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    2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习06(含答案)

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    2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习06(含答案)

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    这是一份2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习06(含答案),共15页。试卷主要包含了如图2,连接BE,等内容,欢迎下载使用。
    如图,抛物线y=ax2+eq \f(3,2)x+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A,C两点坐标分别是A(1,0),C(0,﹣2),连接AC,BC.
    (1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式;
    (2)将△ABC沿BC所在直线折叠,得到△DBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上?若点D在对称轴上,请求出点D的坐标;若点D不在对称轴上,请说明理由;
    (3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接AP交BC于点Q,连接BP,△BPQ的面积记为S1,△ABQ的面积记为S2,求的值最大时点P的坐标.
    如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(0,﹣2),并与x轴交于点C,点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M,B,C三点不在同一直线上).
    (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
    (2)在抛物线上找出两点P1,P2,使得△MP1P2与△MCB全等,并求出点P1,P2的坐标;
    (3)在对称轴上是否存在点Q,使得∠BQC为直角,若存在,作出点Q(用尺规作图,保留作图痕迹),并求出点Q的坐标.
    如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(﹣2,0),点B(4,0),与y轴交于点C,过点C作直线CD∥x轴,与抛物线交于点D,作直线BC,连接AC.
    (1)求抛物线的函数表达式,并用配方法求抛物线的顶点坐标;
    (2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
    (3)点M在y轴上,且位于点C的上方,点N在直线BC上,点P为直线BC上方抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
    如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2,0),B(4,0),与直线y=eq \f(3,2)x+3交于y轴上的点C,直线y=﹣eq \f(3,2)x+3与x轴交于点D.
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)点P是抛物线上第一象限内的一一个动点,连接PC、PD,当△PCD的面积最大时,求点P的坐标;
    (3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l,点E是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点,连接OE、BE,若直线l上存在使sin∠BEO最大的点E,请直接写出满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.
    如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点,与y轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值:
    (1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标;
    (2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方),求AQ+QP+PC的最小值;
    (3)如图2,点D是第四象限内抛物线上一动点,过点D作DF⊥x轴,垂足为F,△ABD的外接圆与DF相交于点E.试问:线段EF的长是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
    如图,抛物线y=ax2+bx﹣eq \f(20,9),交y轴于点A,交x轴于B(﹣1,0),C(5,0)两点,抛物线的顶点为D,连接AC,CD.
    (1)求直线AC的函数表达式;
    (2)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标;
    (3)过点D作x轴的垂线交AC于点G,点H为线段CD上一动点,连接GH,将△DGH沿GH翻折到△GHR(点R,点G分别位于直线CD的两侧),GR交CD于点K,当△GHK为直角三角形时.
    ①请直接写出线段HK的长为 ;
    ②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°),得到△MHN,若直线MN分别与直线CD,直线DG交于点P,Q,当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时,请直接写出点P的纵坐标为 .
    已知:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴负半轴于点C.
    (1)则点A的坐标为 ,点B的坐标为 .
    (2)如图1,过点A的直线y=ax+a交y轴正半轴于点F,交抛物线于点D,过点B作BE∥y轴交AD于E,求证:AF=DE.
    (3)如图2,直线DE:y=kx+b与抛物线只有一个交点D,与对称轴交于点E,对称轴上存在点F,满足DF=FE.若a=1,求点F坐标.
    如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx﹣4k+4与抛物线y=eq \f(1,4)x2﹣x交于A、B两点.
    (1)直线总经过定点,请直接写出该定点的坐标;
    (2)点P在抛物线上,当k=﹣eq \f(1,2)时,解决下列问题:
    ①在直线AB下方的抛物线上求点P,使得△PAB的面积等于20;
    ②连接OA,OB,OP,作PC⊥x轴于点C,若△POC和△ABO相似,请直接写出点P的坐标.
    \s 0 答案
    解:(1)∵抛物线y=ax2+eq \f(3,2)x+c过点A(1,0),C(0,﹣2),
    ∴,解得:.
    ∴抛物线的表达式为y=eq \f(1,2)x2+eq \f(3,2)x﹣2.
    设直线AC的表达式为y=kx+b,则
    ,解得:.
    ∴直线AC的表达式为y=2x﹣2.
    (2)点D不在抛物线的对称轴上,理由是:
    ∵抛物线的表达式为y=eq \f(1,2)x2+eq \f(3,2)x﹣2,
    ∴点B坐标为(﹣4,0).
    ∵OA=1,OC=2,
    ∴.
    又∵∠AOC=∠COB=90°,
    ∴△AOC∽△COB.
    ∴∠ACO=∠CBO.
    ∴∠ACO+∠BCO=∠OBC+∠BCO=90°,
    ∴AC⊥BC.
    ∴将△ABC沿BC所在直线折叠,点D一定落在直线AC上,
    延长AC至D,使DC=AC,过点D作DE⊥y轴交y轴于点E,如图1.
    又∵∠ACO=∠DCE,
    ∴△ACO≌△DCE(AAS).
    ∴DE=AO=1,则点D横坐标为﹣1,
    ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣eq \f(3,2).
    故点D不在抛物线的对称轴上.
    (3)设过点B、C的直线表达式为y=px+q,
    ∵C(0,﹣2),B(﹣4,0),
    ∴,解得:.
    ∴过点B、C的直线解析式为y=﹣eq \f(1,2)x﹣2.
    过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M,点M坐标为(1,﹣eq \f(5,2)),
    过点P作x轴的垂线交BC于点N,垂足为H,如图2.
    设点P坐标为(m,eq \f(1,2)m2+eq \f(3,2)m﹣2),则点N坐标为(m,﹣eq \f(1,2)m﹣2),
    ∴PN=﹣eq \f(1,2)m﹣2﹣(eq \f(1,2)m2+eq \f(3,2)m﹣2)=﹣eq \f(1,2)m2﹣2m,
    ∵PN∥AM,
    ∴△AQM∽△PQN.
    ∴.
    若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积(同高不等底),
    则△BPQ与△BAQ的面积比为,即.
    ∴==.
    ∵﹣eq \f(1,5)<0,
    ∴当m=﹣2时,的最大值为,此时点P坐标为(﹣2,﹣3).
    解:(1)把A(﹣1,0),B(0,﹣2)代入抛物线y=x2+bx+c中得:
    ,解得:,
    ∴抛物线所表示的二次函数的表达式为:y=x2﹣x﹣2;
    (2)如图1,P1与A重合,P2与B关于l对称,
    ∴MB=P2M,P1M=CM,P1P2=BC,
    ∴△P1MP2≌△CMB,
    ∵y=x2﹣x﹣2=(x﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(9,4),
    此时P1(﹣1,0),
    ∵B(0,﹣2),对称轴:直线x=eq \f(1,2),
    ∴P2(1,﹣2);
    如图2,MP2∥BC,且MP2=BC,
    此时,P1与C重合,
    ∵MP2=BC,MC=MC,∠P2MC=∠BP1M,
    ∴△BMC≌△P2P1M,
    ∴P1(2,0),
    由点B向右平移eq \f(1,2)个单位到M,可知:点C向右平移eq \f(1,2)个单位到P2,
    当x=eq \f(5,2)时,y=(eq \f(5,2)﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(9,4)=eq \f(7,4),
    ∴P2(eq \f(5,2),eq \f(7,4));
    如图3,构建▱MP1P2C,可得△P1MP2≌△CBM,此时P2与B重合,
    由点C向左平移2个单位到B,可知:点M向左平移2个单位到P1,
    ∴点P1的横坐标为﹣eq \f(3,2),
    当x=﹣eq \f(3,2)时,y=(﹣eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(9,4)=4﹣eq \f(9,4)=eq \f(7,4),
    ∴P1(﹣eq \f(3,2),eq \f(7,4)),P2(0,﹣2);
    (3)如图3,存在,作法:以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2,
    则∠BQ1C=∠BQ2C=90°;
    过Q1作DE⊥y轴于D,过C作CE⊥DE于E,
    设Q1(eq \f(1,2),y)(y>0),
    易得△BDQ1∽△Q1EC,
    ∴,∴=,
    y2+2y﹣eq \f(3,4)=0,解得:y1=﹣1﹣eq \f(\r(7),2)(舍),y2=﹣1+eq \f(\r(7),2),
    ∴Q1(eq \f(1,2),﹣1+eq \f(\r(7),2)),同理可得:Q2(eq \f(1,2),﹣1﹣eq \f(\r(7),2));
    综上所述,点Q的坐标是:(eq \f(1,2),﹣1+eq \f(\r(7),2)),或(eq \f(1,2),﹣1﹣eq \f(\r(7),2)).
    解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),
    ∴得,∴解得,
    ∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4,
    ∵,
    ∴抛物线的顶点坐标为(1,eq \f(9,2));
    (2)如图1,
    设满足条件的点在抛物线上:
    ①当点E位于直线CD下方时,过点E作EF⊥直线CD,垂足为F.
    则F(t,4),CF=t,,
    根据题意,当∠ECD=∠ACO时,tan∠ACO=tan∠ECD,
    即,∴,解得t1=0(舍去),t2=3,
    ∴;
    ②当点E'位于直线CD上方时,过点E'作E'F'⊥直线CD,垂足为F'.
    则F'(s,4),CF'=s,E'F'=﹣eq \f(1,2)s2+s+4﹣4=﹣eq \f(1,2)s2+s,
    根据题意,当∠ECD=∠ACO时,tan∠ACO=tan∠ECD,
    即,∴,解得s1=0(舍去),s2=1.
    ∴E’(1,eq \f(9,2)),
    所以,点E的坐标为(3,eq \f(5,2))或(1,eq \f(9,2));
    (3)①CM为菱形的边,如图2,在第一象限内取点P′,过点P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,交y轴于M′,
    ∴四边形CM′P′N′是平行四边形,
    ∵四边形CM′P′N′是菱形,
    ∴P′M′=P′N′,
    过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,
    ∵OC=OB,∠BOC=90°,
    ∴∠OCB=45°,
    ∴∠P′M′C=45°,
    设点P′(m,﹣eq \f(1,2)m2+m+4),
    在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=eq \r(2)m,
    ∵B(4,0),C(0,4),
    ∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,
    ∵P′N′∥y轴,
    ∴N′(m,﹣m+4),
    ∴P′N′=﹣eq \f(1,2)m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣eq \f(1,2)m2+2m,
    ∴eq \r(2)m=﹣eq \f(1,2)m2+2m,∴m=0(舍)或m=4﹣2eq \r(2),
    菱形CM′P′N′的边长为eq \r(2)(4﹣2eq \r(2))=4eq \r(2)﹣4.
    ②CM为菱形的对角线,如图3,
    在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,
    交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,
    ∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,
    ∵四边形CPMN是菱形,
    ∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,
    ∵∠OCB=45°,
    ∴∠NCQ=45°,
    ∴∠PCQ=45°,
    ∴∠CPQ=∠PCQ=45°,
    ∴PQ=CQ,
    设点P(n,﹣eq \f(1,2)n2+n+4),
    ∴CQ=n,OQ=n+4,
    ∴n+4=﹣eq \f(1,2)n2+n+4,∴n=0(舍),
    ∴此种情况不存在.
    综上,菱形的边长为4eq \r(2)﹣4.
    解:(1)用交点式函数表达式得: SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 .
    则函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2) SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即点 SKIPIF 1 < 0 ,
    连接 SKIPIF 1 < 0 ,设点 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 有最大值,此时点 SKIPIF 1 < 0 ;
    (3)如图,经过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ,此时, SKIPIF 1 < 0 最大,
    过圆心 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
    同样当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的下方时,其坐标为 SKIPIF 1 < 0 ;
    故点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
    解:(1)根据表格可得出A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),
    设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
    将C(0,3)代入,得:3=a(0+1)(0﹣3),解得:a=﹣1,
    ∴y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
    ∴该抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,顶点坐标为M(1,4);
    (2)如图1,将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0,2),连接BC′交抛物线对称轴x=1于点Q′,过点C作CP′∥BC′,交对称轴于点P′,连接AQ′,
    ∵A、B关于直线x=1对称,
    ∴AQ′=BQ′,
    ∵CP′∥BC′,P′Q′∥CC′,
    ∴四边形CC′Q′P′是平行四边形,
    ∴CP′=C′Q′,Q′P′=CC′=1,
    在Rt△BOC′中,BC′=eq \r(13),
    ∴AQ′+Q′P′+P′C=BQ′+C′Q′+Q′P′=BC′+Q′P′=eq \r(13)+1,
    此时,C′、Q′、B三点共线,BQ′+C′Q′的值最小,
    ∴AQ+QP+PC的最小值为eq \r(13)+1;
    (3)线段EF的长为定值1.如图2,连接BE,
    设D(t,﹣t2+2t+3),且t>3,
    ∵EF⊥x轴,
    ∴DF=﹣(﹣t2+2t+3)=t2﹣2t﹣3,
    ∵F(t,0),
    ∴BF=OF﹣OB=t﹣3,AF=t﹣(﹣1)=t+1,
    ∵四边形ABED是圆内接四边形,
    ∴∠DAF+∠BED=180°,
    ∵∠BEF+∠BED=180°,
    ∴∠DAF=∠BEF,
    ∵∠AFD=∠EFB=90°,
    ∴△AFD∽△EFB,
    ∴=,∴=,∴EF===1,
    ∴线段EF的长为定值1.
    解:(1)设直线AC的函数表达式为:y=kx+c,
    ∵抛物线y=ax2+bx﹣eq \f(20,9),交y轴于点A,∴A(0,﹣eq \f(20,9)),
    将A(0,﹣eq \f(20,9)),C(5,0)分别代入y=kx+c,
    得:,解得:,
    ∴直线AC的函数表达式为:y=eq \f(4,9)x﹣eq \f(20,9),
    (2)∵抛物线y=ax2+bx﹣eq \f(20,9)经过B(﹣1,0),C(5,0)两点,
    ∴,解得:,
    ∴抛物线的解析式为y=eq \f(4,9)x2﹣x﹣eq \f(20,9),
    ∵y=eq \f(4,9)x2﹣eq \f(16,9)x﹣eq \f(20,9)=eq \f(4,9)(x﹣2)2﹣4,
    ∴顶点D的坐标为(2,﹣4);
    (3)①如图1,∵△GHK为直角三角形,且点R,点G分别位于直线CD的两侧,
    ∴∠GHK=90°或∠HGK=90°或∠GKH=90°,
    当∠GHK=90°时,∠GHD=90°,点R落在直线DC上,不符合题意,
    当∠HGK=90°时,∠DGH=∠HGK=90°,点R,点G位于直线CD的同侧,不符合题意,
    当∠GKH=90°时,点R,点G分别位于直线CD的两侧,符合题意,
    ∴∠GKH=90°,∠DGH=∠RGH,
    过点H作HL⊥DG于点L,则HL=HK,
    ∵D(2,﹣4),DG⊥x轴,
    ∴G(2,﹣eq \f(4,3)),F(2,0),
    ∴DG=﹣eq \f(4,3)﹣(﹣4)=eq \f(8,3),CF=5﹣2=3,DF=4,
    ∴CD=5,
    ∵∠DFC=∠GKH=90°,∠GDK=∠CDF,
    ∴△GDK∽△CDF,
    ∴==,即==,
    ∴GK=,DK=,
    ∵S△GKH+S△GDH=S△GDK,
    ∴××HK+××HL=××,
    故答案为:eq \f(4,5);
    ②∵△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形,
    ∴PQ=DQ或PQ=DP,
    当PQ=DQ时,如图2,由旋转知:点H到PQ、DQ的距离相等,
    ∴QH⊥DP,DH=HP,
    由①知HL=HK=eq \f(4,5),
    ∵HL∥CF,
    ∴=,即=,
    ∴DL=,
    ∴L的纵坐标为﹣4=﹣,即H的纵坐标为﹣,
    ∵H为D、P的中点,
    ∴P的纵坐标为﹣,
    当PQ=DP时,如图3,点P为DQ的垂直平分线与CD的交点,
    ∵H(,﹣),
    ∴经过点H平行MN的直线为y=﹣eq \f(4,3)x+eq \f(4,5),
    ∵点H到直线MN的距离为eq \f(4,5),
    ∴直线MN的解析式为y=﹣eq \f(4,3)x﹣eq \f(8,15),
    ∵直线CD的解析式为y=eq \f(4,3)x﹣eq \f(20,3),
    ∴P(,﹣);
    综上所述,点P的纵坐标为﹣或﹣.
    解:(1)令y=0,得ax2﹣2ax﹣3a=0
    即x2﹣2x﹣3=0得x1=3,x2=﹣1
    ∴A(﹣1,0)B(3,0)
    (2)过E,D分别作x轴,y轴的平行线,交于H.
    令ax+a=ax2﹣2ax﹣3a得ax2﹣3ax﹣4a=0,
    ∴x2﹣3x﹣4=0
    ∴x1=4,x2=﹣1
    ∴xD=4
    ∴EH=AO=1
    =∠AOF=∠EHD,∠FAO=∠DEH
    ∴△FAO≌△DEH
    ∴AF=DE
    (3)令x^{2}﹣2 x﹣3=kx+b
    得x2﹣(2+k)x﹣3﹣b=0
    (2+k)2+4(3+b)=0






    ∴,






    ∵EF=DF

    整理得
    ∴yF=﹣eq \f(15,4)
    F的坐标为(1,﹣eq \f(15,4))
    解:(1)∵y=kx﹣4k+4=k(x﹣4)+4,
    即k(x﹣4)=y﹣4,
    而k为任意不为0的实数,
    ∴x﹣4=0,y﹣4=0,解得x=4,y=4,
    ∴直线过定点(4,4);
    (2)当k=﹣eq \f(1,2)时,直线解析式为y=﹣eq \f(1,2)x+6,
    解方程组得或,
    则A(6,3)、B(﹣4,8);
    ①如图1,作PQ∥y轴,交AB于点Q,
    设P(x,eq \f(1,4)x2﹣x),则Q(x,﹣eq \f(1,2)x+6),
    ∴PQ=(﹣eq \f(1,2)x+6)﹣(eq \f(1,4)x2﹣x)=﹣eq \f(1,4)(x﹣1)2+eq \f(25,4),
    ∴S△PAB=eq \f(1,2)(6+4)×PQ=﹣eq \f(5,4)(x﹣1)2+=20,解得x1=﹣2,x2=4,
    ∴点P的坐标为(4,0)或(﹣2,3);
    ②设P(x,eq \f(1,4)x2﹣x),如图2,
    由题意得:AO=3eq \r(5),BO=4eq \r(5),AB=5eq \r(5),
    ∵AB2=AO2+BO2,
    ∴∠AOB=90°,
    ∵∠AOB=∠PCO,
    ∴当=时,△CPO∽△OAB,
    即=,整理得4|eq \f(1,4)x2﹣x|=3|x|,
    解方程4(eq \f(1,4)x2﹣x)=3x得x1=0(舍去),x2=7,此时P点坐标为(7,eq \f(21,4));
    解方程4(eq \f(1,4)x2﹣x)=﹣3x得x1=0(舍去),x2=1,此时P点坐标为(1,﹣eq \f(3,4));
    当=时,△CPO∽△OBA,即=,整理得3|eq \f(1,4)x2﹣x|=4|x|,
    解方程3(eq \f(1,4)x2﹣x)=4x得x1=0(舍去),x2=,此时P点坐标为(,);
    解方程3(eq \f(1,4)x2﹣x)=﹣4x得x1=0(舍去),x2=﹣eq \f(4,3),此时P点坐标为(﹣eq \f(4,3),)
    综上所述,点P的坐标为:(7,eq \f(21,4))或(1,﹣eq \f(3,4))或(﹣eq \f(4,3),)或(,).
    x

    ﹣1
    0
    1
    2
    3

    y

    0
    3
    4
    3
    0

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