2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项练习一（含答案）

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如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4eq \r(3)交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线y＝ax2＋bx＋4eq \r(3)沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c(a≠0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解(OA＜OB)，点D(2，m)在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式及m的值；
(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝ ；
(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了 个单位；
(4)点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．
如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(4，0)、B(﹣2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；
(3)当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，点B(﹣1，0)，与y轴交于点C(0，4)，作直线AC.
(1)求抛物线解析式；
(2)点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求m的值；
(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标.
已知二次函数y＝x2＋(m﹣2)x＋m﹣4，其中m＞2．
(1)当该函数的图象经过原点O(0，0)，求此时函数图象的顶点A的坐标；
(2)求证：二次函数y＝x2＋(m﹣2)x＋m﹣4的顶点在第三象限；
(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2﹣(m＋n)x＋n(m＜0)的图象与y轴正半轴交于A点．
(1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；
(3)在(2)的条件下，设M(p，q)为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点(点B在点A的右边)，点A坐标为(1，0)，抛物线与y轴交于点C，S△ABC＝3．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P(x，y)是抛物线上一动点，且x＞3．作PN⊥BC于N，设PN＝d，求d与x的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，过点A作PC的平行线交y轴于点F，连接BF，在直线AF上取点E，连接PE，使PE＝2BF，且∠PEF＋∠BFE＝180°，请直接写出P点坐标．
已知抛物线G：y＝(m＋1)x2＋2(n﹣1)x＋n＋1(m≠﹣1，m为常数)的对称轴与直线y＝kx＋k(k＞0，k为常数)相交于x轴上一点P．
(1)求m与n的数量关系；
(2)若直线y＝kx＋k与y轴交于点Q，且OQ＝OP，
①把直线y＝kx＋k绕点Q顺时针旋转45°得到的直线与抛物线G相交于A、B两点，若AB＝4，求m的值；
②将直线y＝kx＋k向上平移2k个单位，得到的直线与抛物线G的两个交点的横坐标x1，x2满足﹣2＜x1＜x2＜2，求m的取值范围．
\s 0 答案
解：(1)将点A(﹣3，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4eq \r(3)，得：
，解得：，
∴y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(\r(3),3)x＋4eq \r(3)；
(2)∵抛物线与y轴交于点C，∴C(0，4eq \r(3))，
设直线BC的解析式为y＝kx＋d，
将点B与点C代入可得，
，解得，
∴y＝﹣eq \r(3)x＋4eq \r(3)，
∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，
∴P(m，﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(\r(3),3)m＋4eq \r(3))，Q(m，﹣eq \r(3)m＋4eq \r(3))，
∴S△BCP＝eq \f(1,2)×BC×PN＝eq \f(1,2)×PQ×OB，
∵B(4，0)，C(0，4eq \r(3))，
∴BC＝8，
∴8PN＝(﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(\r(3),3)m＋4eq \r(3)＋eq \r(3)m﹣4eq \r(3))×4，
∴PN＝﹣eq \f(\r(3),6)(m﹣2)2＋eq \f(2\r(3),3)，
∴当m＝2时，PN有最大值eq \f(2\r(3),3)，
∴P(2，eq \f(10,3)eq \r(3))；
(3)y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(\r(3),3)x＋4eq \r(3)＝﹣eq \f(\r(3),3)(x﹣eq \f(1,2))2＋，
∵抛物线沿着射线CB的方向平移，
设抛物线沿x轴正方向平移t(t＞0)个单位，则沿y轴负半轴平移eq \r(3)t个单位，
平移后的函数解析式为y'＝﹣eq \f(\r(3),3)(x﹣eq \f(1,2)﹣t)2＋﹣eq \r(3)t，
∵新抛物线y'过原点，
∴0＝﹣eq \f(\r(3),3)＋﹣eq \r(3)t，解得t＝2或t＝﹣6(舍)，
∴y'＝﹣eq \f(\r(3),3)＋＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(5\r(3),3)x，
∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，
联立﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(5\r(3),3)x＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(\r(3),3)x＋4eq \r(3)，
∴x＝3，
∴D(3，2eq \r(3))，
∵y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(\r(3),3)x＋4eq \r(3)的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，
∴E点的横坐标为eq \f(1,2)，
∵点F为新抛物线y'上一动点，
设F点横坐标为n，
①当AE与DF为平行四边形的对角线时，
∴﹣3＋eq \f(1,2)＝n＋3，
∴n＝﹣eq \f(11,2)，
∴F(﹣eq \f(11,2)，﹣)；
②当AF与ED为平行四边形对角线时，
∴﹣3＋n＝3＋eq \f(1,2)，∴n＝eq \f(13,2)，
∴F(eq \f(13,2)，﹣eq \f(13,4)eq \r(3))；
③当AD与EF为平行四边形对角线时，
∴﹣3＋3＝n＋eq \f(1,2)，∴n＝﹣eq \f(1,2)，
∴F(﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(11,12)eq \r(3))；
综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，
F的坐标为(﹣eq \f(11,2)，﹣)或(eq \f(13,2)，﹣eq \f(13,4)eq \r(3))或(﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(11,12)eq \r(3))．
解：(1)所给不等式组的解集为2≤x＜4，其整数解为2，3，
∵OA、OB的长是所给不等式组的整数解，且OA＜OB，
∴OA＝2，OB＝3，则A(﹣2，0)，B(3，0)，
∵点A、B在抛物线上，
∴，解得a=1,c=-6，
∴所求的抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6，
∵点D(2，m)在抛物线上，
∴m＝22﹣2﹣6＝﹣4；
(2)如图1所示，连接AD交y轴于点E，则此时AE＋ED最小，
设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵点A(﹣2，0)，D(2，﹣4)在直线AD上，
∴，解得，
∴直线AD的函数解析式为y＝﹣x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
即E(0．﹣2)，
∴OE＝|﹣2|＝2，
故答案为：2；
(3)如图1，
∵AD∥FB，
∴△AEO∽△BFO，
∴＝，
∵OE＝OA＝2，
∴OF＝OB＝3，
∵C(0，﹣6)，
∴OC＝|﹣6|＝6，
∴CF＝CO＋OF＝6＋3＝9，
∴抛物线向上平移9个单位，
故答案为：9；
(4)∵以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，
由∵OA≠OB，
∴AB与MN不能作为一组对角线，
∴分两种情况：
①以AM与BN为对角线时，如图2①和图2②，
如图2①，AB＝OA＋OB＝2＋3＝5，
∵四边形ABMN是菱形，
∴MN∥AB∥x轴，MN＝MB＝AB＝5，
在Rt△MBO中，OM＝4，
∴M(0，4)，
∴N(﹣5，4)，
如图2②，同理可得：N(﹣5，﹣4)，
②以AN与BM为对角线时，如图2③和图2④，
如图2③，菱形的边长仍为5，MN∥x轴，
∵MO＝eq \r(21)，
∴M(0，eq \r(21))，
∴N(5，eq \r(21))，
如图2④，同理可得：N(5，﹣eq \r(21))，
综上所述，①②两种情况，符合条件的点N的坐标为：
N1(﹣5，﹣4)、N2(﹣5，4)、N3(5，eq \r(21))、N4(5，﹣eq \r(21))．
解：(1)由题意，得，解得，
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)x2﹣x﹣4；
(2)设点P运动到点(x，0)时，有BP2=BD•BC，令x=0时，则y=﹣4，
∴点C的坐标为(0，﹣4)．
∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC，∴．
∵BC=，AB=6，BP=x﹣(﹣2)=x+2．
∴BD===．
∵BP2=BD•BC，∴(x+2)2=，解得x1=eq \f(4,3)，x2=﹣2(﹣2不合题意，舍去)，
∴点P的坐标是(eq \f(4,3)，0)，即当点P运动到(eq \f(4,3)，0)时，BP2=BD•BC；
(3)∵△BPD∽△BAC，∴，
∴×
S△BPC=eq \f(1,2)×(x+2)×4﹣
∵-eq \f(1,3)