2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项练习九（含答案）

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如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧)，点P是抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
如图，已知抛物线y=0.5x2﹣1.5x﹣2图象与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)．若C(m，1﹣m)是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上的一个动点(不与A，B重合)，过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)求证：四边形DECF是矩形；
(3)连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．
已知抛物线y＝mx2﹣2mx＋3(m＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；
(3)若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝eq \f(1,3)OC，求点P的坐标．
如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线y=eq \f(1,4)x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．
(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
(2)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0，1)，当点M的横坐标为何值时，MN＋3MP的长度最大？最大值是多少？
如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，﹣3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为(1，0)，且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；
(3)如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．
如图，已知二次函数y=ax2+1.5x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8，0)，连接AB、AC．
(1)求二次函数的解析式；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点H的坐标；
(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，﹣2)，且过点C(2，﹣2)．
(1)求二次函数表达式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA=4，求点P的坐标；
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO=∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
\s 0 答案
解：(1)∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A(﹣4，0)，B(0，4)
抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得
，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4.
令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1，
∴C(1，0).
(2)如答图1所示，设D(t，0).
∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴E(t，t+4)，P(t，﹣t2﹣3t+4).
PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4=﹣t2﹣4t=﹣(t+2)2+4，
∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P(﹣2，6).
(3)存在.
如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H.
设OH=m(m＞0)，∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴NH=AH=4﹣m，∴yQ=4﹣m.
又M为OA中点，∴MH=2﹣m.
△MON为等腰三角形：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴yQ=4﹣m=3.
由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得xQ=，
∴点Q坐标为(，3)或(，3)；
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=(4﹣m)2+(2﹣m)2，
化简得m2﹣6m+8=0，解得：m1=2，m2=4(不合题意，舍去)
∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得xQ=，
∴点Q坐标为(，2)或(，2)；
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=(4﹣m)2+m2，
化简得m2﹣4m+6=0，∵△=﹣8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形.
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形.
所求Q点的坐标为(，3)或(，3)或(，2)或(，2).
解：(1)当y=0时，0.5x2﹣1.5x﹣2=0，
解方程，得 x1=﹣1，x2=4．
∵点A在点B的左侧，∴点A、B的坐标分别是(﹣1，0)，(4，0)；
(2)证明：把C(m，1﹣m)代入y=0.5x2﹣1.5x﹣2得0.5m2﹣1.5m﹣2=1﹣m，
解方程，得m=3或m=﹣2．
∵点C位于第四象限，∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1，
∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C的坐标为(3，﹣2)．
过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠BHC=90°．
由A(﹣1，0)，B(4，0)，C(3，﹣2)得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，
∴AH：CH=CH：BH=2．
又∵∠AHC=∠CHB=90°，
∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH．
∵∠CBH+∠BCH=90°，
∴∠ACH+∠BCH=90°，∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴平行四边形DECF是矩形；
(3)存在．理由如下：连接CD．
∵平行四边形DECF是矩形，∴EF=CD．
当CD⊥AB时，CD的值最小．
∵C(3，2)，∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2．
解：(1)设A(x1，0)，B(x2，0)，
∵OB＝3OA，
∴x2＝﹣3x1，
令y＝0，则mx2﹣2mx＋3＝0，
∵x1与x2是方程的两根，
∴x1＋x2＝2，
又x2＝﹣3x1，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
将x＝﹣1代入到方程中得m＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)令x＝0，则y＝﹣x2＋2x＋3＝3，
∴C(0，3)，
设直线BC解析式为y＝kx＋3，
代入点B的坐标得，k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3，
设M(a，﹣a2＋2a＋3)，
如图1，过M作MG∥y轴交直线BC于G点，则G(a，﹣a＋3)，
∴MG＝﹣a2＋3a，
∴S△MBC＝S△MGC＋S△MGB＝＝，
当a＝eq \f(3,2)时，△MBC面积最大，此时△BCN的面积总小于△BCM的面积，
∴M(eq \f(3,2),eq \f(15,4))；
(3)如图2，由(1)可得，OC＝3，
∴EF＝eq \f(1,3)OC=1，设P(t，﹣t2＋2t＋3)，
∵B(3，0)，
∴直线BP的解析式为y＝﹣(t＋1)(x﹣3)，
∵y＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴D(1，4)，
过D作y轴的平行线交直线BP于Q点，
∴Q(1，2t＋2)，
∴DQ＝2﹣2t，
∵DQ∥y轴，
∴△PEF∽△PQD，
∴，∴，∴P()．
解：(1)∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，
∴y=eq \f(1,4)×(﹣2)2=1，A点的坐标为(﹣2，1)，设直线的函数关系式为y=kx＋b，
将(0，4)，(﹣2，1)代入得
，解得，∴直线y=eq \f(3,2)x＋4，
∵直线与抛物线相交，
∴eq \f(3,2)x＋4=eq \f(1,4)x2，解得：x=﹣2或x=8，
当x=8时，y=16，∴点B的坐标为(8，16)；
(2)如图1，连接AC，BC，
∵由A(﹣2，1)，B(8，16)可求得AB2=325．
设点C(m，0)，同理可得AC2=(m＋2)2＋12=m2＋4m＋5，
BC2=(m﹣8)2＋162=m2﹣16m＋320，
①若∠BAC=90°，则AB2＋AC2=BC2，即325＋m2＋4m＋5=m2﹣16m＋320，解得：m=﹣eq \f(1,2)；
②若∠ACB=90°，则AB2=AC2＋BC2，即325=m2＋4m＋5＋m2﹣16m＋320，解得：m=0或m=6；
③若∠ABC=90°，则AB2＋BC2=AC2，即m2＋4m＋5=m2﹣16m＋320＋325，解得：m=32；
∴点C的坐标为(﹣eq \f(1,2)，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)
(3)设M(a，eq \f(1,4)a2)，如图2，设MP与y轴交于点Q，
在Rt△MQN中，由勾股定理得MN==eq \f(1,4)a2＋1，
又∵点P与点M纵坐标相同，∴eq \f(3,2)x＋4=eq \f(1,4)a2，∴x=，
∴点P的横坐标为，∴MP=a﹣，
∴MN＋3PM=eq \f(1,4)a2＋1＋3(a﹣)=﹣eq \f(1,4)a2＋3a＋9，∴当a=6，
又∵﹣2≤6≤8，∴取到最大值18，
∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是18．

解：(1)将A，B，C代入函数解析式得，
，解得，
∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；
(2)①设BC的解析式为y＝kx＋b，
将B，C的坐标代入函数解析式得，
，解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设M(n，n﹣3)，P(n，n2﹣2n﹣3)，
PM＝(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)＝﹣n2＋3n＝﹣(n﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
当n＝eq \f(3,2)时，PM最大＝eq \f(9,4)，∴线段PM的最大值eq \f(9,4)；
②当PM＝PC时，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n2﹣2n﹣3＋3)2，
解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝2，
n2﹣2n﹣3＝﹣3，
P(2，﹣3)．
当PM＝MC时，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n﹣3＋3)2，
解得n1＝0(不符合题意，舍)，n2＝3﹣eq \r(2)，n3＝3＋eq \r(2)(不符合题意，舍)，
n2﹣2n﹣3＝2﹣4eq \r(2)，
P(3﹣eq \r(2)，2﹣4eq \r(2))．
综上所述：P(3﹣eq \r(2)，2﹣4eq \r(2))或(2，﹣3)．
解：(1)∵B点坐标为(1，0)，
∴OB＝1，
又∵OA＝OC＝3OB，
∴OA＝OC＝3，
∴A(﹣3，0)，C(0，﹣3)，
将A，B，C三点代入解析式得，
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2＋2x﹣3；
(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝x2＋2x﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝(﹣1)2＋2×(﹣1)﹣3＝﹣4，
∴D点的坐标为(﹣1，﹣4)，
∴|AD|＝2eq \r(5)，|AC|＝3eq \r(2)，|CD|＝eq \r(2)，
∵|AD|2＝|AC|2＋|CD|2，
∴△ACD是直角三角形，
S△ABC＝eq \f(1,2)|AC||CD|＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×eq \r(2)＝3；
(3)设直线AC的解析式为y＝sx＋t，
代入A，C点坐标，
得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHE＝∠OCA＝45°，
设点P(x，x2＋2x﹣3)，则点H(x，﹣x﹣3)，
∴PH＝﹣x﹣3﹣(x2＋2x﹣3)＝﹣x2﹣3x，
∴PE＝PHsin∠PHE＝(﹣x2﹣3x)×eq \f(\r(2),2)＝﹣eq \f(\r(2),2)(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(9,8)eq \r(2)，
∴当x＝﹣eq \f(3,2)时，PE有最大值为eq \f(9,8)eq \r(2)，此时P点的坐标为(﹣eq \f(3,2)，﹣eq \f(15,4))．
解：(1)∵二次函数y=ax2+eq \f(3,2)x+c(a≠0)的图象过点A(0，4)，C(8，0)，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为y=﹣eq \f(1,4)x2+eq \f(3,2)x+4；
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵y=﹣eq \f(1,4)x2+eq \f(3,2)x+4，∴当y=0时，﹣eq \f(1,4)x2+eq \f(3,2)x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为(﹣2，0)．
在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=42+22=20，
在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=42+82=80，
∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中，AB2+AC2=20+80=100=102=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)设点H的坐标为(n，0)，
则AC2=80，AH2=n2+16，HC2=(n﹣8)2=n2﹣16n+64．
当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，可分三种情况：
①如果AH=AC，那么n2+16=80，
解得n=±8(正值舍去)，此时点H的坐标为(﹣8，0)；
②如果HC=AC，那么(n﹣8)2=80，
解得n=8±4eq \r(5)，此时点H的坐标为(8+4eq \r(5)，0)或(8﹣4eq \r(5)，0)；
③如果AH=HC，那么n2+16=n2﹣16n+64，
解得n=3，此时点H的坐标为(3，0)；
综上所述，若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，
点H的坐标分别为(﹣8，0)、(8﹣4eq \r(5)，0)、(3，0)、(8+4eq \r(5)，0)；
(4)设点N的坐标为(t，0)，则BN=t+2，过M作MD⊥x轴于点D．
∵MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵NM∥AC，∴=，∴=，
∵AO=4，BC=10，BN=t+2，∴MD=eq \f(2,5)(t+2)，
∴S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=eq \f(1,2)BN×OA﹣eq \f(1,2)BN×MD=eq \f(1,2)×(t+2)×4﹣eq \f(1,2)×(t+2)×eq \f(2,5)(t+2)
=﹣eq \f(1,2)t2+eq \f(6,5)t+3.2=﹣eq \f(1,2)(t﹣3)2+5，
∴当t=3时，△AMN面积最大，此时点N的坐标为(3，0)．

解：(1)∵二次函数的图象经过点A(3，0)、B(0，﹣2)、C(2，﹣2)
∴ 解得：
∴二次函数表达式为y=eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x﹣2
(2)如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D
设P(t，eq \f(2,3)t2﹣eq \f(4,3)t﹣2)(t＞3)∴OD=t，PD=eq \f(2,3)t2﹣eq \f(4,3)t﹣2
设直线BP解析式为y=kx﹣2
把点P代入得：kt﹣2=eq \f(2,3)t2﹣eq \f(4,3)t﹣2∴k=eq \f(2,3)t﹣eq \f(4,3)
∴直线BP：y=(eq \f(2,3)t﹣eq \f(4,3))x﹣2
当y=0时，(eq \f(2,3)t﹣eq \f(4,3))x﹣2=0，解得：x=∴C(，0)
∵t＞3∴t﹣2＞1
∴，即点C一定在点A左侧∴AC=3﹣
∵S△PBA=S△ABC+S△ACP=eq \f(1,2)AC×OB+eq \f(1,2)AC×PD=eq \f(1,2)AC(OB+PD)=4
∴=4解得：t1=4，t2=﹣1(舍去)
∴eq \f(2,3)t2﹣eq \f(4,3)t﹣2=eq \f(10,3).
∴点P的坐标为(4，eq \f(10,3))
(3)在抛物线上(AB下方)存在点M，使∠ABO=∠ABM．
如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，
连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F
∴AB垂直平分OE∴BE=OB，OG=GE∴∠ABO=∠ABM
∵A(3，0)、B(0，﹣2)，∠AOB=90°
∴OA=3，OB=2，AB=
∴sin∠OAB=，cs∠OAB=
∵S△AOB=OA×OB=AB×OG∴OG=∴OE=2OG=
∵∠OAB+∠AOG=∠AOG+∠BOG=90°∴∠OAB=∠BOG
∴Rt△OEF中，sin∠BOG=，cs∠BOG=
∴EF=OE=，OF=OE=∴E(，﹣)
设直线BE解析式为y=ex﹣2
把点E代入得： e﹣2=﹣，解得：e=﹣
∴直线BE：y=﹣eq \f(5,12)x﹣2
当﹣eq \f(5,12)x﹣2=eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x﹣2，解得：x1=0(舍去)，x2=
∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．