2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项练习六（含答案）

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如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6与直线y＝x＋2相交于A(eq \f(1,2)，eq \f(5,2))、B(4，6)两点，点P是线段AB上的动点(不与A、B两点重合)，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积；
(3)是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)与x轴相交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)当A(﹣1，0)，C(0，﹣3)时，求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)P(m，t)为抛物线上的一个动点，
①当点P关于原点的对称点P′落在直线BC上时，求m的值；
②当点P关于原点的对称点P′落在第一象限内，P′A2取得最小值时，求m的值及这个最小值.
如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝eq \f(4,9)x2＋bx＋c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB＋∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；
(3)点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，顶点为A(2cs60°，﹣eq \r(2)sin45°)的抛物线经过点B(5,3)，且与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求tan∠AOB的值；
(3)点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND＝∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，求点M的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣2(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)求△BCD的面积；
(3)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5)．
(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；
(3)如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E、B．
(1)求二次函数y=ax2＋bx＋c的表达式；
(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
\s 0 答案
解：(1)把A(eq \f(1,2)，eq \f(5,2))、B(4，6)代入抛物线y＝ax2＋bx＋6中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x＋6；
(2)如图1，
∵y＝2x2﹣8x＋6＝2(x﹣2)2﹣2，
∴顶点C(2，﹣2)，
当x＝2时，y＝2＋2＝4，
∴PC＝4﹣(﹣2)＝6，
当y＝0时，x＋2＝0，
∴x＝﹣2，
∴E(﹣2，0)，
∴△BCE的面积＝△PCE的面积＋△PBC的面积
＝eq \f(1,2)PC•ED＋eq \f(1,2)PC•(xB﹣xD)＝eq \f(1,2)PC•(xB﹣xE)＝eq \f(1,2)×6×(4＋2)＝18；
(3)存在，设点P的坐标为(m，m＋2)，则C(m，2m2﹣8m＋6)，
∴PC＝m＋2﹣(2m2﹣8m＋6)＝﹣2m2＋9m﹣4，
∴△BCE的面积＝eq \f(1,2)PC•(xB﹣xE)＝eq \f(1,2)×(﹣2m2＋9m﹣4)×(4＋2)
＝﹣6(m﹣)2＋；
∵﹣6＜0，
∴当m＝时，△BCE的面积最大，这个最大值是．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，
∴，解得，，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，﹣4)；
(2)①由P(m，t)在抛物线上可得，t＝m2﹣2m﹣3，
∵点P和P′关于原点对称，
∴P′(﹣m，﹣t)，
当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得，x1＝﹣1，x2＝3，
由已知可得，点B(3，0)，
∵点B(3，0)，点C(0，﹣3)，
设直线BC对应的函数解析式为：y＝kx＋d，
，解得，，
∴直线BC的直线解析式为y＝x﹣3，
∵点P′落在直线BC上，
∴﹣t＝﹣m﹣3，即t＝m＋3，
∴m2﹣2m﹣3＝m＋3，
解得，m＝；
②由题意可知，点P′(﹣m，﹣t)在第一象限，
∴﹣m＞0，﹣t＞0，
∴m＜0，t＜0，
∵二次函数的最小值是﹣4，
∴﹣4≤t＜0，
∵点P(m，t)在抛物线上，
∴t＝m2﹣2m﹣3，
∴t＋3＝m2﹣2m，
过点P′作P′H⊥x轴，H为垂足，有H(﹣m，0)，
又∵A(﹣1，0)，则P′H2＝t2，AH2＝(﹣m＋1)2，
在Rt△P′AH中，P′A2＝AH2＋P′H2，
∴P′A2＝(﹣m＋1)2＋t2＝m2﹣2m＋1＋t2＝t2＋t＋4＝(t＋eq \f(1,2))2＋eq \f(15,4)，
∴当t＝﹣eq \f(1,2)时，P′A2有最小值，此时P′A2＝eq \f(15,4)，
∴﹣eq \f(1,2)＝m2﹣2m﹣3，解得，m＝1±eq \f(\r(14),2)，
∵m＜0，
∴m＝1-eq \f(\r(14),2)，
即P′A2取得最小值时，m的值是1-eq \f(\r(14),2)，这个最小值是eq \f(15,4).
解：(1)∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴B(3，0)，C(0，﹣3)，
∵抛物线y＝eq \f(4,9)x2＋bx＋c经过B(3，0)，C(0，﹣3)，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(4,9)x2﹣eq \f(1,3)x﹣3；
(2)∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
①当点E在x轴上方时，设CE与x轴交于A′，
∵∠ECB＋∠ACO＝45°，∠ECB＋∠A′CO＝45°，
∴∠A′CO＝∠ACO，
∵∠A′OC＝∠AOC＝90°，OC＝OC，
∴△A′OC≌△AOC(ASA)，
∴OA′＝OA，
由eq \f(4,9)x2﹣eq \f(1,3)x﹣3＝0，得：x1＝-eq \f(9,4)，x2＝3，
∴A(-eq \f(4,9)，0)，∴A′(eq \f(9,4)，0)，
设直线CA′的解析式为y＝kx＋d，
∵C(0，﹣3)，A′(eq \f(9,4)，0)，
∴，解得：，
∴直线CA′的解析式为y＝eq \f(4,3)x﹣3，
联立方程组，解得：，，
∴E1(eq \f(15,4)，2)；
②当点E在x轴下方时，∵∠ECB＋∠ACO＝45°，∠BCO＝45°，
∴∠ACE2＝90°，
延长CE2交x轴于点G，∵∠AOC＝∠COG＝∠ACG＝90°，
∴∠GCO＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，
∴∠GCO＝∠CAO，
∴△GCO∽△CAO，
∴＝，∴＝，
∴OG＝4，
∴G(4，0)，
设直线CG的解析式为y＝mx＋n，
∵C(0，﹣3)，G(4，0)，
∴，解得：，
∴直线CG的解析式为y＝x﹣3，
联立方程组，得：，解得：，，
∴E2(，)；
综上，点E的横坐标为或；
(3)在Rt△ACO中，OA＝，OC＝3，∠AOC＝90°，
∴AC＝eq \f(15,4)，
设∠CAO＝θ，则tanθ＝eq \f(4,3)，sinθ＝eq \f(4,5)，csθ＝eq \f(3,5)，
假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t，且0＜t＜eq \f(15,4)，
①若以AN为菱形对角线，如图2，此时AM＝CN＝t，AN＝eq \f(15,4)﹣t，
∵四边形AMND是菱形，
∴AE＝eq \f(1,2)AN＝eq \f(15,8)﹣eq \f(1,2)t，∠AEM＝90°，
∴＝csθ＝，
∴5AE＝3AM，即5(eq \f(15,8)﹣eq \f(1,2)t)＝3t，
解得：t＝；
②若以MN为菱形对角线，如图3，
∵AM＝AN，
∴t＝eq \f(15,4)﹣t，解得：t＝eq \f(15,8)；
③若以AM为菱形对角线，如图4，设DN与AM交于点E，
∵四边形ANMD为菱形，
∴AM与DN互相垂直平分，即AE＝eq \f(1,2)AM＝eq \f(1,2)t，∠AEN＝90°，
∴＝csθ＝，
∴5AE＝3AN，即5×eq \f(1,2)t＝3×(eq \f(15,4)﹣t)，解得：t＝；
综上，当t＝或或时，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形．
解：(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 点坐标代入函数解析式，得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 该抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图1，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，如图2，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得： SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 在抛物线上， SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 (不符合题意，舍)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，如图3，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简，得 SKIPIF 1 < 0 ③，
联立②③，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 (不符合题意，舍)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx﹣2经过点A(1，0)，B(5，0)两点
∴，解得：，
∴抛物线的解析式是，
∵＝，
∴顶点D的坐标是(3，1.6)；
(2)如图1，设抛物线的对称轴与BC的交点为H，
设直线BC的解析式y＝kx＋d，
∵B(5，0)，C(0，﹣2)，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式y＝eq \f(2,5)x﹣2，
当x＝3时，y＝eq \f(2,5)×3﹣2＝﹣eq \f(4,5)，∴H(3，﹣eq \f(4,5))，
∴DH＝1.6﹣(﹣eq \f(4,5))＝eq \f(12,5)，
∴S△BCD＝S△DHB＋S△DHC＝6；
(3)存在．设点M的坐标为(x，﹣eq \f(2,5)x2＋eq \f(12,5)x﹣2)，
分以下四种情况：①(一)如图2，图3，过点M作对称轴x＝3的垂线，垂足为H，过点A作AG⊥MH于点G，
则∠AGM＝∠MHI＝90°，
∴∠AMG＋∠MAG＝90°，
∵四边形AMIN是正方形，
∴AM＝MI，∠AMI＝90°，
∴∠AMG＋∠IMH＝90°，
∴∠MAG＝∠IMH，
在△GAM和△HMI中，
，
∴△GAM≌△HMI(AAS)，
∴AG＝MH，即eq \f(2,5)x2＋eq \f(12,5)x＋2＝3﹣x，解得x＝，
∴M点的坐标为(，)或(，)；
②如图4，过点M作PQ∥x轴交对称轴于点Q，过点A作AP⊥PQ于点P，
如图5，过点M作PQ∥y轴交x轴于点P，过点I作IQ⊥PQ于点Q，
则∠APM＝∠MQI＝90°，
∴∠PAM＋∠AMP＝90°，
∵四边形AMIN是正方形，
∴AM＝MI，∠AMI＝90°，
∴∠AMP＋∠IMQ＝90°，
∴∠PAM＝∠IMQ，
在△MAP和△IMQ中，
，
∴△MAP≌△IMQ(AAS)，
∴AP＝MQ，
即﹣eq \f(2,5)x2＋eq \f(12,5)x﹣2＝3﹣x，解得：x＝，
∴M点的坐标为(，)或(，)，
③如图6，当点M与点B重合时，四边形ANMI是矩形，此时M(5，0)；
④如图7，当点M与点C重合时，四边形AMNI是正方形，此时M(0，﹣2)；
⑤如图8，过点M作对称轴的垂线，垂足为L，设对称轴交x轴于点K，
则△ATK≌△IBL(AAS)，
∴AK＝LI，KI＝BL，
∴﹣eq \f(2,5)x2＋eq \f(12,5)x﹣2＋x﹣3＝2，解得：x1＝5，x2＝eq \f(7,2)，
∴M(eq \f(7,2)，eq \f(3,2))；
⑥如图9，过点M作MH⊥x轴于点H，设对称轴交x轴于点K，则△AIK≌△MAH(AAS)，
∴AK＝MH，
∴eq \f(2,5)x2-eq \f(12,5)x＋2＝2，解得：x＝0(舍去)或6，
∴M(6，﹣2)；
⑦如图10，过点M作MH⊥对称轴于点H，设对称轴交x轴于点K，
则△AIK≌△IMH(AAS)，
∴IH＝AK＝2，MH＝KI，
∴eq \f(2,5)x2-eq \f(12,5)x＋2＝2＋3﹣x，解得：x＝5(舍去)或x＝﹣eq \f(3,2)，
∴M(﹣eq \f(3,2)，﹣eq \f(13,2))；
综上所述，点M的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)或(5，0)或(0，﹣2)或(eq \f(7,2)，eq \f(3,2))或(6，﹣2)或(﹣eq \f(3,2)，﹣eq \f(13,2))．
解：(1)把A(﹣1，0)，C(0，5)代入y＝﹣x2＋bx＋c，
得，解得．
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋4x＋5，
令y＝0，则﹣x2＋4x＋5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B(5，0)，
∴m＝5；
(2)∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋4x＋5＝﹣(x﹣2)2＋9，
∴对称轴为x＝2，
设D(x，﹣x2＋4x＋5)，
∵DE∥x轴，
∴E(4﹣x，﹣x2＋4x＋5)，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的周长＝2(﹣x2＋4x＋5)＋2(x﹣4＋x)＝﹣2x2＋12x＋2＝﹣2(x﹣3)2＋20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为(3，8)；
(3)过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，
∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B(5，0)，C(0，5)．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴CH∥x轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK(AAS)，
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋4x＋5＝﹣(x﹣2)2＋9，
∴对称轴为x＝2，M(2，9)，
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N(﹣4，3)，
设直线BN的解析式为y＝mx＋n，
∴，解得，
∴直线BN的解析式为y＝﹣eq \f(1,3)x＋eq \f(5,3)，∴Q(0，eq \f(5,3))，
设P(2，p)，
∴PQ2＝22＋(p﹣eq \f(5,3))2＝p2﹣eq \f(10,3)p＋，
BP2＝(5﹣2)2p2＝9＋p2，
BQ2＝52＋(eq \f(5,3))2＝25＋，
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2＋BQ2，
∴9＋p2＝p2﹣eq \f(10,3)p＋＋25＋，解得p＝，
∴点P的坐标为(2，)；
②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2＋BQ2，
∴p2﹣p＋＝9＋p2＋25＋，解得p＝﹣9，
∴点P′的坐标为(2，﹣9)．
综上，所有符合条件的点P的坐标为(2，)，(2，﹣9)．
解：(1)在抛物线y＝ax2＋bx＋3中，令x＝0，得y＝3，
∴C(0，3)，
∴CO＝3，
∵CO＝BO，
∴BO＝3，
∴B(3，0)，
∵A(﹣1，0)，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3，
∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点D坐标为(1，4)，
∴当x＝1时，y＝﹣1＋3＝2，
∴E(1，2)，
∴DE＝2；
(3)∵PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
当＝时，△PCF∽△CDE，
由D(1，4)，C(0，3)，E(1，2)，
利用勾股定理，可得CE＝eq \r(2)，
DE＝4﹣2＝2，
设点P坐标为(t，﹣t2＋2t＋3)，点F坐标为(t，﹣t＋3)，
∴PF＝﹣t2＋2t＋3﹣(﹣t＋3)＝﹣t2＋3t，CF＝eq \r(2)t，
∴＝，
∵t≠0，∴t＝2，
当t＝2时，﹣t2＋2t＋3＝﹣22＋2×2＋3＝3，
∴点P坐标为(2，3)．
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2＋9，
∵抛物线与y轴交于点A(0，5)，
∴4a＋9=5，
∴a=﹣1，y=﹣(x﹣2)2＋9=﹣x2＋4x＋5，
(2)当y=0时，﹣x2＋4x＋5=0，
∴x1=﹣1，x2=5，
∴E(﹣1，0)，B(5，0)，
设直线AB的解析式为y=mx＋n，
∵A(0，5)，B(5，0)，
∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x＋5；设P(x，﹣x2＋4x＋5)，
∴D(x，﹣x＋5)，
∴PD=﹣x2＋4x＋5＋x﹣5=﹣x2＋5x，
∵AC=4，
∴S四边形APCD=eq \f(1,2)×AC×PD=2(﹣x2＋5x)=﹣2x2＋10x，
∴当x=eq \f(5,2)时，
∴即点P(eq \f(5,2)，8eq \f(3,4))时，S四边形APCD最大=eq \f(25,2)，
(3)如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
∵MN∥AE，MN=AE，
∴△HMN≌△AOE，
∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，
当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)，
∵A(0，5)，E(﹣1，0)，
∴直线AE解析式为y=5x＋5，
∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x＋b，
∵点N在抛物线对称轴x=2上，
∴N(2，10＋b)，
∵AE2=OA2＋0E2=26
∵MN=AE
∴MN2=AE2，
∴MN2=(2﹣1)2＋[8﹣(10＋b)]2=1＋(b＋2)2
∵M点的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)，
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上，
∴M1N=M2N，
∴1＋(b＋2)2=26，
∴b=3，或b=﹣7，
∴10＋b=13或10＋b=3
∴当M点的坐标为(1，8)时，N点坐标为(2，13)，
当M点的坐标为(3，8)时，N点坐标为(2，3)，