人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算导学案，共13页。


我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即a，b，c∈R时，必定有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？
知识点1 复数的加、减运算
1．复数加法、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则有：
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
2．复数加法的运算律
设z1，z2，z3∈C，则有：
交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．两个实数之和仍是一个实数，两个复数之和仍是一个复数，那么两个虚数之和仍是一个虚数吗？
[提示] 不一定，如i＋(－i)＝0．
2．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
[提示] 不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
知识点2 复数加减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量OZ与复数z1＋z2对应，向量Z2Z1与复数z1－z2对应．
3．类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
[提示] |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
已知向量OZ1对应的复数为2－3i，向量OZ2对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2对应的复数为________．
1－i [Z1Z2＝OZ2-OZ1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．]
类型1 复数代数形式的加、减运算
【例1】 (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．
(1)－2－i (2)2 [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i．
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以5x-5y=5，-3x+4y=-3，解得x=1，y=0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝2．]
复数加减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行．
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错．
[跟进训练]
1．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．]
类型2 复数代数形式加、减运算的几何意义
【例2】 (1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2．则|z1－z2|＝________．
(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求：
①AO所表示的复数，BC所表示的复数；
②对角线CA所表示的复数；
③对角线OB所表示的复数及OB的长度．
(1)2 [由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝2．]
(2)[解] ①AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i．
∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i．
②∵CA＝OA-OC，
∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．
③对角线OB＝OA+OC，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB|＝12+62＝37．
利用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
[跟进训练]
2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
[解] 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则AD＝OD-OA＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－2)．
BC＝OC-OB＝(－1，－2)－(－2，1)＝(1，－3)．
∵AD＝BC，∴x-1=1，y-2=-3，
解得x=2，y=-1，故点D对应的复数为2－i．
类型3 复数模的最值问题
【例3】 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B．12
C．2 D．5
(2)若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)A [设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，则求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1．所以|z＋i＋1|min＝1．]
(2)[解] 如图所示，设OM＝－3－i，
则|OM|＝-32+-12＝2．
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．
[跟进训练]
3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
[解] 因为|z|＝1且z∈C，作图如图，
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝22－1．
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
B [z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．]
3．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．10 D．4
B [由复数减法运算的几何意义知，AB对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，所以|AB|＝2．]
4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
1 [由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1，0)的距离．
∴|z－1|min＝1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解复数的加减法？
[提示] 由于复数具有数与形的多重性，因此复数加减法也应从数与形等方面领会，即从代数形式上领会，复数加减法类似于多项式合并同类项；从几何形式上，复数加减法等同于向量加减法运算．
2．|z－z0|的几何意义是什么？|z－z1|＝3表示的轨迹是什么？
[提示] |z－z0|表示z和z0所对应的点的距离．当|z－z1|＝3时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为3的圆．
课时分层作业(十八) 复数的加、减运算及其几何意义
一、选择题
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i．故选A．]
2．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
A B C D
A [由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1，1)．故选A．]
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
A [由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故b+4=0，a+3=0，4-b≠0，解得a＝－3，b＝－4．]
4．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A．5 B．5
C．25 D．10
B [依题意，AC对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5．]
5．(多选)3+2i-1+i表示( )
A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离
B．点(3，2)与点-1，-1之间的距离
C．点(2，1)到原点的距离
D．坐标为(-2，-1)的向量的模
ACD [由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以3+2i-1+i表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A说法正确，B说法错误；3+2i-1+i＝2+i，2+i可表示点2，1到原点的距离，故C说法正确；3+2i-1+i＝1+i-3+2i＝|－2－i|，|－2－i|可表示点(－2，－1)到原点的距离，即坐标为(-2，-1)的向量的模，故D说法正确．故选ACD．]
二、填空题
6．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝________．
4－3i [z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i．]
7．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是OA与OB，其中O是原点，则向量OA+OB＝________，则BA对应的复数为________，A，B两点间的距离为________．
2 －8－2i 217 [向量OA+OB对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2．
∵BA＝OA-OB，
∴向量BA对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．
∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝-82+-22＝217．]
8．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．
±23－2i [因为z＋2i是实数，所以可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±23，
所以z＝±23－2i．]
三、解答题
9．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R)．
(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？
(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？
[解] 由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i．
(1)若复数z1－z2＋z3是实数，
则a＋4＝0，即a＝－4．
(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，则1-2a+a2=0，a+4≠0， 解得a＝1．
10．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
C [由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得a2-2+a=0，a2-3a+2≠0， 得a＝－2．]
11．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B [根据复数加(减)法的几何意义，可知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．]
12．(多选)设复数z的共轭复数为z，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．z＋z∈R
B．z－z是纯虚数
C．若z＝cs π5＋isin 3π5，则|z|＝1
D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2
AD [因为复数z与其共轭复数为z的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋z∈R，A正确；
当z为实数时，z也为实数，则z－z是实数，B错误；若z＝cs π5＋isin 3π5，
则|z|＝cs2π5+sin23π5≠1，C错误；
若|z－i|＝1，设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x2＋(y－1)2＝1，则|z|表示满足方程x2＋(y－1)2＝1的圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确．]
13．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f (z1＋z2)＝________．
3＋32 [z1＋z2＝3＋3i，故f (z1＋z2)＝f (3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋32．]
14．在复平面内，已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝32，求|z1＋z2|．
[解] 设OA对应的复数为z1，OB对应的复数为z2，
则OA+OB对应的复数为z1＋z2，OA-OB对应的复数为z1－z2，因为|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝32，
所以△AOB为等腰直角三角形，且|BA|＝32．
作正方形AOBC，如图所示，
则OA+OB＝OC对应的复数为z1＋z2，
故|z1＋z2|＝|OC|＝|BA|＝32．
15．在复平面内，A，B，C三点所对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i，其中i为虚数单位．
(1)求AB，BC，AC对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
[解] (1)AB对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
BC对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
AC对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i．
(2)∵|AB|＝2，|BC|＝10，|AC|＝8＝22，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝12×2×22＝2．
学习任务
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(数学抽象、数学运算)
2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(直观想象)