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苏科版第7章 平面图形的认识（二）综合与测试当堂检测题
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这是一份苏科版第7章 平面图形的认识（二）综合与测试当堂检测题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
7章：平面图形的认识(二) 章末复习(1)-苏科版七年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、如图，图中Ð1与Ð2是同位角的是（ ）
A.（2）（3） B.（1）（2）（3） C.（2）（3）（4） D.（3）（4）
2、在△ABC中，画出边AC上的高，下面四幅图中画法正确的是( )
A B C D
3、如图，在∆ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（ ）
A.ÐB与Ð2是同旁内角 B.ÐA与Ð1是同位角 C.Ð3与ÐA是同旁内角 D.Ð3与Ð4是内错角
（3题） （4题） （5题）
4、如图，给出下列说法：①ÐB和Ð1是同位角； ②Ð1和Ð3是对顶角； ③Ð2和Ð4是内错角；
④ÐA和ÐBCD是同旁内角． 其中说法正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3且∠2＝∠4
C．∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90° D．∠1+∠2＝90°
6、已知：如图，∠1＝110°，∠2＝70°，求证：a∥b．下面为嘉琪同学的证明过程：
解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（①）， ∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，∴∠2+∠3＝180°， ∴a∥b（②）．
其中①②为解题依据，则下列有关描述正确的是（ ）
A．①代表内错角相等 B．②代表同位角相等，两直线平行
C．①代表对顶角相等 D．②代表同旁内角相等，两直线平行
（6题） （8题）
7、在下列图案中，不能用平移得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
8、如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．DE是△ABC的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC D．DE是△BCD的中线
9、如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
（9题） （10题） （11题）
10、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
11、如图，已知AB∥CD，∠1＝113°，∠2＝63°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
12、如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（ ）
A．180°+∠1﹣∠2 B．∠1+∠2 C．∠2﹣∠1 D．180°+∠2﹣2∠1
（12题） （13题） （14题）
二、填空题
13、如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
14、如图，若∠1＝70°，∠2＝34°，∠3＝36°，则直线a与直线b的位置关系为 ．
15、如图，下列能判定AB∥CD的条件有 个．
①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．
（15题） （16题） （17题）
16、如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 ．（填序号）
17、23、将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；
④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ．（填序号）
18、如图，将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF，其中点E、B、F、C在同一条直线上，如果三角形ABC的周长是12cm，那么四边形ACED的周长是 cm．
（18题） （19题） （20题）
19、如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点.设△ABC，△ADF，
△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝ .
20、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．
21、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 度．
（21题） （22题）
22、如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m．
23、如图，△ABC中，点D、E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是 ．
（23题） （24题）
24、如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝ ．
三、解答题
25、完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
26、如图，∠ACB＝90°，∠A＝35°，∠BCD＝55°．试说明：AB∥CD．
27、如图，点F、E分别在AB、CD上，AE，DF分别与BC相交于H、G，∠A＝∠D，∠1+∠2＝180°，试说明：AB∥CD．
28、如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C．求证：DE∥BC．
29、如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．
证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（ ）
∴AD∥BC（ ）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（ ）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（ ）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（ ）
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD
∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°
∵AB∥EF（ ）
∴∠BAF＝∠F（ ）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（ ）
30、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，
求∠DAE和∠BOA的度数．
31、将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？
并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，
则∠A′与∠2之间的关系是 ．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？
并说明理由．
32、在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，若∠BAC=60°，则∠BDC= °，∠BEC= °；
（2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数．
7章：平面图形的认识(二) 章末复习(1)-苏科版七年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、如图，图中Ð1与Ð2是同位角的是（ B ）
A.（2）（3） B.（1）（2）（3） C.（2）（3）（4） D.（3）（4）
2、在△ABC中，画出边AC上的高，下面四幅图中画法正确的是(C )
A B C D
3、如图，在∆ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（ B ）
A.ÐB与Ð2是同旁内角 B.ÐA与Ð1是同位角 C.Ð3与ÐA是同旁内角 D.Ð3与Ð4是内错角
4、如图，给出下列说法：①ÐB和Ð1是同位角； ②Ð1和Ð3是对顶角； ③Ð2和Ð4是内错角；
④ÐA和ÐBCD是同旁内角． 其中说法正确的有（B ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3且∠2＝∠4
C．∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90° D．∠1+∠2＝90°
解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．
B、由∠1＝∠3，∠2＝∠4，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．
C、由∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．
D、由∠1+∠2＝90°无法推出∠ABC＝∠DCB，故本选项符合题意．
故选：D．
6、已知：如图，∠1＝110°，∠2＝70°，求证：a∥b．下面为嘉琪同学的证明过程：
解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（①）， ∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，∴∠2+∠3＝180°， ∴a∥b（②）．
其中①②为解题依据，则下列有关描述正确的是（ ）
A．①代表内错角相等 B．②代表同位角相等，两直线平行
C．①代表对顶角相等 D．②代表同旁内角相等，两直线平行
【解答】解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（对顶角相等），
∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：C．
7、在下列图案中，不能用平移得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、两个图形的阴影部分不同，不能用平移得到，符合题意；
B、可由一个或2个简单图形平移得到，不符合题意；
C、可由一个或2个简单图形平移得到，不符合题意；
D、可由上下两个图形向右平移得到，不符合题意；
故选：A．
8、如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．DE是△ABC的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC D．DE是△BCD的中线
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，不是中线；BD是△ABC的中线；AD=DC，BE=EC；DE是△BCD的中线；
故选：A．
9、如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
10、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A=50°，∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°，
∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°， 整理得∠ACD﹣∠ABD=60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC， ∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD，
即∠P=50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）=20°． 故选：B．
11、如图，已知AB∥CD，∠1＝113°，∠2＝63°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠FGD＝113°，
∴∠C＝∠FGD﹣∠2＝113°﹣63°＝50°，故选：C．
12、如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（ ）
A．180°+∠1﹣∠2 B．∠1+∠2 C．∠2﹣∠1 D．180°+∠2﹣2∠1
解：过点C作CF∥AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，
∴∠BCF＝∠1①，∠2+∠DCF＝180°②，
∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2＝∠1+180°，即∠BCD＝180°+∠1﹣∠2．
故选：A．
二、填空题
13、如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
14、如图，若∠1＝70°，∠2＝34°，∠3＝36°，则直线a与直线b的位置关系为 ．
【解答】解：∵∠4＝∠2+∠3，∠2＝34°，∠3＝36°，∴∠4＝34+36°＝70°，
∵∠1＝70°，∴∠4＝∠1，∴a∥b．
故答案为a∥b．
15、如图，下列能判定AB∥CD的条件有 个．
①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．
解：（1）∵∠B+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（2）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（3）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本小题正确；
（4）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本小题不符合题意；
故答案为：1．
16、如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 ．（填序号）
解：①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
④中，∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：③④．
17、23、将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；
④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ．（填序号）
解：①∵∠1＝25.5°+∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30'，所以，m∥n；
②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2＝2∠1，
不能判断直线m∥n；
③∠1+∠2＝90°，不能判断直线m∥n；
④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n；
⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判断直线m∥n；
故答案为：①⑤
18、如图，将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF，其中点E、B、F、C在同一条直线上，如果三角形ABC的周长是12cm，那么四边形ACED的周长是 cm．
【解答】解：∵将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF，
∴AD＝EB＝3cm，△ABC≌△DEF，则ED＝AB，EF＝BC，DF＝AC，
∵三角形ABC的周长是12cm，∴△DEF的周长是12cm，
∴DE+DF+EF＝DE+AC+BC＝12cm，
∴四边形ACED的周长是：AD+BE+BC+AC+DE＝3+3+12＝18（cm）．
故答案为：18．
19、如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点.设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝2 .
20、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1﹣∠2=40°﹣20°=20°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣40°﹣20°=30°．
故答案为30°．
21、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 度．
【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．
22、如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 240 m．
【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，
则一共走了24×10=240米． 故答案为：240．
23、如图，△ABC中，点D、E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是 ．
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴S△AEC＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△AEC＝S△ABC＝×8＝2． 故答案为：2．
24、如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝ ．
解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠1+∠3＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，
故答案为：45°．
三、解答题
25、完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知， 角平分线的定义， 2∠β， 角平分线的定义，
等量代换， 等量代换， 同旁内角互补两直线平行．
26、如图，∠ACB＝90°，∠A＝35°，∠BCD＝55°．试说明：AB∥CD．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠B＝55°，
∵∠BCD＝55°，
∴∠B＝∠BCD，
∴CD∥AB．
27、如图，点F、E分别在AB、CD上，AE，DF分别与BC相交于H、G，∠A＝∠D，∠1+∠2＝180°，试说明：AB∥CD．
解：如图，∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，∴∠1＝∠3，∴AE∥DF，∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠BFD，∴AB∥CD．
28、如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C．求证：DE∥BC．
【解答】解：∵∠1+∠DHE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠DHE＝∠2，
∴DH∥AC，∴∠3＝∠AED，
又∵∠3＝∠C，∴∠C＝∠AED，∴DE∥BC．
29、如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．
证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（ ）
∴AD∥BC（ ）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（ ）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（ ）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（ ）
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD
∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°
∵AB∥EF（ ）
∴∠BAF＝∠F（ ）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（ ）
证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（同角的补角相等）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（角平分线定义）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
BE平分∠ABC，AE平分∠BAD
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD
∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°
∵AB∥EF（己证）
∴∠BAF＝∠F（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（等量代换）
30、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，
求∠DAE和∠BOA的度数．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
31、将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？
并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，
则∠A′与∠2之间的关系是 ．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？
并说明理由．
【解答】解：（1）图1中，2∠A=∠1+∠2，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A，∠1+∠2=180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A；
（2）2∠A=∠2，如图∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案为：2∠A=∠2；
（3）如图2，2∠A=∠2﹣∠1，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A=∠A′，
∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1， 即2∠A=∠2﹣∠1．
32、在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，若∠BAC=60°，则∠BDC= °，∠BEC= °；
（2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，
又∵点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴△BCD中，∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣60°=120°；
∵∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，
∴∠EBC+∠ECB=（∠MBC+∠NCB）=（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）=（360°﹣120°）=80°，
∴△BCE中，∠E=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣80°=100°；
故答案为：120，100；
（2）由（1）可得，∠BDC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，
∴∠FDC=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A，
∵∠FCG是△BCF的外角，∠ACG是△ABC的外角，∴∠F=∠FCG﹣∠FBC，∠A=∠ACG﹣∠ABC，
又∵BF平分∠ABC，FC平分∠ACG，∴∠FBC=∠ABC，∠FCG=∠ACG，
∴∠F=∠FCG﹣∠FBC=∠ACG﹣∠ABC=（∠ACG﹣∠ABC）=∠A，
∵DC平分∠ACB，FC平分∠ACG，∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠BCG=90°，
在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则
①当∠FDC=4∠F时，90°﹣∠A=4×∠A，解得∠A=36°；
②当∠F=4∠FDC时，∠A=4×（90°﹣∠A），解得∠A=144°；
③当∠DCF=4∠FDC时，90°=4×（90°﹣∠A），解得∠A=135°；
④当∠DCF=4∠F时，90°=4×∠A，解得∠A=45°；
综上所述，锐角△ABC中∠BAC的度数为36°或45°．
7章：平面图形的认识(二) 章末复习(1)-苏科版七年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、如图，图中Ð1与Ð2是同位角的是（ ）
A.（2）（3） B.（1）（2）（3） C.（2）（3）（4） D.（3）（4）
2、在△ABC中，画出边AC上的高，下面四幅图中画法正确的是( )
A B C D
3、如图，在∆ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（ ）
A.ÐB与Ð2是同旁内角 B.ÐA与Ð1是同位角 C.Ð3与ÐA是同旁内角 D.Ð3与Ð4是内错角
（3题） （4题） （5题）
4、如图，给出下列说法：①ÐB和Ð1是同位角； ②Ð1和Ð3是对顶角； ③Ð2和Ð4是内错角；
④ÐA和ÐBCD是同旁内角． 其中说法正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3且∠2＝∠4
C．∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90° D．∠1+∠2＝90°
6、已知：如图，∠1＝110°，∠2＝70°，求证：a∥b．下面为嘉琪同学的证明过程：
解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（①）， ∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，∴∠2+∠3＝180°， ∴a∥b（②）．
其中①②为解题依据，则下列有关描述正确的是（ ）
A．①代表内错角相等 B．②代表同位角相等，两直线平行
C．①代表对顶角相等 D．②代表同旁内角相等，两直线平行
（6题） （8题）
7、在下列图案中，不能用平移得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
8、如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．DE是△ABC的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC D．DE是△BCD的中线
9、如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
（9题） （10题） （11题）
10、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
11、如图，已知AB∥CD，∠1＝113°，∠2＝63°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
12、如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（ ）
A．180°+∠1﹣∠2 B．∠1+∠2 C．∠2﹣∠1 D．180°+∠2﹣2∠1
（12题） （13题） （14题）
二、填空题
13、如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
14、如图，若∠1＝70°，∠2＝34°，∠3＝36°，则直线a与直线b的位置关系为 ．
15、如图，下列能判定AB∥CD的条件有 个．
①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．
（15题） （16题） （17题）
16、如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 ．（填序号）
17、23、将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；
④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ．（填序号）
18、如图，将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF，其中点E、B、F、C在同一条直线上，如果三角形ABC的周长是12cm，那么四边形ACED的周长是 cm．
（18题） （19题） （20题）
19、如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点.设△ABC，△ADF，
△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝ .
20、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．
21、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 度．
（21题） （22题）
22、如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m．
23、如图，△ABC中，点D、E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是 ．
（23题） （24题）
24、如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝ ．
三、解答题
25、完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
26、如图，∠ACB＝90°，∠A＝35°，∠BCD＝55°．试说明：AB∥CD．
27、如图，点F、E分别在AB、CD上，AE，DF分别与BC相交于H、G，∠A＝∠D，∠1+∠2＝180°，试说明：AB∥CD．
28、如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C．求证：DE∥BC．
29、如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．
证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（ ）
∴AD∥BC（ ）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（ ）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（ ）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（ ）
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD
∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°
∵AB∥EF（ ）
∴∠BAF＝∠F（ ）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（ ）
30、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，
求∠DAE和∠BOA的度数．
31、将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？
并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，
则∠A′与∠2之间的关系是 ．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？
并说明理由．
32、在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，若∠BAC=60°，则∠BDC= °，∠BEC= °；
（2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数．
7章：平面图形的认识(二) 章末复习(1)-苏科版七年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、如图，图中Ð1与Ð2是同位角的是（ B ）
A.（2）（3） B.（1）（2）（3） C.（2）（3）（4） D.（3）（4）
2、在△ABC中，画出边AC上的高，下面四幅图中画法正确的是(C )
A B C D
3、如图，在∆ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（ B ）
A.ÐB与Ð2是同旁内角 B.ÐA与Ð1是同位角 C.Ð3与ÐA是同旁内角 D.Ð3与Ð4是内错角
4、如图，给出下列说法：①ÐB和Ð1是同位角； ②Ð1和Ð3是对顶角； ③Ð2和Ð4是内错角；
④ÐA和ÐBCD是同旁内角． 其中说法正确的有（B ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3且∠2＝∠4
C．∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90° D．∠1+∠2＝90°
解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．
B、由∠1＝∠3，∠2＝∠4，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．
C、由∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．
D、由∠1+∠2＝90°无法推出∠ABC＝∠DCB，故本选项符合题意．
故选：D．
6、已知：如图，∠1＝110°，∠2＝70°，求证：a∥b．下面为嘉琪同学的证明过程：
解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（①）， ∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，∴∠2+∠3＝180°， ∴a∥b（②）．
其中①②为解题依据，则下列有关描述正确的是（ ）
A．①代表内错角相等 B．②代表同位角相等，两直线平行
C．①代表对顶角相等 D．②代表同旁内角相等，两直线平行
【解答】解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（对顶角相等），
∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：C．
7、在下列图案中，不能用平移得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、两个图形的阴影部分不同，不能用平移得到，符合题意；
B、可由一个或2个简单图形平移得到，不符合题意；
C、可由一个或2个简单图形平移得到，不符合题意；
D、可由上下两个图形向右平移得到，不符合题意；
故选：A．
8、如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．DE是△ABC的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC D．DE是△BCD的中线
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，不是中线；BD是△ABC的中线；AD=DC，BE=EC；DE是△BCD的中线；
故选：A．
9、如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
10、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A=50°，∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°，
∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°， 整理得∠ACD﹣∠ABD=60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC， ∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD，
即∠P=50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）=20°． 故选：B．
11、如图，已知AB∥CD，∠1＝113°，∠2＝63°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠FGD＝113°，
∴∠C＝∠FGD﹣∠2＝113°﹣63°＝50°，故选：C．
12、如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（ ）
A．180°+∠1﹣∠2 B．∠1+∠2 C．∠2﹣∠1 D．180°+∠2﹣2∠1
解：过点C作CF∥AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，
∴∠BCF＝∠1①，∠2+∠DCF＝180°②，
∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2＝∠1+180°，即∠BCD＝180°+∠1﹣∠2．
故选：A．
二、填空题
13、如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
14、如图，若∠1＝70°，∠2＝34°，∠3＝36°，则直线a与直线b的位置关系为 ．
【解答】解：∵∠4＝∠2+∠3，∠2＝34°，∠3＝36°，∴∠4＝34+36°＝70°，
∵∠1＝70°，∴∠4＝∠1，∴a∥b．
故答案为a∥b．
15、如图，下列能判定AB∥CD的条件有 个．
①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．
解：（1）∵∠B+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（2）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（3）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本小题正确；
（4）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本小题不符合题意；
故答案为：1．
16、如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 ．（填序号）
解：①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
④中，∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：③④．
17、23、将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；
④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ．（填序号）
解：①∵∠1＝25.5°+∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30'，所以，m∥n；
②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2＝2∠1，
不能判断直线m∥n；
③∠1+∠2＝90°，不能判断直线m∥n；
④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n；
⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判断直线m∥n；
故答案为：①⑤
18、如图，将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF，其中点E、B、F、C在同一条直线上，如果三角形ABC的周长是12cm，那么四边形ACED的周长是 cm．
【解答】解：∵将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF，
∴AD＝EB＝3cm，△ABC≌△DEF，则ED＝AB，EF＝BC，DF＝AC，
∵三角形ABC的周长是12cm，∴△DEF的周长是12cm，
∴DE+DF+EF＝DE+AC+BC＝12cm，
∴四边形ACED的周长是：AD+BE+BC+AC+DE＝3+3+12＝18（cm）．
故答案为：18．
19、如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点.设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝2 .
20、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1﹣∠2=40°﹣20°=20°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣40°﹣20°=30°．
故答案为30°．
21、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 度．
【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．
22、如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 240 m．
【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，
则一共走了24×10=240米． 故答案为：240．
23、如图，△ABC中，点D、E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是 ．
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴S△AEC＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△AEC＝S△ABC＝×8＝2． 故答案为：2．
24、如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝ ．
解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠1+∠3＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，
故答案为：45°．
三、解答题
25、完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知， 角平分线的定义， 2∠β， 角平分线的定义，
等量代换， 等量代换， 同旁内角互补两直线平行．
26、如图，∠ACB＝90°，∠A＝35°，∠BCD＝55°．试说明：AB∥CD．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠B＝55°，
∵∠BCD＝55°，
∴∠B＝∠BCD，
∴CD∥AB．
27、如图，点F、E分别在AB、CD上，AE，DF分别与BC相交于H、G，∠A＝∠D，∠1+∠2＝180°，试说明：AB∥CD．
解：如图，∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，∴∠1＝∠3，∴AE∥DF，∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠BFD，∴AB∥CD．
28、如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C．求证：DE∥BC．
【解答】解：∵∠1+∠DHE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠DHE＝∠2，
∴DH∥AC，∴∠3＝∠AED，
又∵∠3＝∠C，∴∠C＝∠AED，∴DE∥BC．
29、如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．
证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（ ）
∴AD∥BC（ ）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（ ）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（ ）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（ ）
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD
∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°
∵AB∥EF（ ）
∴∠BAF＝∠F（ ）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（ ）
证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（同角的补角相等）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（角平分线定义）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
BE平分∠ABC，AE平分∠BAD
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD
∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°
∵AB∥EF（己证）
∴∠BAF＝∠F（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（等量代换）
30、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，
求∠DAE和∠BOA的度数．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
31、将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？
并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，
则∠A′与∠2之间的关系是 ．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？
并说明理由．
【解答】解：（1）图1中，2∠A=∠1+∠2，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A，∠1+∠2=180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A；
（2）2∠A=∠2，如图∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案为：2∠A=∠2；
（3）如图2，2∠A=∠2﹣∠1，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A=∠A′，
∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1， 即2∠A=∠2﹣∠1．
32、在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，若∠BAC=60°，则∠BDC= °，∠BEC= °；
（2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，
又∵点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴△BCD中，∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣60°=120°；
∵∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，
∴∠EBC+∠ECB=（∠MBC+∠NCB）=（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）=（360°﹣120°）=80°，
∴△BCE中，∠E=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣80°=100°；
故答案为：120，100；
（2）由（1）可得，∠BDC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，
∴∠FDC=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A，
∵∠FCG是△BCF的外角，∠ACG是△ABC的外角，∴∠F=∠FCG﹣∠FBC，∠A=∠ACG﹣∠ABC，
又∵BF平分∠ABC，FC平分∠ACG，∴∠FBC=∠ABC，∠FCG=∠ACG，
∴∠F=∠FCG﹣∠FBC=∠ACG﹣∠ABC=（∠ACG﹣∠ABC）=∠A，
∵DC平分∠ACB，FC平分∠ACG，∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠BCG=90°，
在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则
①当∠FDC=4∠F时，90°﹣∠A=4×∠A，解得∠A=36°；
②当∠F=4∠FDC时，∠A=4×（90°﹣∠A），解得∠A=144°；
③当∠DCF=4∠FDC时，90°=4×（90°﹣∠A），解得∠A=135°；
④当∠DCF=4∠F时，90°=4×∠A，解得∠A=45°；
综上所述，锐角△ABC中∠BAC的度数为36°或45°．
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