人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念学案及答案，共15页。
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？让我们来一起探究吧！
知识点1 复数的几何意义
1．复平面
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
1．实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[提示] 不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2．复数的几何意义
(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应：
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)；
(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：
复数z＝a＋bi平面向量OZ．
知识点2 复数的模
1．定义：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|．
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝a2+b2．
知识点3 共轭复数
1．定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．表示：复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi．
2．共轭复数在复平面内对应的点有什么关系？
[提示] 它们所对应的点关于实轴对称．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)原点是实轴和虚轴的交点．( )
(2)若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数为－3i．( )
(3)复数z＝－1－2i在复平面内对应的点位于第四象限．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
5 [∵z＝1＋2i，
∴|z|＝12+22＝5．]
3．复数z＝－3－2i的共轭复数z＝________．
[答案] －3＋2i
类型1 复数与复平面内的点的关系
【例1】 求实数a分别取何值时，复数z＝a2-a-6a+3＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，
则a2-a-6a+30，
解得a＜－3．
(2)点Z在x轴上方，
则a2-2a-15>0，a+3≠0，
解得a＞5或a＜－3．
即当a＞5或a＜－3时，点Z在复平面内的x轴上方．
[母题探究]
1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
[解] 点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5．
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
[解] 因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以a2-a-6a+3＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±15．
所以a＝－2或a＝±15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
[跟进训练]
1．(1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第________象限．
(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为________．
(1)四 (2)(1，2) [(1)因为a2＋a＋1＝a+122＋34>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2