2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习一（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习一（含答案），共13页。试卷主要包含了①求抛物线的解析式，解得x1=﹣1，x2=2n+1等内容，欢迎下载使用。
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D(0，3)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P(m，0)为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；
(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线y=kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx＋b的函数解析式；
(2)若点P(x，y)是抛物线y=－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
(3)若点E在抛物线y=－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．
以点P(n，n2+2n+1)(n≥1)为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)．
(1)当n=1时，试求b和c的值；当n＞1时，求b与n，c与n之间的关系式．
(2)若点P到AB的距离等于线段AB长的10倍，求此抛物线y=﹣x2+bx+c的解析式．
(3)设抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点D，O为原点，矩形OEFD的顶点E、F分别在x轴和该抛物线上，当矩形OEFD的面积为42时，求点P的坐标．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(﹣1，0)和点B(0，3)，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为﹣8、2．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(﹣1，2)．
(1)抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x＋4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标．
(2)将抛物线平移，使点A的对应点为A'(m＋1，b＋4)，其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N(2，1)，平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x＋5上，求b的值．
如图，已知二次函数y＝x2＋2x＋c与x轴正半轴交于点B(另一个交点为A)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2＋2x＋c≥kx＋b的解集；
(3)已知点P(﹣3，1)，Q(2，2t＋1)，且线段PQ与抛物线y＝x2＋2x＋c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．
\s 0 答案
解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx﹣3中得：
．解得：．
∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
(2)设直线l的解析式为y＝kx＋n，
将B(3，0)，D(0，3)代入上式得：
．解得：．
∴直线l的解析式为：y＝﹣x＋3．
∵点P(m，0)，EF⊥x轴，
∴E点坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，点F的坐标为(m，﹣m＋3)．
∴EF＝﹣m＋3﹣m2＋2m＋3＝﹣m2＋m＋6．
∵B(3，0)，
∴OB＝3．
∵S四边形CEBF＝S△CEF＋S△BEF＝eq \f(1,2)EF•OP＋eq \f(1,2)•BP×EF＝eq \f(1,2)FE•OB，
∴＝﹣．
∵＜0，
∴当m＝eq \f(1,2)时，S四边形CEBF有最大值＝．
即：当m＝eq \f(1,2)时，四边形CEBF面积的最大值为．
(3)存在．①当点M在直线BD的下方时，如图，
令x＝0，则y＝﹣3．
∴C(0，﹣3)．
∴OC＝3．
∵A(﹣1，0)，
∴OA＝1．
过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，
∵四边形ACMN为平行四边形，
∴AC∥MN，AC＝MN．
∵NF⊥ME，ME⊥OE，
∴NF∥OE．
∴∠ACO＝∠MNF．
在△AOC和△MFN中，
．
∴△AOC≌△MFN(AAS)．
∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．
设M(h，h2﹣2h﹣3)，则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2＋2h＋3．
∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．
∴N(h﹣1，﹣h＋4)．
∴NG＝﹣h＋4，
∵NG＋GF＝NF＝3，
∴﹣h＋4﹣h2＋2h＋3＝3．解得：h＝(负数不合题意，舍去)．
∴h＝．∴M()．
②当点M在直线BD的上方时，如图，
过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，
由①知：△MNF≌△CAO(AAS)，可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．
设M(h，h2﹣2h﹣3)，则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．
∴NE＝EF＋NF＝h＋1．
∴N(h＋1，﹣h＋2)．
∴GF＝OE＝h﹣2．
∵MG＋GF＝MF＝3，
∴h﹣2＋h2﹣2h﹣3＝3．解得：h＝(负数不合题意，舍去)．
∴h＝．∴M()．
综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为()或()．
解：(1)抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，
∴A(﹣1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)∵y＝﹣x2＋2x＋3，∴C(0，3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋3，
将点B(3，0)代入得：0＝3k＋3，解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3；
设点D坐标为(t，﹣t2＋2t＋3)，则点N(t，﹣t＋3)，
∵A(﹣1，0)，C(0，3)，
∴AC2＝12＋32＝10，
AN2＝(t＋1)2＋(﹣t＋3)2＝2t2﹣4t＋10，CN2＝t2＋(3＋t﹣3)2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t＋10，解得t1＝2，t2＝0(不合题意，舍去)，
∴点N的坐标为(2，1)；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，解得t1＝eq \r(5)，t2＝﹣eq \r(5) (不合题意，舍去)，
∴点N的坐标为(eq \r(5)，3﹣eq \r(5))；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t＋10＝2t2，解得t＝eq \f(5,2)，
∴点N的坐标为(eq \f(5,2)，eq \f(1,2))；
综上，存在，点N的坐标为(2，1)或(eq \r(5)，3﹣eq \r(5))或(eq \f(5,2)，eq \f(1,2))；
(3)设E(1，a)，F(m，n)，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴BC＝3eq \r(2)，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2＋BE2，
∴(3eq \r(2))2＝12＋(a﹣3)2＋a2＋(3﹣1)2，
解得：a＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)，或a＝eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)，∴E(1，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))或(1，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴m＋1＝0＋3，n＋eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)＝0＋3或n＋eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)＝0＋3，
∴m＝2，n＝eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)或n＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)，
∴点F的坐标为(2，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))或(2，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))；
②以BC为边时，BE2＝CE2＋BC2或CE2＝BE2＋BC2，
∴a2＋(3﹣1)2＝12＋(a﹣3)2＋(3eq \r(2))2或12＋(a﹣3)2＝a2＋(3﹣1)2＋(3eq \r(2))2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E(1，4)或(1，﹣2)，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴m＋0＝1＋3，n＋3＝0＋4或m＋3＝1＋0，n＋0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为(4，1)或(﹣2，1)，
综上所述：存在，点F的坐标为(2，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))或(2，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))或(4，1)或(﹣2，1)．
解：(1)∵直线y=kx＋b经过点A(－4，0)，B(0，3)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝－4k＋b,3＝b))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(3,4),b＝3))，
∴直线的函数解析式为y=eq \f(3,4)x＋3；
(2)如图，过点P作PM⊥AB于点M，作PN∥y轴交直线AB于点N.
∴∠PNM=∠ABO，
∵∠AOB=∠NMP=90°，
∴△AOB∽△PMN，∴eq \f(AO,PM)=eq \f(AB,PN)，
∵OA=4，OB=3，
∴AB=eq \r(OA2＋OB2)=5，
∴PM=eq \f(4,5)PN，
∵点P是抛物线上的点，PN∥y轴，
∴P(x，－x2＋2x＋1)，N(x，eq \f(3,4)x＋3)，
∴PN=eq \f(3,4)x＋3－(－x2＋2x＋1)=x2－eq \f(5,4)x＋2=(x－eq \f(5,8))2＋eq \f(103,64)，PM=d=eq \f(4,5)(x－eq \f(5,8))2＋eq \f(103,80)，
∴当x=eq \f(5,8)时，PM取得最小值eq \f(103,80)，此时P点坐标为(eq \f(5,8)，eq \f(119,64))；
(3)∵抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C，
∴C(0，1)，对称轴为直线x=－eq \f(2,2×（－1）)=1，
如解图，作点C关于对称轴的对称点G，则G点坐标为(2，1)，
点G到直线AB的距离即为CE＋EF的最小值，最小值为d=eq \f(4,5)×(2－eq \f(5,8))2＋eq \f(103,80)=eq \f(14,5).
解：(1)当n=1时，点P坐标为(1，4)，
则y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3=﹣x2+bx+c，
解得：b=2，c=3．
当n＞1时，则y=﹣(x﹣n)2+n2+2n+1=﹣x2+2nx+2n+1=﹣x2+bx+c，
所以b=2n，c=2n+1．
(2)∵y=﹣(x﹣n)2+n2+2n+1=﹣x2+2nx+2n+1，
∴当y=0时，即﹣x2+2nx+2n+1=0．解得x1=﹣1，x2=2n+1．
由于点A在点B的左边，
∴A(﹣1，0)、B(2n+1，0)，即AB=2n+1﹣(﹣1)=2n+2．
又∵点P到x轴的距离为n2+2n+1，
∴有n2+2n+1=10(2n+2)．
解得n=19或n=﹣1(不合，舍去)，即n=19．
故此时抛物线的解析式为y=﹣x2+38x+39．
(3)如图所示，
∵c=2n+1，∴D(0，2n+1)，即OD=2n+1．
又DF∥x轴，且D、F关于直线x=n对称，
∴F(2n，2n+1)．有DF=2n．从而OD•DF=2n(2n+1)=42，
解得n=3或n=-eq \f(7,2)(不合，舍去)，即n=3．
故点P的坐标为(3，16)．
解：(1)把A(﹣1，0)和点B(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，
得，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)∵y＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴C(1，4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设CD＝t，则D(1，4﹣t)，
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P(1＋t，4﹣t)，
把P(1＋t，4﹣t)代入y＝﹣x2＋2x＋3得：
﹣(1＋t)2＋2(1＋t)＋3＝4﹣t，
整理得t2﹣t＝0，解得：t1＝0(舍去)，t2＝1，
∴P(2，3)；
(3)∵P点坐标为(2，3)，顶点C坐标为(1，4)，将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为(1，﹣1)，
∴点E关于y轴的对称点F(﹣1，﹣1)，
连接PF交y轴于M，则MP＋ME＝MP＋MF＝PF的值最小，
设直线PF的解析式为y＝kx＋n，
∴，解得：，
∴直线PF的解析式为y＝eq \f(4,3)x＋eq \f(1,3)，
∴点M的坐标为(0，eq \f(1,3))．
解：(1)∵函数y=ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2＋bx＋c=0两根为：﹣8，2，∴A(﹣8，0)、B(2，0)，即OB=2，
又∵tan∠ABC=3，
∴OC=6，即C(0，﹣6)，
将A(﹣8，0)、B(2，0)代入y=ax2＋bx﹣6中，得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：y=eq \f(3,8)x2＋eq \f(9,4)x﹣6；
(2)①如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，
当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，
∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，∴HK=eq \f(1,2)BC，
在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，
∴BC=2eq \r(10)，
∴HK=eq \r(10)，即P的运动路程为：eq \r(10)；
②∠EPF的大小不会改变，理由如下：如图2，∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE=eq \f(1,2)AD=PA，
∴∠PAE=∠PEA=eq \f(1,2)∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=eq \f(1,2)∠DPF，
∴∠EPF=∠EPD＋∠FPD=2(∠PAE＋∠PAF)，即∠EPF=2∠EAF，
又∵∠EAF大小不变，
∴∠EPF的大小不会改变；
(3)设△PEF的周长为C，则C△PEF=PE＋PF＋EF，
∵PE=eq \f(1,2)AD，PF=eq \f(1,2)AD，∴C△PEF=AD＋EF，
在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，
∴∠EPG=eq \f(1,2)∠EPF=∠BAC，
∵tan∠BAC==eq \f(3,4)，∴tan∠EPG==eq \f(3,4)，
∴EG=eq \f(3,5)PE，EF=eq \f(6,5)PE=eq \f(3,5)AD，
∴C△PEF=AD＋EF=(1＋eq \f(3,5))AD=eq \f(8,5)AD，
又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF最小，
又S△ABC=30，∴eq \f(1,2)BC×AD=30，∴AD=3eq \r(10)，
∴C△PEF最小值为：eq \f(8,5)AD=eq \r(10)．
解：(1)①将点A(﹣1，2)代入y＝﹣x2＋bx＋c，
∴c﹣b＝3，
∵抛物线的顶点纵坐标为6，
∴＝6，
∴c＝﹣3或c＝5，
∴b＝﹣6或b＝2，
∵顶点位于y轴右侧，
∴b＞0，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2＋2x＋5；
②设M(t，﹣t2＋2t＋5)，则P(t，﹣t＋4)，
∴PM＝﹣t2＋3t＋1，
∵PM＝3，
∴﹣t2＋3t＋1＝3，
解得t＝1或t＝2，
∴P(1，3)或(2，2)；
(2)∵点A(﹣1，2)平移后对应点为A'(m＋1，b＋4)，
∴抛物线向右平移m＋2个单位，向上平移b＋2个单位，
∵c﹣b＝3，
∴y＝﹣x2＋bx＋c＝﹣(x﹣eq \f(1,2)b)2＋b＋3＋eq \f(1,4)b2，
∴平移后的抛物线解析为y＝﹣(x﹣eq \f(1,2)b﹣m﹣2)2＋2b＋5＋eq \f(1,4)b2，
∴抛物线的顶点为(eq \f(1,2)b＋m＋2，2b＋5＋eq \f(1,4)b2)，
∵抛物线顶点恰好落在直线y＝x＋5上，
∴eq \f(1,2)b＋m＋2＋5＝2b＋5＋eq \f(1,4)b2，
∴m＝eq \f(1,4)b2＋b﹣2①，
∵平移后的抛物线经过点N(2，1)，
∴﹣(﹣eq \f(1,2)b﹣m)2＋2b＋5＋eq \f(1,4)b2＝1②，
由①②可得，b＋2m＝b＋4或b＋2m＝﹣b﹣4，
当b＋2m＝b＋4时，m＝2，此时不符合题意；
当b＋2m＝﹣b﹣4时，b＝0或b＝﹣10，
当b＝0时，m＝﹣2；当b＝﹣10时，m＝8；
∴b的值为0或﹣10．
解：(1)设B(m，0)，则OB＝m，
∵OC＝3OB，
∴OC＝3m，C(0，﹣3m)，
将B(m，0)，C(0，﹣3m)代入y＝x2＋2x＋c得：
，解得(此时B不在x轴正半轴，舍去)或，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x﹣3；
(2)在y＝x2＋2x﹣3中，令y＝0得x2＋2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，
∴A(﹣3，0)，
由图象可知，当x≤﹣3或x≥0时，抛物线在直线上方，即x2＋2x＋c≥kx＋b，
∴不等式x2＋2x＋c≥kx＋b的解集为x≤﹣3或x≥0；
(3)设直线x＝2与抛物线y＝x2＋2x﹣3交于K，如图：
由图可知，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛物线y＝x2＋2x﹣3有且只有一个公共点，
在y＝x2＋2x﹣3中，令x＝2得y＝22＋2×2﹣3＝5，
∴2t＋1≤5，解得t≤2，
答：线段PQ与抛物线y＝x2＋2x＋c有且只有一个公共点，t的取值范围是t≤2．