣6)；
(3)∵y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,2)x﹣3＝eq \f(1,2)(x﹣eq \f(5,2))2﹣，
∴平移后的函数解析式为y'＝eq \f(1,2)(x＋eq \f(3,2))2﹣＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x﹣5，
∴D(﹣3，﹣5)，
设M(m，﹣eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m﹣5)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
，解得，
∴y＝﹣3x﹣3，
设E(x1，﹣3x1﹣3)，F(x2，﹣3x2﹣3)，
①以EF为平行四边形的对角线时，
．解得m＝或m＝，
∴M(，)或(，)；
②以EM为平行四边形的对角线时，
，解得m＝﹣3(舍)或m＝﹣6，
∴M(﹣6，4)；
③以ED为平行四边形的对角线时，
，解得m＝﹣3(舍)或m＝﹣6，
∴M(﹣6，4)；
综上所述：M点坐标为(，)或(，)或(﹣6，4)．
解：(1)把A(﹣2，0)，B(0，4)两点代入抛物线y＝ax2＋x＋c中得：
解得：；
(2)由(1)知：抛物线解析式为：y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋4，
设直线AB的解析式为：y＝kx＋b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x＋4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x＋4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E(3，3m)，
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴eq \f(1,2)×3(﹣3m)＝eq \f(1,2)×4×，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴(3m＋2)(3m﹣8)＝0，
∴m1＝﹣eq \f(2,3)，m2＝eq \f(8,3)(舍)，
∴直线DE的解析式为：y＝﹣eq \f(2,3)x；
(3)存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P(t，﹣eq \f(1,2)t2＋t＋4)，
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，
∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG＋∠BFO＝∠BFO＋∠OBF＝∠CFG＋∠CGF＝∠OBF＋∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG(AAS)，
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，解得：t1＝0(舍)，t2＝1，
∴F(2，0)；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，
同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，解得：t1＝，t2＝ (舍)，
∴F(，0)；
综上，点F的坐标为(2，0)或(，0)．
解：(1)MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN=eq \f(1,2)AB，
如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，
∴MN⊥AB，MN=eq \f(1,2)AB，故答案为：MN⊥AB，MN=eq \f(1,2)AB；
(2)∵抛物线y=eq \f(1,2)x2对应的准蝶形必经过B(m，m)，
∴m=eq \f(1,2)m2，解得：m=2或m=0(不合题意舍去)，
当m=2则，2=eq \f(1,2)x2，解得：x=±2，则AB=2+2=4；
故答案为：2，4；
(3)①由已知，抛物线对称轴为：y轴，
∵抛物线y=ax2﹣4a﹣eq \f(5,3)(a＞0)对应的碟宽在x 轴上，且AB=6.
∴抛物线必过(3，0)，代入y=ax2﹣4a﹣eq \f(5,3)(a＞0)，
得，9a﹣4a﹣eq \f(5,3)=0，解得：a=eq \f(1,3)，
∴抛物线的解析式是：y=eq \f(1,3)x2﹣3；
②由①知，如图2，y=eq \f(1,3)x2﹣3的对称轴上P(0，3)，P(0，﹣3)时，∠APB 为直角，
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3.
解：(1)当x=0时，y=﹣2，∴A(0，﹣2)，
抛物线的对称轴为直线x=1，∴B(1，0)；
(2)抛物线与x轴只有一个公共点，
所以△=b2﹣4ac=(﹣2m)2﹣4•m•(﹣2)=8m2+4m=0
解得，m1=0，m2=﹣2．根据题意，m=﹣2；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，
结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方
在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，
当x=﹣1时，y=﹣2×(﹣1)+2=4，
所以，抛物线过点(﹣1，4)，
当x=﹣1时，m+2m﹣2=4，解得m=2，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣4x﹣2．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋4关于y轴对称，AB＝4，
∴A(﹣2，0)，B(2，0)，
把A(﹣2，0)代入y＝ax2＋4得：0＝4a＋4，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2＋4；
(2)当AM在AP上方时，过P作PH⊥AP交直线AM于H，作直线BP，过H作HD⊥BP于D，如图：
∵∠MAP＝45°，PH⊥AP，
∴△APH是等腰直角三角形，
∴AP＝HP，∠APB＝90°﹣∠HPD＝∠PHD，
∵B(2，0)，P(2，1)，
∴∠ABP＝90°＝∠HDP，
∴△ABP≌△PDH(AAS)，
∴AB＝PD，PB＝DH，
∵A(﹣2，0)，B(2，0)，P(2，1)，
∴PD＝AB＝4，DH＝BP＝1，
∴H(1，5)，
设直线AH为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴直线AH为y＝eq \f(5,3)x＋eq \f(10,3)，
由eq \f(5,3)x＋eq \f(10,3)＝﹣x2＋4得：x1＝﹣2(点A横坐标，舍去)，x2＝eq \f(1,3)，
当x＝eq \f(1,3)时，y＝﹣x2＋4＝﹣(eq \f(1,3))2＋4＝，∴M(eq \f(1,3)，)；
当AM在AP下方时，过P作PE⊥AP交直线AM于E，过P作KG∥x轴，过A作AK⊥KG于K，过E作EG⊥KG于G，如图：
同理可得△AKP≌△PGE，
∴PG＝AK＝1，GE＝KP＝4，
∴E(3，﹣3)，
设直线AE为y＝k'x＋b'，将A(﹣2，0)，E(3，﹣3)代入得：
，解得，
∴直线AE为y＝﹣eq \f(3,5)x﹣eq \f(6,5)，
由﹣eq \f(3,5)x﹣eq \f(6,5)＝＝﹣x2＋4得x＝﹣2(舍去)或x＝2.6，
∴M(，﹣)；
综上所述，点M的坐标为(，)或(，﹣)；
(3)∵平移后顶点在直线y＝x＋4上，
∴设平移后的抛物线顶点为(t，t＋4)，则平移后的抛物线为y＝﹣(x﹣t)2＋t＋4，
把A(﹣2，0)代入得：0＝﹣(﹣2﹣t)2＋t＋4，解得t＝0或t＝﹣3，如图：
结合函数图象可得﹣3≤t＜0，
把P(2，1)代入得：1＝﹣(2﹣t)2＋t＋4，解得t＝或t＝，如图：
结合函数图象可得：＜t≤，
综上所述，抛物线顶点横坐标t的取值范围为﹣3≤t＜0或＜t≤．
解：(1)把A、B两点坐标代入解析式可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(25a－5b－5＝0，,9a＋3b－5＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(2,3)，))
∴抛物线解析式为y=eq \f(1,3)x2＋eq \f(2,3)x﹣5
(2)假设存在满足条件的P点，其坐标为(m，eq \f(1,3) m2＋eq \f(2,3)m﹣5)，
如图，连结AP，CE，AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，
则AQ=AO＋OQ=5＋m，PQ=|eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m﹣5|，
在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5eq \r(2)，∠ACO=∠DCE=45°，
由题可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=eq \r(2)，
∴AD=AC﹣DC=5eq \r(2)﹣eq \r(2)=4eq \r(2)，
当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，
∴eq \f(ED,AD)=eq \f(PQ,AQ)，即eq \f(\r(2),4\r(2))=eq \f(|\f(1,3)m2＋\f(2,3)m－5|,5＋m)，
∴eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m﹣5=eq \f(1,4)(5＋m)或eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m﹣5=﹣eq \f(1,4)(5＋m)，
当eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m﹣5=eq \f(1,4)(5＋m)时，
整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=eq \f(15,4)或m=﹣5(与A点重合，舍去)，
当eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m﹣5=﹣eq \f(1,4)(5＋m)时，
整理可得4m2＋11m﹣45=0，解得m=eq \f(9,4)或m=﹣5(与A点重合，舍去)，
∴存在满足条件的点P，其横坐标为eq \f(9,4)或eq \f(15,4).
解：(1)∵B(3，0)在抛物线y＝﹣x2＋bx＋3上，
∴﹣32＋3b＋3＝0，
∴b＝2，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)①作点A关于直线BC的对称点G，AG交BC于点H，过点H作HI⊥x轴于点I，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF＝∠BCA，
y＝﹣x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝3，
令y＝0，则﹣x2＋2x＋3＝0，解得：x＝3或＝﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)．
∴OB＝OC，AB＝4，
∴△OCB是等腰直角三角形，则∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HAB＝∠OBC＝∠AHI＝∠BHI＝45°，
∴HI＝AI＝BI＝eq \f(1,2)AB＝2，
∴H(1，2)，
∴G(3，4)，
设直线CG的解析式为y＝kx＋3，
把G(3，4)代入得：4＝3k＋3，解得k＝eq \f(1,3)，
∴直线CF的解析式为y＝eq \f(1,3)x＋3，
∴，解得，
∴点F的坐标为(，)；
②当点F在x轴上方时，如图，延长CF交x轴于N，
∵点B(3，0)，点C(0，3)，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵A(﹣1，0)，
∴OA＝1，
∵∠ACO＋∠FCB＝45°，∠CBO＝∠FCB＋∠CNO＝45°．
∴∠ACO＝∠CNO，
∵∠COA＝∠CON＝90°，
∴△CAO∽△NCO，
∴，∴，
∴ON＝9，
∴点N(9，0)，
设直线CF的解析式为y＝k′x＋3，
把N(9，0)代入得：0＝9k′＋3，解得k′＝﹣eq \f(1,3)，
∴直线CF的解析式为y＝﹣eq \f(1,3)x＋3，
∴﹣eq \f(1,3)x＋3＝﹣x2＋2x＋3，∴x1＝0(舍去)，x2＝eq \f(7,3)，
∴点的横坐标为eq \f(7,3)；
当点F在x轴下方时，如图，设CF与x轴交于点M，
∵∠ACO＋∠FCB＝45°，∠FCB＋∠OCM＝45°．
∴∠ACO＝∠OCM，
∵OC＝OC，∠COA＝∠COM＝90°，
∴△CAO≌△CMO(ASA)，
∴OM＝OA＝1，
∴点M(1，0)，
同理直线CF解析式为：y＝﹣3x＋3．
∴﹣3x＋3＝﹣x2＋2x＋3，∴x1＝0(舍去)，x2＝5，
∴点的横坐标为5．
综上所述，点F的横坐标为eq \f(7,3)或5．
故答案为：eq \f(7,3)或5．
解：(1)如图1，当t＝1时，L为抛物线y＝x2﹣2x﹣2，
∵y＝x2﹣2x﹣2＝(x﹣1)2﹣3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点P、Q分别是对称轴右侧、左侧L上的点，且PQ⊥y轴，
∴m＋n＝2，
∴n＝﹣m＋2(m＞1)．
(2)如图2，L为抛物线y＝x2﹣2x＋t2＋2t﹣5＝(x﹣1)2＋t2＋2t﹣6，
∴L的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，t2＋2t﹣6)，
∵A(1，0)，B(1，1)，
∴线段AB在直线x＝1上，
∵L与线段AB有公共点，
∴0≤t2＋2t﹣6≤1，解得﹣1﹣2eq \r(2)≤t≤﹣1﹣eq \r(7)或﹣1＋eq \r(7)≤t≤﹣1＋2eq \r(2)，
∴t的取值范围是﹣1﹣2eq \r(2)≤t≤﹣1﹣eq \r(7)或﹣1＋eq \r(7)≤t≤﹣1＋2eq \r(2)．
(3)当2t﹣1＜1，即t＜1时，如图3，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，
∴此时不存在y的最小值；
当2t﹣1≥1且2t﹣3≤1，即1≤t≤2时，如图4，
∵L的顶点为最低点，
∴t2＋2t﹣6＝﹣eq \f(11,4)，解得t1＝，t2＝，
∵＜1，∴t2＝不符合题意，舍去；
当2t﹣3＞1，即t＞2时，如图5，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，
∴此时不存在y的最小值，
综上所述，t的值为．