第7章 平面图形的认识（二）（典型30题专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第7章平面图形的认识（二）（典型30题专练）一．选择题（共11小题）1．（2021春•惠来县期末）三角形的角平分线、中线、高都是（　　）A．直线 B．线段 C．射线 D．以上都不对【分析】三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点．【解答】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．故选：B．【点评】线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量．2．（2019秋•香坊区期末）下列图案中，可以利用平移来设计的图案是（　　）A． B． C． D．【分析】根据平移变换，轴对称变换中心对称对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、是利用中心对称设计的，不合题意；B，C是利用轴对称设计的，不合题意；D、是利用平移设计的，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．3．（2021春•姑苏区期中）如图，下列条件不能判断l∥m的是（　　）A．∠4＝∠5 B．∠1+∠5＝180° C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠2【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．【解答】解：A、∵∠4＝∠5，∴l∥m，故此选项不符合题意；B、∵∠1＝∠6，∠1+∠5＝180°，∴∠5+∠6＝180°，∴l∥m，故此选项不合题意；C、∵∠2＝∠3，∴l∥m，故此选项不合题意；D、∠1＝∠2不能判断l∥m，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．4．（2021•滨海县一模）如图所示，l1∥l2，三角板ABC如图放置，其中∠B＝90°，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）A．40° B．50° C．60° D．30°【分析】作BD∥l1，根据平行线的性质得∠1＝∠ABD＝40°，∠CBD＝∠2，利用角的和差即可求解．【解答】解：作BD∥l1，如图所示：∵BD∥l1，∠1＝40°，∴∠1＝∠ABD＝40°，又∵l1∥l2，∴BD∥l2，∴∠CBD＝∠2，又∵∠CBA＝∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠CBD＝50°，∴∠2＝50°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是作辅线构建平行线．5．（2021•咸宁一模）如图所示，直线a∥b，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3的度数为（　　）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】解法一：反向延长∠2的边与a交于一点，由直角三角形的两锐角互余可得∠4＝90°﹣∠1＝60°，再根据平行线的性质，即可得到∠3的度数．解法二：延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，反向延长∠2的边与a交于一点，∵∠2＝90°，∴∠4＝90°﹣∠1＝60°，∵a∥b，∴∠3＝180﹣∠4＝120°，故选：A．解法二：如图，延长∠1的边与直线b相交，∵a∥b，∴∠4＝∠1＝30°，由三角形的外角性质，可得∠3＝90°+∠4＝90°+30°＝120°，故选：A．【点评】考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6．（2021春•渭滨区期末）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC的面积是（　　）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【解答】解：∵F是CE的中点，△AEF的面积为3，∴S△ACE＝2S△AEF＝6，∵E是BD的中点，∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝S△ABE+S△BCE＝S△ABC，∴△ABC的面积＝12．故选：D．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．7．（2021春•恩施市期末）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　）A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；进行判断即可．【解答】解：根据∠D+∠BAD＝180°，可得AB∥CD；根据∠1＝∠2，可得AB∥CD；根据∠3＝∠4，可得BC∥AD，得不到AB∥CD；根据∠B＝∠DCE，可得AB∥CD．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．8．（2021春•深圳期中）如图，下列判断正确的是（　　）A．若∠1＝∠2，则AB∥CD B．若∠1＝∠2，则AD∥BC C．若∠A＝∠3，则AD∥BC D．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∵AB∥CD，故本选项正确；B、∵∠1＝∠2，∵AB∥CD，故本选项错误；C、∠A＝∠3，无法判定平行线，故本选项错误；D、∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．9．（2021•连山区一模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2＝70°，则∠1的大小是（　　）A．45° B．50° C．55° D．40°【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：由题意得，∠4＝60°，∵∠2＝70°，AB∥CD，∴∠3＝∠2＝70°，∴∠1＝180°﹣60°﹣70°＝50°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（2021春•靖江市期末）下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（　　）A． B． C． D．【分析】根据高的定义：”过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线“解答．【解答】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．故选：D．【点评】本题考查了三角形的高线，属于基础题，熟记概念是解题的关键．11．（2021•焦作模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）A．60° B．65° C．72° D．75°【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝2x＝72°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共7小题）12．（2021春•阳谷县期末）如图，木工用角尺画出CD∥EF，其依据是　同位角相等，两直线平行　．【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行作答．【解答】解：木工用角尺画出CD∥EF，其依据是同位角相等，两直线平行，故答案为：同位角相等，两直线平行．【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．13．（2021春•盐城期末）在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝45°，则∠C为 　100°　．【分析】根据三角形内角和定理，由∠A+∠B+∠C＝180°，得∠C＝100°．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣45°＝100°．故答案为：100°．【点评】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．14．（2021秋•绥棱县期末）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是 　利用三角形的稳定性　．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．15．（2021秋•集贤县期末）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于 　72°　．【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝540，即可求得n＝5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【解答】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝540，解得：n＝5，∴这个正多边形的每一个外角等于：＝72°．故答案为：72°．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．16．（2021春•饶平县校级期末）如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有　3　个．【分析】根据平行线的判定定理即可判断．【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，故能判定AB∥CD的条件个数有3个．故答案为：3．【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．17．（2021秋•莱芜区期中）如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝68°，则∠BOC＝　124°　．【分析】由三角形内角和定理可求∠ABC+∠ACB＝110°，由角平分线的性质可求∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，由三角形内角和定理可求∠BOC的度数．【解答】解：∵∠A＝68°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝112°，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠BOC＝124°．故答案为：124°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．18．（2021春•江都区期末）将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，则∠EDB＝　75　°．【分析】由三角形内角和定理可求解∠ABC的度数，利用三角形外角的性质可求解∠BDF的度数，进而可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，∵∠EDF＝90°，∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，故答案为75．【点评】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，求解∠BDF的度数是解题的关键．三．解答题（共12小题）19．（2021春•怀安县期末）如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．（1）试说明：DF∥BC；（2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．【分析】（1）由∠AFD＝∠1，AC∥DE，根据平行线的性质可得到∠AFD＝∠C，即可根据平行线的判定定理得出DF∥BC；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可求出∠B的度数．【解答】解：（1）∵AC∥DE，∴∠C＝∠1，又∵∠AFD＝∠1，∴∠C＝∠AFD，∴DF∥BC．（2）∵∠1＝70°，DF∥BC，∴∠EDF＝∠1＝70°，又∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠EDF＝70°，∵DF∥BC，∴∠B＝∠ADF＝70°．故∠B的度数为70°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质和判定是解此题的关键．20．（2021春•海陵区校级月考）一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2018°，求这个外角的度数和它的边数．【分析】设这个多边形边数是n，表示出一个外角的范围，求出不等式的解集确定出正整数n的值，即为多边形的边数，继而求出这个外角即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，n为正整数，根据题意得：0°＜2018°﹣（n﹣2）×180°＜180°，解得：＜n＜，即n＝13，这个外角为2018°﹣（13﹣2）×180°＝38°．【点评】此题考查了多边形内角与外角，熟练掌握内角和定理和外角和定理是解本题的关键．21．（2021秋•金塔县期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AC与DE相交于点G，∠A＝∠D，AC∥DF，求证：AB∥DE．【分析】由平行线的性质得出∠D＝∠EGC，由已知条件得出∠A＝∠EGC，由平行线的判定方法即可得出结论．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠D＝∠EGC，又∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠EGC，∴AB∥DE．【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证出∠A＝∠EGC是解决问题的关键．22．（2021春•辛集市期末）如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（　对顶角相等　）．∴∠3+　∠FHD　＝180°（等量代换）．∴FG∥BD（　同旁内角互补，两直线平行　）．∴∠1＝　∠ABD　（　两直线平行，同位角相等　）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝　∠2　（　角平分线的定义　）．∴∠1＝∠2（　等量代换　）．【分析】求出∠3+∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠2即可．【解答】解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），∴∠3+∠FHD＝180°（等量代换），∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠2（角平分线的性质），∴∠1＝∠2（等量代换），故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．23．（2021秋•昌吉州期中）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．【分析】（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm；（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm．【解答】解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，即BE＝AE+AC，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴10﹣AE＝AE+6，∴AE＝2cm．（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．故AE长为1cm或3cm．【点评】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．24．（2021春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D是AB上的一点，且满足∠DEB＝∠DBE．（1）DE与BC平行吗？请说明理由；（2）若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）先根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．【解答】解：（1）DE∥BC．理由如下：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC；（2）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣45°﹣50°＝85°．∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝42.5°，∴∠DEB＝∠EBC＝42.5°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定，准确识别图形是解题的关键．25．（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．（1）当∠B＝72°时；①若∠CPB＝54°，则△ACP　是　“倍角三角形”（填“是”或“否”）；②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．【分析】（1）①求出△APC中各个内角的度数，即可判断．②由∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”，推出△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，由此即可解决问题．（2）首先确定△ABC是“倍角三角形”时，有两种情形，45°的直角三角形，30°的直角三角形，再分类讨论解决问题即可．【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝72°，∴∠A＝90°﹣72°＝18°，∵∠CPB＝54°，∴∠A+∠ACP＝54°，∴∠ACP＝36°，∴∠ACP＝2∠A，∴△ACP是“倍角三角形”，故答案为：是．②∵∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”，∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，∴∠BCP＝36°或72°，∴∠ACP＝54°或18°．（2）如图2﹣1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝45°．如图2﹣2中，当∠A＝60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝60°．如图2﹣3中，当∠A＝60°，∠BPC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝50°．如图2﹣4中，当∠B＝60°，∠APC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝40°．如图2﹣5中，当∠B＝60°，∠APC＝90°时，满足条件，此时∠BCP＝30°．综上所述，满足条件的∠BCP的值为30°或40°或45°或50°或60°．【点评】本题考查三角形内角和定理，“倍角三角形”的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．26．（2021春•高邮市校级期末）直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　140°　；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系，并说明理由；（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2＝∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求得出答案即可；（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，∴∠1+∠2＝∠C+∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1+∠2＝140°；（2）由（1）得出：∠α+∠C＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝90°+α．（3）如图，分三种情况：在BA延长线上取点P，连接EP、DP，如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解决问题的关键．27．（2021春•高青县期末）如图，AC∥FE，∠1+∠3＝180°．（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数．【分析】（1）由已知可证得∠2＝∠3，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠4；（2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）∠FAB＝∠4，理由如下：∵AC∥EF，∴∠1+∠2＝180°，又∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝∠3，∴FA∥CD，∴∠FAB＝∠4；（2）∵AC平分∠FAB，∴∠2＝∠CAD，∵∠2＝∠3，∴∠CAD＝∠3，∵∠4＝∠3+∠CAD，∴，∵EF⊥BE，AC∥EF，∴AC⊥BE，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．28．（2021春•涟水县期末）如图，将方格纸中的△ABC（顶点A、B、C为小方格的顶点）向右平移6个单位长度，得到△A1B1C1．（1）画出平移后的图形；（2）线段AA1，BB1的位置关系是　平行　；（3）如果每个方格的边长是1，那么△ABC的面积是　4　．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）利用平移的性质判断即可．（3）两条分割法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）观察图象可知：AA1∥B1B1．故答案为：平行．（3）S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4故答案为：4．【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．（2021春•满洲里市期末）完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD证明：∵AB∥EF∴∠APE＝　∠PEF　（　两直线平行，内错角相等　）∵EP⊥EQ∴∠PEQ＝　90°　（　垂直的定义　）即∠QEF+∠PEF＝90°∴∠APE+∠QEF＝90°∵∠EQC+∠APE＝90°∴∠EQC＝　∠QEF　∴EF∥　CD　（　内错角相等，两直线平行　）∴AB∥CD（　平行于同一直线的两直线互相平行　）【分析】根据平行线的性质得到∠APE＝∠PEF，根据余角的性质得到∠EQC＝∠QEF根据平行线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥EF∴∠APE＝∠PEF（两直线平行，内错角相等）∵EP⊥EQ∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）即∠QEF+∠PEF＝90°∴∠APE+∠QEF＝90°∵∠EQC+∠APE＝90°∴∠EQC＝∠QEF∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），故答案为：∠PEF，两直线平行，内错角相等，90°，∠QEF，内错角相等，两直线平行，CD，平行于同一直线的两直线互相平行．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．30．（2018春•张家港市期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是　20　°，当DP⊥OE时，x＝　70　；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．【解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，∴∠BOE＝20°，∵DE∥OB，∴∠DEO＝∠BOE＝20°；∵∠DOE＝∠DEO＝20°，∴DO＝DE，∠ODE＝140°，当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，即x＝70，故答案为：20，70；②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，∴∠EDF＝80°，又∵∠ODE＝140°，∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，∴x＝60；（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．分两种情况：①如图2，若DP在DE左侧，∵DE⊥OA，∴∠EDF＝90°﹣x°，∵∠AOC＝20°，∴∠EFD＝20°+x°，当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），解得x＝68；②如图3，若DP在DE右侧，∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），解得x＝104；综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．