15.1 分式的概念和性质（讲+练）【11大题型】-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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15.1 分式的概念和性质一、单选题1．若分式x−2x+3的值等于0，则x的值是（　　）A．2 B．-2 C．3 D．-32．若把分式 3xx+y 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．不变 D．缩小3倍3．如果分式 2xx+y 中的 x 和 y 都扩大2倍，则分式的值（　　） A．扩大2倍 B．扩大4倍C．缩小为原来的一半 D．不变4．下列变形从左到右一定正确的是（　　） A．ab=a−2b−2 B．ab=acbc C．ab=a2b2 D．axbx=ab5．下列不属于分式 12x2−18 与 x4x+12 的公分母的是（　　） A．（2x2﹣18）（4x+12） B．16（x﹣3）（x+3）C．4（x﹣3）（x+3） D．2（x+3）（x﹣3）二、填空题6．化简： 6ab34a3b=　 　. 7．若分式 x3x+2 的值为0，则 x 的值为　 　. 8．若分式 x−2x+1 的值为0，则x=　 　． 9．要使式子 x+2x−1 有意义，则x的取值范围是　 　．10．当x 　 　时，分式 |x|−1x−1 有意义． 三、解答题11．若 ba=3 ，求 a+ba−b 的值. 12．当a＞0时，分式4b﹣a﹣4b2+1a的值是正还是负？试说明你的理由．13．已知：1a−1b=2，求2a−ab−2ba+ab−b的值．四、综合题14．请从下列三个代数式a2﹣1，ab﹣b，a2﹣1，ab﹣b中任选两个构造一个分式，并化简该分式．（1）构造的分式是什么？（2）化简．15．x取什么值时，分式 x−5(x−2)(x+3) ；（1）无意义？（2）有意义？（3）值为零？分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注意：（1）区别：分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）联系：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.题型1：分式的概念1.下列各式中，是分式的是（　　） A．−b2a B．a+b2 C．12ab+a2b D．3abπ【变式1-1】代数式xx+1，52x，3x3x，xπ，4−1x中，分式的个数是(　　)A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-2】在代数式32+x，3+x2，32+x，3+x2x，xπ中，分式的个数为（　　）．A．2 B．3 C．4 D．5分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.注意：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.题型2：分式有意义、无意义的条件2.使分式x−32x−1有意义的x的取值范围是(　　)A．x≥12 B．x≤12 C．x＞12 D．x≠12【变式2-1】分式x+1x(x−1)中隐含着x的取值应该满足的条件是：　 　．【变式2-2】要使分式3x2+2有意义，则x的取值范围是 　 　．题型3：分式值为0的条件3.使分式 x2−1x+1 等于0的x的值是（　　） A．1 B．−1 C．±1 D．不存在【变式3-1】如果分式|m|−22m+4的值为零，那么m的值是（　　）A．m≠2 B．m=±2 C．m=﹣2 D．m=2当x＝2时，分式 x−kx+m 的值为0，则k、m必须满足的条件是　 　．【变式3-2】若分式 2−|x|(x−1)(x−2)=0 ，则 x=　 　． 当 x=　 　时，分式 x2−162x−8 的值为0. 已知分式x+12−x，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义，则ab的值等于 　 　．分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.题型4：分式的基本性质4.下列等式中，正确的是（　 　）A．ab=a+1b+1 B．ab=2a2bC．ab=a2b2 D．0.1a−0.3b0.2a+b=a−3b2a+b【变式4-1】如果把分式中x+y2xy的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　）A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的12C．不变 D．扩大为原来的4倍【变式4-2】若把分式xyx+y的x和y都扩大3倍，那么分式xyx+y的值（　　）A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．扩大4倍 D．不变分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.注意：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.题型5：约分及最简分式5.①分式 −xx2−xy 可化简为（　　） A．−1x−y B．−1x+y C．1x+y D．1x−y②下列分式①b8a②3x2y9xy2③a+ba−b④x−yx2−y2⑤x2+xy2x 中，最简分式有　 　（填正确答案的序号）． 【变式5-1】约分： （1）x58x2 =　 　（2）7m2n−35mn2 = 　 　（3）(a−b)2(b−a)2 =　 　．【变式5-2】化简分式xy+xx2的结果是　 　．化简x2−4x2+4x+4＝　 　．化简分式 x2−92x−6 的结果是　 　．分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.注意：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.题型6：分式的通分6.把分式 1x−y ， 1x+y ， 1x2−y2 进行通分，它们的最简公分母是（　　） A．x﹣y B．x+yC．x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）【变式6-1】12a2b与23ab3c的最简公分母是　 　．分式 1x2−4，x−1x，1x+2 ，的最简公分母是　 　分式 1x2−y2 与 1x2−xy 的最简公分母是　 　【变式6-2】通分：（1）2b3a2 ， −abc ； （2）2xx2−9 ， x2x+6（3） 1x2−6x+9 ， 2x2−9 ， 13x−9题型7：根据分式的正负求字母取值范围7.若分式 2x−5x2+4 的值为负数，则x的取值范围是（　　） A．x为任意数 B．x<52 C．x>52 D．x<−52【变式7-1】若分式 2x−1x2+3 的值为正数，则x需满足的条件是（　　） A．x为任意实数 B．x<12 C．x>12 D．x>−12【变式7-2】若分式 x−1(x+1)2 的值为负数，则x的取值范围是　 　． 题型8：化简求值-解方程组8.已知＝0，求的值．【变式8-1】已知xyz≠0，且满足x+3y+7z＝0，3x﹣4y﹣18z＝0，求的值．【变式8-2】已知x2﹣3xy﹣4y2＝0（y≠0），试求代数式的值．题型9：化简求值-整体代入法9.已知x+y＝6，xy＝9，求的值．【变式9-1】（1）已知＝1，求的值；（2）已知+＝2，求的值．【变式9-2】已知＝2，求的值．题型10：化简求值-设辅助参数10.已知＝＝＝，且2b﹣d+5f≠0，求的值．【变式10-1】已知：a：b：c＝2：3：5，求分式的值．【变式10-2】已知：，求代数式的值．题型11：分式与规律性题11.观察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（1）计算这列分式中，一个分式与它前一个分式的商，你有什么发现？（2）根据你发现的规律写出第n个分式．【变式11-1】观察式子：，﹣，，﹣，…，根据你发现的规律知，第8个式子为　 　．【变式11-2】观察下列各式：2×＝2+；3×＝3+；4×＝4+…若n为正整数，用含n的等式表示上述规律．