2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习09（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习09（含答案），共14页。试卷主要包含了以PQ，QM为边作矩形PQMN等内容，欢迎下载使用。
如图1所示，直线y＝eq \f(3,4)x＋3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C(1，2)在经过点A，B的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段AB上(不与端点重合)的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ＋eq \f(4,5)PB取得最大值时点P的坐标；
(3)如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G(﹣1，0)，直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD＋∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋eq \f(3,2)．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求b的值．
(2)当点Q与点M重合时，求m的值．
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
如图1，抛物线y＝eq \f(\r(2),4)x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx＋c交y轴于点C．
(1)求k、b、c的值；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求eq \f(1,2)AM＋OM的最小值．
如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的函数表达式.
(2)在抛物线的对称轴直线x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标.
(3)设P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
抛物线y=ax2+bx+3经过点A、B、C，已知A(﹣1，0)，B(3，0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，延长DP交x轴于点F，M(m，0)是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC=90°，请直接写出实数m的取值范围.
如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
如图1，对称轴为直线x=eq \f(1,2)的抛物线经过B(2，0)、C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
(3)如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求点A的坐标；
(2)如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；
(3)如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移2eq \r(10)个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．
\s 0 答案
解：(1)由题意得：A(﹣4，0)，B(0，3)，
∴，∴，
∴y＝﹣﹣＋3；
(2)如图1，
作PD⊥OB于D，
设Q(m，﹣﹣＋3)，P(m， m＋3)，
∴PQ＝﹣﹣＋3﹣(＝﹣﹣，
∵PD∥OA，
∴△BPD∽△BAO，
∴＝，∴＝，
∴PB＝﹣eq \f(5,4)m，
∴PQ＋eq \f(4,5)PB＝﹣﹣m﹣m＝﹣﹣，
∴当m＝﹣eq \f(24,7)，∵eq \f(3,4)×(﹣eq \f(24,7))＋3＝eq \f(3,7)，
∴P(﹣eq \f(24,7)，eq \f(3,7))；
(3)如图2，
作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T，
∵C(1，2)，G(﹣1，0)，
∴CN＝GN＝2，
∴∠CGN＝∠NCG＝45°，
∴∠CFD＋∠GDF＝45°，
∵∠CFD＋∠ABH＝45°，
∴∠GDF＝∠ABH，
∵∠GDF＝∠HBO，
∴∠ABH＝∠HBO，
∴OM＝MT，
∵S△ABM＋S△BOM＝S△AOB，
∴，
∴5OM＋3OM＝3×4，
∴OM＝eq \f(3,2)，∴M(﹣eq \f(3,2)，0)，
∴直线BM的解析式为：y＝2x＋3，
∵C(1，2)，G(﹣1，0)，
∴直线CG的解析式为：y＝x＋1，
由2x＋3＝x＋1得，x＝﹣2，
∴x＋1＝﹣1，
∴H(﹣2，﹣1)．
解：(1)把点A(3，0)代入y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)，得到0＝﹣eq \f(9,2)＋3b＋eq \f(3,2)，解得b＝1．
(2)∵抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)，
∴P(m，﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(3,2))，
∵M，Q重合，
∴﹣m＋eq \f(3,2)＝﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(3,2)，解得m＝0或4．
(3)y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)＝﹣eq \f(1,2) (x﹣1)2＋2，
∴抛物线的顶点坐标为(1，2)，
由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m＋eq \f(3,2)﹣(﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(3,2))且﹣m＋eq \f(3,2)＞2，得m＜﹣eq \f(1,2)
解得m＝1﹣eq \r(7)或1＋eq \r(7)(不合题意舍弃)，∴m＝1﹣eq \r(7)．
(4)当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
则有﹣m＋eq \f(3,2)＜﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(3,2)，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，
观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，
当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，
当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．
解：(1)由AO＝2BO＝4知，点A、B的坐标分别为(﹣4，0)、(2，0)，
设抛物线的表达式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，
则y＝eq \f(\r(2),4)(x＋4)(x﹣2)＝eq \f(\r(2),4)x2＋eq \f(\r(2),2)x﹣2eq \r(2)，
则点C(0，﹣2eq \r(2))，
将点A、C的坐标代入y＝kx＋c并解得：y＝﹣eq \f(\r(2),2)x﹣2eq \r(2)，即k＝﹣eq \f(\r(2),2)，
故k＝﹣eq \f(\r(2),2)，b＝eq \f(\r(2),2)，c＝﹣2eq \r(2)；
(2)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，则设点P的坐标为(﹣1，m)，
①当∠PAC为直角时，如图1，设抛物线的对称轴交x轴于点H，
则AH＝﹣1﹣(﹣4)＝3，PH＝m，AO＝4，OC＝2eq \r(2)，
∵∠PAH＋∠CAO＝90°，∠CAO＋∠ACO＝90°，
∴∠PAH＝∠ACO，
∴tan∠PAH＝tan∠ACO，即，∴，
解得m＝3eq \r(2)；故点P的坐标为(﹣1，3eq \r(2))；
②当∠APC为直角时，如图2，
故点P作x轴的平行线交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
则AM＝|m|，PM＝3，CN＝|m＋2eq \r(2)|，PN＝1，
同理可得∠MPA＝∠PCN，
∴tan∠MPA＝tan∠PCN，即，解得：m＝﹣eq \r(2)±eq \r(5)，
故点P的坐标为(﹣1，﹣eq \r(2)﹣eq \r(5))或(﹣1，﹣eq \r(2)＋eq \r(5))；
③当∠ACP为直角时，如图3，
同理可得，点P的坐标为(﹣1，﹣3eq \r(2))；
综上，点P的坐标为(﹣1，3eq \r(2))或(﹣1，﹣eq \r(2)﹣eq \r(5))或(﹣1，﹣eq \r(2)＋eq \r(5))或(﹣1，﹣3eq \r(2))；
(3)过点A作直线AN使∠NAC＝30°，过点O作ON⊥AN交AE于点M，则点M为所求点，
理由：∠MAN＝30°，则MN＝eq \f(1,2)AM，则eq \f(1,2)AM＋OM＝MN＋OM＝ON为最小，
过点O作OE⊥AC于点E，则∠MOE＝90°﹣∠OME＝90°﹣∠AMN＝∠MAN＝30°，
由点A、C的坐标得，AC＝2eq \r(6)，
则sin∠ACO＝eq \f(\r(6),3)，则cs∠ACO＝eq \f(\r(3),3)，
在Rt△COE中，OE＝OCsin∠ACO＝eq \f(4\r(3),3)，
同理可得，CE＝eq \f(2,3)eq \r(6)，
在Rt△OME中，ME＝OEtan∠MOE＝eq \f(4,3)，OM＝2ME＝eq \f(8,3)，
则AM＝AC﹣ME﹣EC＝eq \f(4,3)eq \r(6)﹣eq \f(4,3)＝2MN，则MN＝eq \f(2,3)eq \r(6)﹣eq \f(2,3)，
则eq \f(1,2)AM＋OM的最小值＝OM＋MN＝eq \f(2,3)eq \r(6)＋2．
解：(1)由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝－1，,a＋b＋c＝0，,c＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,c＝3.))
∴抛物线的函数表达式为y=﹣x2﹣2x＋3.
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过点A(1，0)，
∴点B(﹣3，0).
把点B(﹣3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=mx＋n，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3m＋n＝0，,n＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3.))
∴直线BC的函数表达式为y=x＋3.
(2)∵点A与点B关于直线x=﹣1对称，
∴直线BC与对称轴x=﹣1的交点就是使MA＋MC的值最小的点M.
把x=﹣1代入y=x＋3，得y=2，
∴点M(﹣1，2).
(3)如解图，设点P(﹣1，t).
∵点B(﹣3，0)，C(0，3)，
∴BC2=18，PB2=(﹣1＋3)2＋t2=4＋t2，PC2=(﹣1)2＋(t﹣3)2=t2﹣6t＋10.
①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2=PC2，
即18＋4＋t2=t2﹣6t＋10，解得t=﹣2.
②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2=PB2，
即18＋t2﹣6t＋10=4＋t2，解得t=4.
③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2=BC2，
即4＋t2＋t2﹣6t＋10=18，解得t1=eq \f(3＋\r(17),2)，t2=eq \f(3－\r(17),2).
综上所述，点P的坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，eq \f(3＋\r(17),2))或(﹣1，eq \f(3－\r(17),2)).
解：(1)由题意得：
，解得：，
故抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
(2)令x=0，则y=3，即C(0，3).
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
则，解得：，
故直线BC的解析式为y=﹣x+3.
设P(a，3﹣a)，则D(a，﹣a2+2a+3)，
∴PD=(﹣a2+2a+3)﹣(3﹣a)=﹣a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=eq \f(1,2)PD•a+eq \f(1,2)PD•(3﹣a)=eq \f(1,2)PD•3=eq \f(3,2)(﹣a2+3a)=﹣eq \f(3,2)(a﹣eq \f(3,2))2+，
∴当a=eq \f(3,2)时，△BDC的面积最大，此时P(eq \f(3,2)，eq \f(3,2))；
(3)将x=eq \f(3,2)代入y=﹣x2+2x+3，得y=﹣(eq \f(3,2))2+2×eq \f(3,2)+3=eq \f(15,4)，∴点D的坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(15,4)).
过点C作CG⊥DF，则CG=eq \f(3,2).
①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大.
∵∠MNC=90°，∴CD2+DM2=CM2，
∵C(0，3)，D(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))，M(m，0)，
∴(eq \f(3,2)﹣0)2+(eq \f(15,4)﹣3)2+(m﹣eq \f(3,2))2+(0﹣eq \f(15,4))2=(m﹣0)2+(0﹣3)2，解得m=.
∴点M的坐标为(，0)，即m的最大值为；
②点N在线段GF上时，设GN=x，则NF=3﹣x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
又∵∠NGC=∠MFN=90°，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴=，即=，整理得，MF=﹣eq \f(2,3)x2+2x=﹣eq \f(2,3)(x﹣eq \f(3,2))2+eq \f(3,2)，
∴当x=eq \f(3,2)时(N与P重合)，MF有最大值eq \f(3,2)，此时M与O重合，
∴M的坐标为(0，0)，∴m的最小值为0，
故实数m的变化范围为0≤m≤.
解：(1)如图1，由题意得：A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，8)，
设抛物线的解析式为：y＝ax2＋8，
把B(4，0)代入得：0＝16a＋8，
∴a＝﹣eq \f(1,2)，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣eq \f(1,2)x2＋8，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH＝FG＝2OG，设H(t，﹣eq \f(1,2)t2＋8)(t＞0)，
∴﹣eq \f(1,2)t2＋8＝2t，解得：t1＝﹣2＋2eq \r(5)，t2＝﹣2﹣2eq \r(5)(舍)，
∴此正方形的面积＝FG2＝(2t)2＝4t2＝4(﹣2＋2eq \r(5))2＝(96﹣32eq \r(5))dm2；
(2)如图2，由(1)知：设H(t，﹣eq \f(1,2)t2＋8)(t＞0)，
∴矩形EFGH的周长＝2FG＋2GH＝4t＋2(﹣eq \f(1,2)t2＋8)＝﹣t2＋4t＋16＝﹣(t﹣2)2＋20，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；
(3)若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，
则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，
设N(m，﹣eq \f(1,2)m2＋8)，
由勾股定理得：PM2＋PN2＝MN2，
∴m2＋(﹣eq \f(1,2)m2＋8﹣3)2＝32，解得：m1＝2eq \r(2)，m2＝﹣2eq \r(2)(舍)，
∴N(2eq \r(2)，4)，
∴PM＝4﹣1＝3，
∵cs∠NMP＝＝＝，
∴MQ＝3MN＝9，
∴Q(0，12)，
设QN的解析式为：y＝kx＋b，
∴，∴，
∴QN的解析式为：y＝﹣2eq \r(2)x＋12，
﹣eq \f(1,2)x2＋8＝﹣2eq \r(2)x＋12，eq \f(1,2)x2﹣2eq \r(2)x＋4＝0，
Δ＝(﹣2eq \r(2))2﹣4×eq \f(1,2)×4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．
解：(1)由对称性得：A(﹣1，0)，设抛物线的解析式为：y=a(x＋1)(x﹣2)，
把C(0，4)代入：4=﹣2a，a=﹣2，
∴y=﹣2(x＋1)(x﹣2)，
∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2＋2x＋4；
(2)如图1，设点P(m，﹣2m2＋2m＋4)，过P作PD⊥x轴，垂足为D，
∴S=S梯形＋S△PDB=eq \f(1,2)m(﹣2m2＋2m＋4＋4)＋eq \f(1,2)(﹣2m2＋2m＋4)(2﹣m)，
S=﹣2m2＋4m＋4=﹣2(m﹣1)2＋6，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，则S大=6；
(3)如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，
理由是：设直线BC的解析式为：y=kx＋b，
把B(2，0)、C(0，4)代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x＋4，
设M(a，﹣2a＋4)，过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的解析式为：y=eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)，
则直线BC与直线AE的交点E(1.4，1.2)，
设Q(﹣x，0)(x＞0)，
∵AE∥QM，∴△ABE∽△QBM，∴①，
由勾股定理得：x2＋42=2×[a2＋(﹣2a＋4﹣4)2]②，
由①②得：a1=4(舍)，a2=eq \f(4,3)，当a=eq \f(4,3)时，x=eq \f(4,3)，∴Q(﹣eq \f(4,3)，0)．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，
令y＝0，得x2＋2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为(﹣3，0)；
(2)如图，延长DE交x轴于点K，
∵抛物线y＝x2＋2x﹣3与y轴交于点C，
∴C(0，﹣3)，
设直线AC的函数表达式为y＝kx＋n(k≠0)，
∵A(﹣3，0)，C(0，﹣3)，
∴，解得，
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，
设D(t，t2＋2t﹣3)，其中﹣3＜t＜0，
∴E((t，﹣t﹣3)，K(t，0)，
∴DE＝﹣t2﹣3t，
∵S1＝S△ADC＝eq \f(1,2)DE•OA＝eq \f(3,2)(﹣t2﹣3t)＝﹣eq \f(3,2)t2﹣eq \f(9,2)t，
S2＝S△AEO＝eq \f(1,2)EK•OA＝eq \f(3,2)(t＋3)＝eq \f(3,2)t＋eq \f(9,2)，
∴S1﹣S2＝﹣eq \f(3,2)t2﹣eq \f(9,2)t﹣(eq \f(3,2)t＋eq \f(9,2)＝﹣eq \f(3,2)t2﹣6t﹣eq \f(9,2))＝﹣eq \f(3,2)(t＋2)2＋eq \f(3,2)，
∴当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为eq \f(3,2)，
此时点D的坐标为(﹣2，﹣3).
(3)∵C(0，﹣3)，B(1，0)，
∴＝，
∵抛物线沿射线CB方向平移2eq \r(10)个单位长度，
∴抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为y＝(x＋1﹣2)2﹣4＋6＝(x﹣1)2＋2，
当x＝0时，y＝3，
∴M(0，3)，
∵原抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设N(﹣1，n)，
①当AM＝AN时，9＋9＝4＋n2，
∴n＝±eq \r(14)，
∴N(﹣1，eq \r(14))或N(﹣1，﹣eq \r(14))；
②当AM＝MN时，9＋9＝1＋(3﹣n)2，
∴n＝3＋eq \r(17)或n＝3﹣eq \r(17)，
∴N(﹣1，3＋eq \r(17))或N(﹣1，3﹣eq \r(17))；
综上所述：N点坐标为(﹣1，eq \r(14))或(﹣1，﹣eq \r(14))或(﹣1，3＋eq \r(17))或(﹣1，3﹣eq \r(17))．