2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习八（含答案）

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如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(eq \r(3)，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB=3OA=eq \r(3)OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；
(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，eq \f(1,2)HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求eq \f(1,2)AQ+EQ的最小值．
如图，已知点(0，eq \f(2,3))在抛物线C1：y＝eq \f(2,3)x2＋bx＋c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1＋2S2的最大值；
(3)如图3，在(2)的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．
①直接写出P点坐标；
②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝eq \f(1,2)x＋1与x轴交于点E，与y轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；
(3)M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．
如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B(1，0)
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；
(2)如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
(3)如图2，已知直线y=eq \f(2,3)x﹣eq \f(4,9)分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y＝mx2＋(m2＋3)x﹣(6m＋9)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知点B(3，0)．
(1)求直线BC及抛物线的函数表达式；
(2)P为x轴上方抛物线上一点．
①若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
②如图，PD∥y轴交BC于点D，DE∥x轴交AC于点E，求PD＋DE的最大值；
(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2＋3x与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于O、B两点，点A、B的坐标分别为(3，0)、(2，2)．点P在抛物线上，且不与点O、B重合，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，MN与点B始终在PQ同侧，且PN=1．设点P的横坐标为m(m＞0)，矩形PQMN的周长为C．
(1)用含m的代数式表示点P的坐标．
(2)求C与m之间的函数关系式．
(3)当矩形PQMN是正方形时，求m的值．
(4)直接写出矩形PQMN的边与抛物线有两个交点时m的取值范围．
如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A.B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM.如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2eq \r(2)DQ，求点F的坐标.
如图，抛物线y＝ax2＋4x＋c(a≠0)经过点A(﹣1，0)，点E(4，5)，与y轴交于点B，连接AB．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．
①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；
②当点F到直线AE的距离为eq \r(2)时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．
\s 0 答案
解：(1)由题意A(eq \r(3)，0)，B(﹣3eq \r(3)，0)，C(0，﹣3)，
设抛物线的解析式为y=a(x+3eq \r(3))(x﹣eq \r(3))，
把C(0，﹣3)代入得到a=eq \f(1,3)，
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,3)x2+eq \f(2,3)eq \r(3)x﹣3．
(2)在Rt△AOC中，tan∠OAC==eq \r(3)，∴∠OAC=60°，
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD=30°，∴OD=OA×tan30°=1，∴D(0，﹣1)，
∴直线AD的解析式为y=eq \f(\r(3),3)x﹣1，
由题意P(m，eq \f(1,3)m2+eq \f(2\r(3),3)m﹣3)，H(m，eq \f(\r(3),3)m﹣1)，F(m，0)，
∵FH=PH，∴1﹣eq \f(\r(3),3)m=eq \f(\r(3),3)m﹣1﹣(eq \f(1,3)m2+eq \f(2\r(3),3)m﹣3)解得m=﹣eq \r(3)或eq \r(3)(舍弃)，
∴当FH=HP时，m的值为﹣eq \r(3)．
(3)如图，∵PF是对称轴，∴F(﹣eq \r(3)，0)，H(﹣eq \r(3)，﹣2)，
∵AH⊥AE，∴∠EAO=60°，∴EO=eq \r(3)OA=3，∴E(0，3)，
∵C(0，﹣3)，∴HC==2，AH=2FH=4，∴QH=eq \f(1,2)CH=1，
在HA上取一点K，使得HK=eq \f(1,4)，此时K(﹣eq \f(\r(3),2)，﹣eq \f(3,2))，
∵HQ2=1，HK×HA=1，∴HQ2=HK×HA，可得△QHK∽△AHQ，
∴==，∴KQ=eq \f(1,4)AQ，∴eq \f(1,4)AQ+QE=KQ+EQ，
∴当E、Q、K共线时，eq \f(1,4)AQ+QE的值最小，最小值==．
解：(1)∵点(0,eq \f(2,3))在抛物线C1：y＝eq \f(2,3)x2＋bx＋c上，
∴c＝eq \f(2,3)．
∵该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，
∴b＜0，b2﹣4×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝0．
∴b＝﹣eq \f(4,3)．
∴抛物线C1的解析式为y＝eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x＋eq \f(2,3)．
(2)∵y＝＝eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x＋eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)(x﹣1)2，
又∵抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，
∴抛物线C2的解析式为y＝eq \f(2,3)(x﹣1)2﹣eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)x2﹣eq \f(8,3)x＋2，令x＝0，则y＝2，
∴E(0，2)．
∴OE＝2．
令y＝0，则eq \f(2,3)x2﹣eq \f(8,3)x＋2＝0，解得：x＝1或3，
∴C(1，0)，D(3，0)．
∴OC＝1，OD＝3，
∴CD＝2．
∵点M在抛物线C2上，
∴设M(m，eq \f(2,3)m2﹣eq \f(8,3)m＋2)，
设直线ED的解析式为y＝kx＋n，
∴，解得：，
∴直线ED的解析式为y＝﹣eq \f(2,3)x＋2．
∵MN∥y轴交线段DE于点N，
∴N(m，﹣eq \f(2,3)m＋2)，
∵点M在线段ED的下方，
∴MN＝﹣eq \f(2,3)x＋2﹣(eq \f(2,3)m2﹣eq \f(8,3)m＋2)＝﹣eq \f(2,3)m2＋2m，
∵S△EMD＝S△EMN＋S△DMN＝eq \f(1,2)×MN•OD＝﹣m2＋3m，S△EON=eq \f(1,2)OE×m＝m，
∴S1＋2S2＝﹣m2＋2m＋2m＝﹣m2＋4m＝﹣(m﹣2)2＋4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，S1＋2S2有最大值4；
(3)①点P的坐标为(eq \f(7,2)，eq \f(5,6))，理由：设直线EP与x轴交于点G，如图，
∵抛物线C2的解析式为y＝eq \f(2,3)(x﹣1)2﹣eq \f(2,3)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴F(2，0)．
∴OF＝2．
∵OC＝1，
∴CF＝OF﹣OC＝1．
EC＝＝eq \r(5)，
∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF＋∠CEF，∠EFO＝∠PEF＋∠G，
∴∠CEF＝∠G．
∵∠ECF＝∠GCE，
∴△ECF∽△GCE，
∴．
∴CE2＝CF•CG，
∴CG＝5，
∴OG＝OC＋CG＝6，
∴G(6，0)．
设直线EG的解析式为y＝ax＋2，
∴6a＋2＝0，
∴a＝﹣eq \f(1,3)．
∴直线EG的解析式为y＝﹣eq \f(1,3)x＋2，
∴，解得：或，
∴P(，)；
②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，
∵P(eq \f(7,2)，eq \f(5,6))，
∴OK＝eq \f(7,2)，PK＝eq \f(5,6)，
∴DK＝OK﹣OD＝eq \f(1,2)，PG＝KF＝OK﹣OF＝eq \f(3,2)，
∴DP＝＝＜1，
∵DF＝1，
∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；
当HP＝HD时，设H(2，h)，则HF＝h，
过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，
则PG＝KF＝OK﹣OF＝eq \f(3,2)，GF＝eq \f(5,6)，
∵HP＝HD，
∴＝．
∴12＋h2＝＋，解得：h＝，
∴H(2，)．
综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为(2，)．
解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)令x＝0，则y＝eq \f(1,2)x＋1＝1，
∴OD＝1，
如图，作PH⊥OB，垂足为H，交ED于F，
则∠COA＝∠PHO＝90°，
∴PH∥OC，
∴∠OPF＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，
又Q是OP中点，
∴PQ＝OQ，
∴△PFQ≌△ODQ(AAS)，
∴PF＝OD＝1
设P点横坐标为x，则﹣x2＋2x＋3﹣(eq \f(1,2)x＋1)＝1，解得：x1＝2，x2＝﹣eq \f(1,2)，
当x＝2时，y＝3，当x＝﹣eq \f(1,2)时，y＝eq \f(7,4)，
∴点P的坐标是(2，3)或(﹣eq \f(1,2)，eq \f(7,4))；
(3)令x＝0，则y＝﹣x2＋2x＋3＝3，
∴OC＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝2，
设M(a，eq \f(1,2)a＋1)，
∴CM2＝a2＋(3﹣eq \f(1,2)a﹣1)2＝eq \f(5,4)a2﹣2a＋4，DM2＝a2＋(eq \f(1,2)a＋1﹣1)2＝eq \f(5,4)a2，
①当∠CMD＝90°时，
∴CD2＝CM2＋DM2，
∴22＝eq \f(5,4)a2﹣2a＋4＋eq \f(5,4)a2，解得：a1＝eq \f(4,5)，a2＝0(舍去)，
当a＝eq \f(4,5)时，eq \f(1,2)a＋1＝eq \f(7,5)，∴M(eq \f(4,5)，eq \f(7,5))；
②当∠DCM＝90°时，
∴CD2＋CM2＝DM2，
∴22＋eq \f(5,4)a2﹣2a＋4＝eq \f(5,4)a2，解得：a＝4，
当a＝4时，eq \f(1,2)a＋1＝3，
∴M(4，3)；
综上所述：点M的坐标为(eq \f(4,5)，eq \f(7,5))或(4，3)．
解：(1)把B(1，0)代入y=ax2+2x﹣3，可得a+2﹣3=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，
∴A点坐标为(﹣3，0)；
(2)若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，

由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，
在△BPO和△B′PO中
，
∴△BPO≌△B′PO(ASA)，∴BO=B′O=1，
设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得
，解得，
∴直线AP解析式为y=eq \f(1,3)x+1，
联立，解得，
∴P点坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(3,2))；
若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，
又∠B′PO在∠APO的内部，∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，
综上可知P点坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(3,2))；
(3)如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，
∵CF为y=eq \f(2,3)x﹣eq \f(4,9)，∴可求得C(eq \f(2,3)，0)，F(0，﹣eq \f(4,9))，∴tan∠OFC==，
∵DQ∥y轴，∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，∴tan∠HDQ=eq \f(3,2)，不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，
∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，∴若DQ=DE，则S△DEQ=DE×HQ=×t×t=t2，
若DQ=QE，则S△DEQ=eq \f(1,2)DE×HQ=eq \f(1,2)×2DH×HQ=eq \f(1,2)×t×t=t2，
∵t2＜t2，∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．
设Q点坐标为(x，x2+2x﹣3)，则D(x，eq \f(2,3)x﹣eq \f(4,9))，
∵Q点在直线CF的下方，∴DQ=t=eq \f(2,3)x﹣eq \f(4,9)﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣eq \f(4,9)x+2eq \f(5,9)，
当x=﹣eq \f(2,3)时，tmax=3，∴(S△DEQ)max=t2=，
即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．
解：(1)将点B(3，0)代入y＝mx2＋(m2＋3)x﹣(6m＋9)，
∴m2＋m＝0，
解得m＝0(舍)或m＝﹣1，
∴y＝﹣x2＋4x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C(0，﹣3)，
设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，
将点B(3，0)，C(0，﹣3)代入，
得，解得，
∴y＝x﹣3；
(2)①如图1，过点A作AP∥BC，则S△PBC＝S△ABC，
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线AP的表达式为y＝x﹣1．
联立．解得 (舍)或，
∴P(2，1)；
②由(1)知直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设直线AC的解析式为y＝k'x＋b'，
∴，解得，
∴y＝3x﹣3，
设点P(t，﹣t2＋4t﹣3)，则点D(t，t﹣3)，，
∴PD＝﹣t2＋4t﹣3﹣(t﹣3)＝﹣t2＋3t，，
∴＝﹣(t﹣)2＋，
∴当时，PD＋DE取最大值；
(3)如图2，在抛物线上取点Q，使∠ACQ＝45°，
过点B作BM⊥BC，交CQ的延长线于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，
∵B(3，0)，C(0，﹣3)
∴OB＝OC＝3，BC＝3eq \r(2)，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∵∠ACQ＝45°，
∴∠OCA＝∠BCM，
∵A(1，0)，
∴，∴，
∵，∴，
∴BN＝NM＝1，
∴M(4，﹣1)，
∴直线CQ的解析式为y＝eq \f(1,2)x﹣3，
设点Q(n,eq \f(1,2)n﹣3)，∴eq \f(1,2)x﹣3＝﹣n2+4n﹣3，
整理得：n2﹣eq \f(7,2)n＝0，解得n＝eq \f(7,2)或n＝0(舍)，
∴Q(eq \f(7,2),﹣eq \f(5,4))．
解：(1)∵P在抛物线y=﹣x2＋3x上，且点P的横坐标为m(m＞0)，
∴点P的坐标为：(m，﹣m2＋3m)
(2)∵PQ∥y轴，∴Q(m，m)．
①当0＜m＜2时，如图1中，PQ=﹣m2＋3m﹣m=﹣m2﹣2m，
C=2(﹣m2＋2m)＋2=﹣2m2＋4m＋2．
②当m＞2时，如图2中，PQ=m﹣(﹣m2＋3m)=m2﹣2m，
C=2(m2﹣2m)＋2=2m2﹣4m＋2．
(3)∵矩形PQMN是正方形，∴PQ=PN=1，
当0＜m＜2时，如图3中，﹣m2＋2m=1，解得m1=m2=1．
当m＞2时，如图4中，m2﹣2m=1，
解得m1=1＋eq \r(2)，m2=1﹣eq \r(2)(不合题意舍弃)；
(4)由图3可知当m=1时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点；
∵抛物线y=﹣x2＋3x=﹣(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)∴顶点的坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(9,4))，
当M点在抛物线上时，∵Q(m，m)．∴M(m＋1，m＋1)，
∴m＋1=﹣(m＋1)2＋3(m＋1)，解得m=2，
∴当eq \f(3,2)≤m＜2时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点；
当Q的纵坐标为eq \f(9,4)时，Q的横坐标为eq \f(9,4)，∴此时P的横坐标为eq \f(9,4)，
∴当m≥eq \f(9,4)时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点；
综上，当m=1或eq \f(3,2)≤m＜2或m≥eq \f(9,4)时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点．
解：(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3).
令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，[解得，x=﹣3或x=l，
∴A(﹣3，0)，B(1，0).
(2)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1.
∵M(m，0)，
∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2.
(3)∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10，[
∴矩形的周长最大时，m=﹣2.
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
设直线AC的解析式y=kx+b，
∴解得k=l，b=3，
∴解析式y=x+3，
令x=﹣2，则y=1，
∴E(﹣2，1)，
∴EM=1，AM=1，
∴S=eq \f(1,2)AM×EM=eq \f(1,2).
(4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x=﹣l，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，
∴D(﹣1，4)，
∴DQ=DC=eq \r(2).
∵FG=2eq \r(2)DQ，
∴FG=4.
设F(n，﹣n2﹣2n+3)，则G(n，n+3)，
∵点G在点F的上方且FG=4，
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4.解得n=﹣4或n=1，[来源
∴F(﹣4，﹣5)或(1，0).
解：(1)将A(﹣1，0)，E(4，5)点坐标代入函数解析式，得
，解得，
抛物线的解析式是y＝﹣x2＋4x＋5，
(2)①设AE的解析式为y＝kx＋b，将A(﹣1，0)，E(4，5)点坐标代入，得
，解得，
AE的解析式为y＝x＋1，
x＝0时，y＝1即C(0，1)，
设F点坐标为(n，n＋1)，
由旋转的性质得，OF＝OB＝5，
n2＋(n＋1)2＝25，解得n1＝﹣4，n2＝3，
F(﹣4，﹣3)，F(3，4)，当F(﹣4，﹣3)时如图1，
S△ABF＝S△BCF﹣S△ABC＝eq \f(1,2)BC|xF|﹣eq \f(1,2)BC|xA|＝eq \f(1,2)BC(xA﹣xF),
S△ABF＝eq \f(1,2)×4(﹣1＋4)＝6；
当F(3，4)时，如图2
，
S△ABF＝S△BCF＋S△ABC＝eq \f(1,2)BC|xF|＋eq \f(1,2)BC|xA|＝eq \f(1,2)BC(xF﹣xA)
S△ABF＝eq \f(1,2)×4(3＋1)＝8；
②如图3
，
∵∠HCG＝∠ACO，∠HGC＝∠COA，
∴△HGC∽△COA，
∵OA＝OC＝1，∴CG＝HG＝eq \r(2)，
由勾股定理，得HC＝2，
直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位，
l的解析是为y＝x＋3，l1的解析是为y＝x﹣1，
联立解得x1＝，x2＝，
，解得x3＝，x4＝，
交点的坐标为:
(，)，(，)，(，)，(，)．