2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项练习八（含答案）

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已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
如图，抛物线y＝a(x﹣h)2＋k(a≠0)的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．
(1)当抛物线y＝ax2＋1是美丽抛物线时，则a＝ ；当抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋k是美丽抛物线时，则k＝ ；
(2)若抛物线y＝ax2＋k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；
(3)若y＝a(x﹣h)2＋k是美丽抛物线时，(2)a，k的数量关系成立吗？为什么？
(4)系列美丽抛物线yn＝an(x﹣n)2＋kn(n为小于7的正整数)顶点在直线y＝eq \f(1,6)x上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16．求它们二次项系数之和．
已知抛物线y＝ax2﹣2ax＋a＋2与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标；
(3)直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值．
如图，抛物线的顶点坐标为C(0，8)，并且经过A(8，0)，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别为(0，6)，(4，0)，连接PD，PE，DE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；
(3)求：①当△PDE的周长最小时的点P坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣(x﹣m)2＋2m2(m＜0)的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
(1)求a的值；
(2)将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
(3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
已知，在菱形OABC中，∠OAB=60°，OC=2．若以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第四象限内．将菱形OABC沿直线OA折叠后，点C落在点E处，点B落在点D出．
(1)求点D和E的坐标；
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过C、D、E点，求抛物线的解析式；
(3)如备用图所示，已知在平面内存在点P到直线AC，CE，EA的距离相等，试求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
(1)求a，b的值；
(2)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合)，过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣4交x轴于点A(﹣3，0)，B(4，0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长．
\s 0 答案
解：(1)解方程x2﹣6x+5=0，(x﹣1)(x﹣5)=0，得x1=5，x2=1
由m＜n，有m=1，n=5,所以点A、B的坐标分别为A(1，0)，B(0，5)．
将A(1，0)，B(0，5)的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c．
得，解这个方程组，得：
所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5
(2)由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得﹣x2﹣4x+5=0，
解这个方程，得x1=﹣5，x2=1，
所以C点的坐标为(﹣5，0)．由顶点坐标公式计算，得点D(﹣2，9)．
过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=eq \f(1,2)×9×(5﹣2)=13.5
S梯形MDBO=eq \f(1,2)×2×(9+5)=14，S△BOC=eq \f(1,2)×5×5=12.5，
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC=14+13.5﹣12.5=15．
(3)设P点的坐标为(a，0)
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a，a+5)，
PH与抛物线y=﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H(a，﹣a2﹣4a+5)．
由题意，得①EH=eq \f(3,2)EP，即(﹣a2﹣4a+5)﹣(a+5)=eq \f(3,2)(a+5)
解这个方程，得a=﹣eq \f(3,2)或a=﹣5(舍去)
②EH=eq \f(2,3)EP，即(﹣a2﹣4a+5)﹣(a+5)=eq \f(2,3)(a+5)
解这个方程，得a=﹣eq \f(2,3)或a=﹣5(舍去)，
P点的坐标为(﹣eq \f(3,2)，0)或(﹣eq \f(2,3)，0)．
解：(1)函数y＝ax2＋k的图象如下：
①抛物线y＝ax2＋1是美丽抛物线时，则AC＝1，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，
将点D的坐标代入y＝ax2＋1得：eq \f(1,2)＝a(eq \f(1,2))2＋1，解得a＝﹣2；
②同理可得，点D的坐标为(eq \f(1,2)k，eq \f(1,2)k)，
将点D的坐标代入y＝eq \f(1,2)x2＋k得：eq \f(1,2)k＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2)k)2＋1，解得k＝0(不合题意)或﹣4；
故答案为：﹣4；
(2)由(1)知，点D的坐标为(eq \f(1,2)k，eq \f(1,2)k)，
将点D的坐标代入y＝ax2＋k得：eq \f(1,2)k＝a(eq \f(1,2)k)2＋k，解得ak＝﹣2；
(3)答：成立．∵美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线．
∴美丽抛物线y＝a(x﹣h)2＋k沿x轴经过适当平移后为抛物线y＝ax2＋k．
∴ak＝﹣2；
(4)设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为(k,eq \f(1,6)k)和(m,eq \f(1,6)m)，(k，m为小7的正整数，且k＜m)，它们的内接正方形的边长比为eq \f(1,6)k：eq \f(1,6)m=1:4，
∴m＝4k，．
∴这两条美丽抛物线分别为和．
∵，＝﹣2，
∴a1＝﹣12，a4＝﹣3．
∴a1＋a4＝﹣15．
答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为﹣15．
解：(1)∵y＝ax2﹣2ax＋a＋2＝a(x2﹣2x)＋a＋2＝a(x﹣1)2＋2，
∴抛物线的顶点P的坐标为(1，2)，
如图：过点P作PE⊥x轴于点E，则E(1，0)，
∴PE＝2，
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AE＝BE＝PE＝eq \f(1,2)AB＝2，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
将B(3，0)代入y＝a(x﹣1)2＋2得，
a(3﹣1)2＋2＝0，解得a＝﹣eq \f(1,2)，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)(x﹣1)2＋2＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)；
(2)如图：
∵△ABP为等腰直角三角形，PD⊥x轴于点E，
∴AB为直径，点E为圆心，
∵点P的坐标为(1，2)，
∴PE＝2，
∴DE＝2，
∴D(1，﹣2)，
∴点D的纵坐标为﹣2；
(3)设直线AP的解析式为y＝kx＋b，
∵点(1，2)，A(﹣1，0)，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y＝x＋1，
令x＝0，则y＝1，
∴M(0，1)，
同理得直线BP的解析式为y＝﹣x＋3，
令x＝0，则y＝3，
∴N(0，3)，
∵y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)与y轴正半轴交于点C，
∴C(0，eq \f(3,2))，
∴CM＝eq \f(3,2)﹣1＝eq \f(1,2)，CN＝3﹣eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)，
∴＝3．
解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2﹣8．
∵经过点A(8，0)，∴64a﹣8=0，解得a=﹣eq \f(1,8)．
抛物线的解析式为：y=﹣eq \f(1,8)x2﹣8．
(2)PD与PF的差是定值．理由如下：设P(a，﹣eq \f(1,8)a2﹣8)，则F(a，8)，
∵D(0，6)，
∴PD===eq \f(1,8)a2﹣2，
PF=8﹣(-eq \f(1,8)a2﹣8)=eq \f(1,8)a2．
∴PD﹣PF=2．
(3)①当点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD﹣PF=2，∴PD=PF﹣2，
∴PE﹣PD=PE﹣PF﹣2，
∴当P、E、F三点共线时，PE﹣PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，
∵将x=4代入y=﹣eq \f(1,8)x2﹣8，得y=6，
∴P(4，6)，此时△PDE的周长最小．
②如图1所示：过点P做PH⊥x轴，垂足为H．
设P(a，﹣eq \f(1,8)a2﹣8)∴PH=﹣eq \f(1,8)a2﹣8，EH=a﹣4，OH=a
S△DPE=S梯形PHOD﹣S△PHE﹣S△DOE=eq \f(1,2)a(﹣eq \f(1,8)a2﹣8﹣6)﹣eq \f(1,2)(﹣eq \f(1,8)a2﹣8)(a﹣4)﹣eq \f(1,2)×4×6
=﹣eq \f(1,4)a2﹣3a﹣4=﹣eq \f(1,4)(a﹣6)2﹣13．
∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，∴0≤a≤8，
∴当a=6时，S△DPE取最大值为13．当a=0时，S△DPE取最小值为4．
即4≤S△DPE≤13，其中，当S△DPE=12时，有两个点P．
∴共有11个令S△DPE为整数的点．

解：(1)由题意可知，抛物线E：y＝﹣(x﹣m)2＋2m2(m＜0)的顶点P的坐标为(m，2m2)，
∵点P在抛物线F：y＝ax2上，
∴am2＝2m2，
∴a＝2．
(2)∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴yA＝﹣(t﹣m)2＋2m2＝﹣t2＋2mt＋m2，yB＝2t2，
∴s＝yA﹣yB＝﹣t2＋2mt＋m2﹣2t2＝﹣3t2＋2mt＋m2＝﹣3(t﹣eq \f(1,3)m)2＋eq \f(4,3)m2，
∵﹣3＜0，
∴当t＝eq \f(1,3)m时，s的最大值为eq \f(4,3)m2，
∵s的最大值为4，
∴eq \f(4,3)m2＝4，解得m＝±eq \r(3)，
∵m＜0，
∴m＝﹣eq \r(3)．
(3)存在，理由如下：
设点M的坐标为n，则M(n，2n2)，
∴Q(2n﹣m，4n2﹣2m2)，
∵点Q在x轴正半轴上，
∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，
∴n＝﹣eq \f(\r(2),2)m，∴M(﹣eq \f(\r(2),2)m，m2)，Q(﹣eq \r(2)m﹣m，0)．
如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，
∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK＋∠PQK＝90°，
∵∠PQG＝90°，
∴∠PQK＋∠GQN＝90°，
∴∠QPK＝∠GQN，
∴△PKQ∽△QNG，
∴PK：QN＝KQ：GN，即PKGN＝KQQN．
∵PK＝﹣eq \r(2)m﹣m﹣m＝﹣eq \r(2)m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣eq \r(2)m﹣m，
∴(﹣eq \r(2)m﹣2m)(﹣eq \r(2)m﹣m)＝2m2QN，解得QN＝eq \f(3\r(2),2)+2．
∴G(0，﹣eq \f(3\r(2),2)﹣2)．
解：(1)如图1中，连接OB，作EM⊥OD于M．
∵四边形ABCD是菱形，∴OA=AB=OC=BC=2，
∵∠OAB=60°，∴△OAB，△OBC是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOD=60°，
∵四边形AOED是由四边形OABC沿OA翻折得到，
∴点D在x轴上，OD=DE=EO=2，
在RT△EOM中，∵∠∠EMO=90°，∠MEO=30°，EO=2，
∴MO=1，EM=eq \r(3)，
∴点D坐标(﹣2，0)，点E坐标(﹣1，eq \r(3))．
(2)∵C(2，0)，D(﹣2，0)，∴C与D关于y轴对称，
∴抛物线的对称轴为y轴，即∴b=0，
把C(或D)与E的坐标代入y=ax2+c得
解得，，
∴抛物线的解析式为y=﹣eq \f(\r(3),3)x2+eq \f(4\r(3),3)．
(3)如图2中，P1(0，0)是△ACE的内心，P1，P2，P3是△ACE的外角平分线的交点．
则P1、P2、P3、P4到△ACE三边距离相等．
由(1)可知，△ACE是等边三角形，∠P3EC=∠P3CE=60°，
∴△P3EC是等边三角形，同理△P2AE，△P4AC都是等边三角形且边长都是2eq \r(3)，
∵P3P4⊥OC，∴P3(2，2eq \r(3))，P4(2，﹣2eq \r(3))，
∵OP2=4，∴P1(0，0)，P2(﹣4，0)．
综上所述满足条件的点P的坐标：
P1(0，0)，P2(﹣4，0)，P3(2，2eq \r(3))，P4(2，﹣2eq \r(3))．

解：(1)∵y=﹣x+4与x轴交于点A，∴A(4，0)，
∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，
∴B(1，3)，
∵抛物线y=ax2+bx经过A(4,0)，B(1,3)，
∴,解得:，
∴a=﹣1,b=4；
(2)如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，
∵B(1，3)，A(4，0)，∴OD=1，BD=3，OA=4，∴AD=3，∴AD=BD，
∵∠BDA=90°,∠BAD=∠ABD=45°,
∵MC⊥x轴,∴∠ANC=∠BAD=45°,∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC,∴∠FPN=∠PNF=45°,∴NF=PF=t,
∵∠DFM=∠ECM=90°,∴PF∥EC,∴∠MPF=∠MEC，
∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，
∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴==3，
∴MF=3PF=3t，∵MN=MF+FN，∴d=3t+t=4t；
(3)如备用图，由(2)知，PF=t，MN=4t，
∴S△PMN=0.5MN×PF=0.5×4t×t=2t2，
∵∠CAN=∠ANC，∴CN=AC，∴S△ACN=0.5AC2，
∵S△ACN=S△PMN，∴0.5AC2=2t2，∴AC=2t，∴CN=2t，
∴MC=MN+CN=6t，∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，∴M(4﹣2t，6t)，
由(1)知抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x，将M(4﹣2t，6t)代入y=﹣x2+4x得：
﹣(4﹣2t)2+4(4﹣2t)=6t，解得：t1=0(舍)，t2=0.5，
∴PF=NF=0.5，AC=CN=1，OC=3，MF=1.5，PN=eq \f(\r(2),2)，PM=eq \f(\r(10),2)，AN=eq \r(2)，
∵AB=3eq \r(2)，∴BN=2eq \r(2)，作NH⊥RQ于点H，∵QR∥MN，∴∠MNH=∠RHN=90°，
∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，∴NH∥OC，∴∠HNR=∠NOC，
∴tan∠HNR=tan∠NOC，∴==，
设RH=n，则HN=3n，∴RN=eq \r(10)n，QN=3eq \r(2)n，∴PQ=QN﹣PN=3eq \r(2)n﹣eq \f(\r(2),2)，
∵ON==，OB==eq \r(10)，∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，
∵PM∥OB，∴∠OBN=∠MPB，∴∠MPB=∠BNO，
∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，∴∠BRN=∠MQP，
∴△PMQ∽△NBR，∴=，∴=，解得：n=eq \f(2,7)，
∴R的横坐标为：3﹣=2eq \f(1,7)，R的纵坐标为：1﹣eq \f(2,7)=eq \f(5,7)，
∴R(2eq \f(1,7)，eq \f(5,7))．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx﹣4交x轴于点A(﹣3，0)，B(4，0)，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,3)x2﹣eq \f(1,3)x﹣4；
(2)如图1，设P(t，eq \f(1,3)t2﹣eq \f(1,3)t﹣4)，
∵抛物线的对称轴为直线x=eq \f(1,2)，PG∥x轴，
∴点G与点P是抛物线上的一对对称点，
∴G(1﹣t，eq \f(1,3)t2﹣eq \f(1,3)t﹣4)，
设PG与y轴交于点H，则H(0，eq \f(1,3)t2﹣eq \f(1,3)t﹣4)，
在抛物线y=eq \f(1,3)x2﹣eq \f(1,3)x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，
∴C(0，﹣4)，
∴OC＝4，
又CH＝eq \f(1,3)t2﹣eq \f(1,3)t﹣4﹣(﹣4)＝eq \f(1,3)t2﹣eq \f(1,3)t，GH＝t﹣1，
∵tan∠GCH＝＝，∴，解得：，
∴d与t之间的函数解析式为d＝；
(3)如图2，过点P作PT⊥x轴于点T，
∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°，
∴四边形PHOT为矩形，
∴∠HPT＝90°，
∴∠DPH＝∠BPT，
∵PD＝PB，
∴△PDH≌△PBT(AAS)，
∴DH＝BT，PH＝PT，
∴eq \f(1,3)t2﹣eq \f(1,3)t﹣4=t，解得：t1＝6，t2＝﹣2(舍)，
∴P(6，6)，
∴T(6，0)，
∴DH＝BT＝2，ON＝d＝2，
过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，
∵PE＝3PF，
∴EF＝2PF，
∵cs∠PFM＝cs∠EFK，
∴，
∴FK＝2FM，
∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°，
∴四边形PMKT为矩形，
∴MK＝PT＝6，
∴FM＝2，FK＝4，
同理四边形DHMR为矩形，
∴DH＝RM＝2，RF＝FK＝4，∠R＝∠FKQ＝90°，
∵∠DFR＝∠KFQ，
∴△DRF≌△QKF(ASA)，
∴DF＝QF，
过点Q作QW∥PD，
∴∠DPF＝∠QWF
∵∠DFP＝∠WFQ，DF＝FQ，
∴△DPF≌△QWF(AAS)，
∴DP＝QW＝PB，PF＝WF，
∴，
过点Q作QZ⊥PE于点Z，
∴∠EZQ＝∠PTE＝90°，
∵∠PET＝∠QEZ，EP＝EQ，
∴△EQZ≌△EPT(AAS)，
∴PT＝QZ，EZ＝ET，
∵QW＝PB，
∴Rt△QWZ≌Rt△PBT(HL)，
∴WZ＝BT，
∴EW＝EB．
设EB＝m，
则EW＝WF＝FP＝m，
∴EP＝3m，
∵BT＝2，
∴ET＝m＋2，PT＝6，
在Rt△EPT中，∵PE2＝ET2＋PT2，
∴(3m)2＝(m＋2)2＋62，解得：m1=eq \f(5,2)，m2＝﹣2(舍)，
∴BE=eq \f(5,2)，
∴BQ＝2BE＝5，
∵OB＝4，
∴OQ＝9，
∵ON＝2，
∴QN＝OQ＋ON＝11．