中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习一（含答案）

中考数学二轮专题复习

《函数压轴题》专项练习一

1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标；

(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

2.如图，⊙E的圆心E(3，0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方)，与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

(3)动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

3.如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点M是线段AC(不包括A、C两点)上一点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P，求线段PM的长的最大值，并写出此时点M的坐标；

(3)过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设点Q是CE上方的抛物线上一点，连接CQ，过点Q作QF∥y轴，交CG于点F，若以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，求点Q的坐标．

4.如图，抛物线y=ax2＋bx﹣5与x轴相交于A(1，0)，B(5，0)，与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线上一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)，分别过点A、B作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为点D、E，连接MD、ME．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在第一象限内，使S△PAB=S△PAC，求点P的坐标；

(3)点P在运动过程中，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

5.已知直线L:y1=(m﹣1)x+2m+1与抛物线y2=a(x+1)(x﹣3)交于A点，且直线L满足：无论m取何值，直线L始终经过定点A点.

 (1)求A点坐标及a的值；

 (2)当m=0时.

  ①定义：M={y1，y2}，当y1<y2时，M=y1；当y1=y2时，M=y1=y2；当y1>y2时，M=y2.

    找出M与x之间的函数关系式，并求出当M=﹣3.5时x的值；

 ②已知直线y=m与图象M有3个交点，求m的取值范围.

6.已知二次函数y=ax2﹣2ax＋c(a＜0)的最大值为4，且抛物线过点(3.5，﹣2.25)，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．

(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；

(2)求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；

(3)设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|＋c的图象只有一个公共点，求t的取值．

0.参考答案

1.解：(1)在y=﹣x+2中，令y=0，得x=4，令x=0，得y=2

∴A(4，0)，B(0，2)把A(4，0)，B(0，2)，代入y=x2+bx+c，

得，解得

∴抛物线得解析式为y=x2+x+2.

(2)如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F

∵BE∥x轴，∴∠BAC=∠ABE

∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=2∠ABE即∠DBE+∠ABE=2∠ABE

∴∠DBE=∠ABE∴∠DBE=∠BAC

设D点的坐标为(x，x2+x+2)，则BF=x，DF=x2+x

∵tan∠DBE=，tan∠BAC=∴=，解得x1=0(舍去)，x2=2

当x=2时，x2+x+2=3∴点D的坐标为(2，3)

(3)当BO为边时，OB∥EF，OB=EF，设E(m，﹣m+2)，F(m，m2+m+2)

EF=|(﹣m+2)﹣(m2+m+2)|=2解得m1=2，m2=2﹣2，m3=2+2

当BO为对角线时，OB与EF互相平分，过点O作OF∥AB，

直线OFy=x交抛物线于点F(2+2，﹣1﹣)和((2﹣2，﹣1+))

求得直线EF解析式为y=﹣x+1或y=x+1.

直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为﹣2﹣2或2﹣2.

∴E点的坐标为(2，1)或(2﹣2，1+)或(2+2，1﹣)

或(﹣2﹣2，3+)或(﹣2+2，3﹣).

2.解：(1)如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA=4，

∵OC⊥AB，∴由垂径定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，

∴A(0，4)，B(0，﹣4)，C(8，0)，

∵抛物线的定点为C，

∴设抛物线的解析式为y=a(x-8)2，

将点B的坐标代入上解析的式，得64a=﹣4，

故a=-，∴y=-(x-8)2，

∴所求抛物线的解析式为：y=-x2+x-4；

(2)在直线l的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=-，

∴点D的坐标为(-，0)，当x=0时，y=4，

∴点A在直线l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵，，∴，

∵∠AOE=∠DOA=90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，

因此，直线l与⊙E相切与A；

(3)如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，

交直线l于点M．设M(m，m+4)，P(m，-m2+m-4)，

则PM=m+4-(-m2+m-4)=(m-2)2+7，

当m=2时，PM取得最小值6.2，此时，P(2，-2.25)，对于△PQM，

∵PM⊥x轴，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，∴△PQM的三个内角固定不变，

∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，

∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=6.2，

∴当抛物线上的动点P的坐标为(2，-2.25)时，点P到直线l的距离最小，

其最小距离为6.2．

3.解：(1)将A、C点坐标代入函数解析式，得

，解得，

抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

(2)直线AC：y=﹣x+3，设P(m，﹣m2+2m+3)，M(m，﹣m+3)，其中0＜m＜3，

PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣(m﹣)2+，

当m=时，PM有最大值，此时M(，)；

(3)设Q(t，﹣t2+2t+3)，则F(t，3)，其中0＜t＜2，∴QT=﹣t2+2t，CF=t，

当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1，x=3，B(﹣1，0)，

当x=0时，y=3，即C(0，3)，∴OB=1，OC=3，

∵∠BOC=∠QFC=90°，当△CFQ∽△BOC时， =，

∴=，∴t=﹣1(舍去)．

‚当△QFC∽△BOC时， =，∴=，∴t=，

由此可知，当以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，

点Q的坐标为(，3)．

4.解：(1)∵将点A、B的坐标代入得：

，解得：a=﹣1，b=6，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2＋6x﹣5．

(2)如图1所示：记PC与x轴的交点为F．

∵令x=0，得y=﹣5，∴C(0，﹣5)．

设直线PC的解析式为y=kx﹣5，点P的坐标为(a，﹣a2＋6a﹣5)．

将点P的坐标代入PC的解析式得：ka=﹣a2＋6a﹣5．

解得：a=0(舍去)，k=6﹣a．

∴直线PC的解析式为y=(6﹣a)x﹣5．

令y=0得：(6﹣a)x﹣5=0．解得：x=．∴点F的坐标(，0)．

∵S△PAB=S△PAC，∴(﹣1)(﹣a2＋6a﹣5＋5)=×4×(﹣a2＋6a﹣5)．

解得：整理得：a2﹣5a＋4=0．解得：a=1(舍去)，a=4．

当a=4时，﹣a2＋6a﹣5=﹣16＋24﹣5=3．

∴点P的坐标为(4，3)．

(3)∵抛物线解析式为y=﹣x2＋6x﹣5，∴对称轴是直线x=3．∴M(3，0)．

①当∠MED=90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；

②同理：当∠MDE=90°时，不成立；③当∠DME=90°时，如图2所示：

设直线PC与对称轴交于点N，

∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA．

∵∠MDE=45°，∠EDA=90°，∴∠MDA=135°．

∵∠MED=45°，∴∠NEM=135°．∴∠ADM=∠NEM=135°．

在△ADM与△NEM中，

，

∴△ADM≌△NEM(ASA)．

∴MN=MA．

∴MN=MA=2，∴N(3，2)．

设直线PC解析式为y=kx＋b，将点N(3，2)，C(0，﹣5)代入直线的解析式得；

，解得：．∴直线PC的解析式为y=x﹣5．

将y=x﹣5代入抛物线解析式得：x﹣5=﹣x2＋6x﹣5，解得：x=0或x=，

当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x﹣5=3．∴P(，3)．

综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为(，3)．

5.解：(1)A(﹣2,3),a=1;

(2)M=﹣x+1(x≤﹣1);M=x2﹣2x﹣3(﹣1<x≤4)；M=﹣x+1(x>4)；

(3)﹣4<m≤﹣3.

6.解：(1)∵y=ax2﹣2ax＋c的对称轴为：x=﹣=1，

∴抛物线过(1，4)和(，﹣)两点，

代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，

∴二次函数的解析式为：y=﹣x2＋2x＋3，

∴顶点D的坐标为(1，4)；

(2)∵C、D两点的坐标为(0，3)、(1，4)；

由三角形两边之差小于第三边可知：

|PC﹣PD|≤|CD|，

∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值.

|CD|=，

由于CD所在的直线解析式为y=x＋3，

将P(t，0)代入得t=﹣3，

∴此时对应的点P为(﹣3，0)；

(3)y=a|x|2﹣2a|x|＋c的解析式可化为：

y=

设线段PQ所在的直线解析式为y=kx＋b，将P(t，0)，Q(0，2t)代入得：

线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x＋2t，

∴①当线段PQ过点(0，3)，即点Q与点C重合时，线段PQ与函数

y=有一个公共点，此时t=，

当线段PQ过点(3，0)，即点P与点(3，0)重合时，t=3，此时线段PQ与

y=有两个公共点，所以当≤t＜3时，

线段PQ与y=有一个公共点，

②将y=﹣2x＋2t代入y=﹣x2＋2x＋3(x≥0)得：

﹣x2＋2x＋3=﹣2x＋2t，﹣x2＋4x＋3﹣2t=0，

令△=16﹣4(﹣1)(3﹣2t)=0，t=＞0，

所以当t=时，线段PQ与y=也有一个公共点，

③当线段PQ过点(﹣3，0)，即点P与点(﹣3，0)重合时，线段PQ只与

y=﹣x2﹣2x＋3(x＜0)有一个公共点，此时t=﹣3，

所以当t≤﹣3时，线段PQ与y=也有一个公共点，

综上所述，t的取值是≤t＜3或t=或t≤﹣3．