初中数学苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）综合与测试学案

第六讲：平面图形的认识（二）复习(1)

一、主要内容     

1、平行线的判定与性质            2、图形的平移     

二、基本概念

1、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

1. 如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3=　   　°．

【答案】110．

【解析】解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，

∴∠1=∠MEN，∴AB∥CD，∴∠3+∠BMN=180°，

∵MN平分∠EMB，

∴∠BMN=，

∴∠3=180°﹣70°=110°．

【总结升华】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.

【答案】解：平行，理由如下：

因为∠ADE＝∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），

所以∠1＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）.

又因为∠1＝∠2（已知），所以∠BCD＝∠2.

所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.

2.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．

【答案与解析】∠AED＝∠ACB，理由如下：

∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,∴∠2＝∠4.

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.∴∠5＝∠3.

又∠3＝∠B,∴∠5＝∠B.

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.

∴∠AED＝∠ACB(两直线平行,同位角相等).

【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.

2、图形的平移

1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．

要点诠释：决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离．

2.平移的性质：

 (1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．

（2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等．

 (3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．

3.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．

【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离．

【答案与解析】解：如图(2)，线段CD有两种情况：(1)当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；(2)当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求．

【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况：即点A平移到点C或点B平移到点C．

举一反三：【变式】如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7

【答案】A．

三、课堂讲解                            

1. 如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）

【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．

【答案与解析】解：如图：

（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，

∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．

（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；

（4）∵AB∥CD，∴∠POB=∠PCD，

∵∠POB是△AOP的外角，∴∠APC+∠PAB=∠POB，

∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．

【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．

2、已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是(   ).

A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDE

B．∠BED＝∠ABE-∠CDE

C．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDE

D．∠BED＝∠CDE-∠ABE

【答案】C  （提示：过点E作EF∥AB）

3、如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF.

【答案与解析】

证明：如图，过点C做CK∥FG，并延长GF、CD交于点H，

∵ CD∥EF （已知），∴ ∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）.

又∵ CK∥FG，

∴ ∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）.

∴ ∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）.

∵ ∠1＋∠2＝∠ABC（已知），

∴ ∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）.

∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）.

∴ AB∥GF（平行的传递性）.

【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.

4、如图所示，把边长为2的正方形的局部进行图①～④的变换，组成图⑤，则图⑤的面积是(    )

A．18    B．16    C．12   D．8

【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤面积可求．

【答案】B

【解析】图①到图②是将一个等腰三角形由下方平移到上方．图③到图④是将右边的小长方形平移到左侧，所以图④中阴影部分的面积与边长为2的正方形的面积是相等的，图⑤是由4个图④组成的，所以图⑤的面积是4×4＝16．

【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．平移的性质是平移前后，图形的形状、大小不变.

5、如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，写出图中与△ABD面积相等的三角形。

【答案】解：由DC∥AB得，S△ABD＝S△ABC，

由AE∥BD得，S△ABD＝S△EBD,

由ED∥BC得，S△EBD＝S△EDC，所以S△ABD＝S△EDC。

【达标检测】

一、选择题

1．如图所示是同位角关系的是(    )．

   A．∠3和∠4    B．∠1和∠4    C．∠2和∠4    D．不存在

2．∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是(    )．

    A．∠1＝∠2    B．∠1＞∠2    C．∠1＜∠2    D．无法确定

3．如图所示中，不能通过基本图形平移得到的是(    )．

4．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于(    )．

    A．75°    B．105°    C．45°    D．135°

5．如果在同一平面内有两个图形甲和乙，通过平移，总可以完全重合在一起(不论甲和乙的初始位置如何)，则甲和乙是(    )．

    A．两个点                       B．两个半径相等的圆

    C．两个点或两个半径相等的圆     D．两个能够完合重合的多边形

二、填空题

6. 如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．

7．如图所示，已知BC∥DE，则∠ACB＋∠AOE＝         ．

8．如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=　  　度．

9．如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD＝25°，则∠BOD＝        ，∠AOC＝        ，∠BOC＝        ．

三、解答题

10．如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．

【答案与解析】

一、选择题

1.B

2.D

3.D

4.C；

5.C 

二、填空题

6.50°

7.180°；

8.45

9.115°，115°，65°；

三、解答题

10.解：因为∠2＝∠3(对顶角相等)，∠3＝40°(已知)，

所以∠2＝40°(等量代换)．又因为∠1+∠2＝90°(已知)，

所以∠1＝90°-∠2＝50°．