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    试卷 第7章平面图形的认识(二) 章末复习(1)-苏科版七年级数学下册培优训练(机构)
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    苏科版第7章 平面图形的认识(二)综合与测试当堂检测题

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    这是一份苏科版第7章 平面图形的认识(二)综合与测试当堂检测题,共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    7章:平面图形的认识(二) 章末复习(1)-苏科版七年级数学下册 培优训练
    一、选择题
    1、如图,图中Ð1与Ð2是同位角的是( )

    A.(2)(3) B.(1)(2)(3) C.(2)(3)(4) D.(3)(4)
    2、在△ABC中,画出边AC上的高,下面四幅图中画法正确的是( )

    A      B       C      D
    3、如图,在∆ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,画射线ED.下列说法错误的是( )
    A.ÐB与Ð2是同旁内角 B.ÐA与Ð1是同位角 C.Ð3与ÐA是同旁内角 D.Ð3与Ð4是内错角

    (3题) (4题) (5题)
    4、如图,给出下列说法:①ÐB和Ð1是同位角; ②Ð1和Ð3是对顶角; ③Ð2和Ð4是内错角;
    ④ÐA和ÐBCD是同旁内角. 其中说法正确的有( )
    A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
    5、如图,若∠3=∠4,则下列条件中,不能判定AB∥CD的是(  )
    A.∠1=∠2 B.∠1=∠3且∠2=∠4
    C.∠1+∠3=90°且∠2+∠4=90° D.∠1+∠2=90°
    6、已知:如图,∠1=110°,∠2=70°,求证:a∥b.下面为嘉琪同学的证明过程:
    解:∵∠1=110°,∠3=∠1(①), ∴∠3=110°,
    又∵∠2=70°,∴∠2+∠3=180°, ∴a∥b(②).
    其中①②为解题依据,则下列有关描述正确的是(  )
    A.①代表内错角相等 B.②代表同位角相等,两直线平行
    C.①代表对顶角相等 D.②代表同旁内角相等,两直线平行

    (6题) (8题)
    7、在下列图案中,不能用平移得到的图案是(  )
    A. B. C. D.
    8、如图,D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点,则下列说法不正确的是(  )
    A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
    C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线


    9、如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=(  )
    A.75° B.80° C.85° D.90°

    (9题) (10题) (11题)
    10、如图,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为(  )
    A.15° B.20° C.25° D.30°
    11、如图,已知AB∥CD,∠1=113°,∠2=63°,则∠C的度数是(  )
    A.40° B.45° C.50° D.60°
    12、如图,AB∥DE,那么∠BCD=(  )
    A.180°+∠1﹣∠2 B.∠1+∠2 C.∠2﹣∠1 D.180°+∠2﹣2∠1

    (12题) (13题) (14题)
    二、填空题
    13、如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法,这样做的依据是   .
    14、如图,若∠1=70°,∠2=34°,∠3=36°,则直线a与直线b的位置关系为   .
    15、如图,下列能判定AB∥CD的条件有   个.
    ①∠B+∠BAD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠BAD=∠5.

    (15题) (16题) (17题)
    16、如图,点E是BA延长线上一点,在下列条件中:①∠1=∠3;②∠5=∠B;③∠1=∠4且AC平分∠DAB;④∠B+∠BCD=180°,能判定AB∥CD的有   .(填序号)
    17、23、将一块三角板ABC(∠BAC=90°,∠ABC=30°)按如图方式放置,使A,B两点分别落在直线m,n上.对于给出的四个条件:①∠1=25.5°,∠2=55°30';②∠2=2∠1;③∠1+∠2=90°;
    ④∠ACB=∠1+∠2;⑤∠ABC=∠2﹣∠1.能判断直线m∥n的有    .(填序号)
    18、如图,将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF,其中点E、B、F、C在同一条直线上,如果三角形ABC的周长是12cm,那么四边形ACED的周长是   cm.

    (18题) (19题) (20题)
    19、如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点.设△ABC,△ADF,
    △BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF= .
    20、如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=40°,∠2=20°,则∠B=   .


    21、将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为   度.

    (21题) (22题)
    22、如图,小亮从A点出发前10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了   m.
    23、如图,△ABC中,点D、E分别是BC,AD的中点,且△ABC的面积为8,则阴影部分的面积是   .

    (23题) (24题)
    24、如图,若AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BED=90°,则∠BFD=   .
    三、解答题
    25、完成下面的证明:如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,求证:AB∥CD.
    证明:∵BE平分∠ABD (    )
    ∴∠ABD=2∠α (    )
    ∵DE平分∠BDC(已知)
    ∵∠BDC=    (    )
    ∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β) (    )
    ∵∠α+∠β=90°(已知)
    ∴∠ABD+∠BDC=180°(    )
    ∴AB∥CD (    )
    26、如图,∠ACB=90°,∠A=35°,∠BCD=55°.试说明:AB∥CD.

    27、如图,点F、E分别在AB、CD上,AE,DF分别与BC相交于H、G,∠A=∠D,∠1+∠2=180°,试说明:AB∥CD.

    28、如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠C.求证:DE∥BC.

    29、如图:已知:∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC交CD的延长线于点E,AF平分∠BAD交DC的延长线于点F,若∠ABC=2∠E,则∠E+∠F=90°,完成下列推理过程.
    证明:∵∠ADE+∠BCF=180°,∠ADE+∠ADF=180°
    ∴∠ADF=∠BCF(    )
    ∴AD∥BC(    )
    ∵BE平分∠ABC
    ∴∠ABC=2∠ABE(    )
    又∵∠ABC=2∠E
    ∴∠ABE=∠E
    ∴AB∥EF(    )
    ∵AD∥BC
    ∴∠BAD+∠ABC=180°(    )
    ∵BE平分∠ABC,AF平分∠BAD
    ∴∠ABE=∠ABC,∠BAF=∠BAD
    ∴∠ABE+∠BAF=∠ABC+∠BAD=×180°=90°
    ∵AB∥EF(    )
    ∴∠BAF=∠F(    )
    ∵∠ABE=∠E
    ∴∠E+∠F=90°(    )
    30、如图,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°,∠C=60°,
    求∠DAE和∠BOA的度数.

    31、将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置.
    (1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1),∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系?
    并说明理由.
    (2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上,这时图1中的∠1变为0°角,
    则∠A′与∠2之间的关系是   .
    (3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2),这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系?
    并说明理由.



    32、在锐角△ABC中,点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点.
    (1)如图1,点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点,且∠EBC=∠MBC,∠ECB=∠NCB,若∠BAC=60°,则∠BDC=   °,∠BEC=   °;
    (2)如图2,锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F,在△DCF中,如果有一个角是另一个角的4倍,试求出∠BAC的度数.




    7章:平面图形的认识(二) 章末复习(1)-苏科版七年级数学下册 培优训练(答案)
    一、选择题
    1、如图,图中Ð1与Ð2是同位角的是( B )

    A.(2)(3) B.(1)(2)(3) C.(2)(3)(4) D.(3)(4)

    2、在△ABC中,画出边AC上的高,下面四幅图中画法正确的是(C )

    A      B       C      D
    3、如图,在∆ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,画射线ED.下列说法错误的是( B )
    A.ÐB与Ð2是同旁内角 B.ÐA与Ð1是同位角 C.Ð3与ÐA是同旁内角 D.Ð3与Ð4是内错角

    4、如图,给出下列说法:①ÐB和Ð1是同位角; ②Ð1和Ð3是对顶角; ③Ð2和Ð4是内错角;
    ④ÐA和ÐBCD是同旁内角. 其中说法正确的有(B )
    A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

    5、如图,若∠3=∠4,则下列条件中,不能判定AB∥CD的是(  )
    A.∠1=∠2 B.∠1=∠3且∠2=∠4
    C.∠1+∠3=90°且∠2+∠4=90° D.∠1+∠2=90°

    解:A、由∠1=∠2,∠3=∠4,可以推出∠ABC=∠DCB,推出AB∥CD,故本选项不符合题意.
    B、由∠1=∠3,∠2=∠4,可以推出∠ABC=∠DCB,推出AB∥CD,故本选项不符合题意.
    C、由∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,可以推出∠ABC=∠DCB,推出AB∥CD,故本选项不符合题意.
    D、由∠1+∠2=90°无法推出∠ABC=∠DCB,故本选项符合题意.
    故选:D.

    6、已知:如图,∠1=110°,∠2=70°,求证:a∥b.下面为嘉琪同学的证明过程:
    解:∵∠1=110°,∠3=∠1(①), ∴∠3=110°,
    又∵∠2=70°,∴∠2+∠3=180°, ∴a∥b(②).
    其中①②为解题依据,则下列有关描述正确的是(  )
    A.①代表内错角相等 B.②代表同位角相等,两直线平行
    C.①代表对顶角相等 D.②代表同旁内角相等,两直线平行

    【解答】解:∵∠1=110°,∠3=∠1(对顶角相等),
    ∴∠3=110°,
    又∵∠2=70°,
    ∴∠2+∠3=180°,
    ∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
    故选:C.

    7、在下列图案中,不能用平移得到的图案是(  )
    A. B. C. D.
    【解答】解:A、两个图形的阴影部分不同,不能用平移得到,符合题意;
    B、可由一个或2个简单图形平移得到,不符合题意;
    C、可由一个或2个简单图形平移得到,不符合题意;
    D、可由上下两个图形向右平移得到,不符合题意;
    故选:A.

    8、如图,D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点,则下列说法不正确的是(  )
    A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
    C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线

    【解答】解:∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点,
    ∴DE是△ABC的中位线,不是中线;BD是△ABC的中线;AD=DC,BE=EC;DE是△BCD的中线;
    故选:A.

    9、如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=(  )
    A.75° B.80° C.85° D.90°

    【解答】解:∵AD是BC边上的高,∠ABC=60°,∴∠BAD=30°,
    ∵∠BAC=50°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=25°,∴∠DAE=30°﹣25°=5°,
    ∵△ABC中,∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°,∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°,
    故选:A.


    10、如图,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为(  )
    A.15° B.20° C.25° D.30°

    【解答】解:延长DC,与AB交于点E.
    ∵∠ACD是△ACE的外角,∠A=50°,∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC.
    ∵∠AEC是△BDE的外角,∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°,
    ∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°, 整理得∠ACD﹣∠ABD=60°.
    设AC与BP相交于O,则∠AOB=∠POC, ∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD,
    即∠P=50°﹣(∠ACD﹣∠ABD)=20°. 故选:B.


    11、如图,已知AB∥CD,∠1=113°,∠2=63°,则∠C的度数是(  )
    A.40° B.45° C.50° D.60°

    解:∵AB∥CD,∴∠1=∠FGD=113°,
    ∴∠C=∠FGD﹣∠2=113°﹣63°=50°,故选:C.

    12、如图,AB∥DE,那么∠BCD=(  )
    A.180°+∠1﹣∠2 B.∠1+∠2 C.∠2﹣∠1 D.180°+∠2﹣2∠1

    解:过点C作CF∥AB,如图:∵AB∥DE,∴AB∥DE∥CF,
    ∴∠BCF=∠1①,∠2+∠DCF=180°②,
    ∴①+②得,∠BCF+∠DCF+∠2=∠1+180°,即∠BCD=180°+∠1﹣∠2.
    故选:A.


    二、填空题
    13、如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法,这样做的依据是   .

    【解答】解:由图形得,有两个相等的同位角存在,
    这样做的依据是:同位角相等,两直线平行.
    故答案为:同位角相等,两直线平行.

    14、如图,若∠1=70°,∠2=34°,∠3=36°,则直线a与直线b的位置关系为   .


    【解答】解:∵∠4=∠2+∠3,∠2=34°,∠3=36°,∴∠4=34+36°=70°,
    ∵∠1=70°,∴∠4=∠1,∴a∥b.
    故答案为a∥b.


    15、如图,下列能判定AB∥CD的条件有   个.
    ①∠B+∠BAD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠BAD=∠5.

    解:(1)∵∠B+∠BAD=180°,∴AD∥BC,故本小题不符合题意;
    (2)∵∠1=∠2,∴AD∥BC,故本小题不符合题意;
    (3)∵∠3=∠4,∴AB∥CD,故本小题正确;
    (4)∵∠B=∠5,∴AB∥CD,故本小题不符合题意;
    故答案为:1.

    16、如图,点E是BA延长线上一点,在下列条件中:①∠1=∠3;②∠5=∠B;③∠1=∠4且AC平分∠DAB;④∠B+∠BCD=180°,能判定AB∥CD的有   .(填序号)

    解:①中,∵∠1=∠3,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),不合题意;
    ②中,∵∠5=∠B,∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行),不合题意;
    ③中,∵∠1=∠4且AC平分∠DAB,∴∠2=∠4,∴AB∥CD,故此选项符合题意;
    ④中,∠B+∠BCD=180°,∴AB∥CD (同旁内角互补,两直线平行),故此选项符合题意;
    故答案为:③④.

    17、23、将一块三角板ABC(∠BAC=90°,∠ABC=30°)按如图方式放置,使A,B两点分别落在直线m,n上.对于给出的四个条件:①∠1=25.5°,∠2=55°30';②∠2=2∠1;③∠1+∠2=90°;
    ④∠ACB=∠1+∠2;⑤∠ABC=∠2﹣∠1.能判断直线m∥n的有    .(填序号)

    解:①∵∠1=25.5°+∠ABC=55.5°=∠2=55°30',所以,m∥n;
    ②没有指明∠1的度数,当∠1≠30°,∠2≠∠1+30°,不能判断直线m∥n,故∠2=2∠1,
    不能判断直线m∥n;
    ③∠1+∠2=90°,不能判断直线m∥n;
    ④∠ACB=∠1+∠2,不能判断直线m∥n;
    ⑤∠ABC=∠2﹣∠1,判断直线m∥n;
    故答案为:①⑤

    18、如图,将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF,其中点E、B、F、C在同一条直线上,如果三角形ABC的周长是12cm,那么四边形ACED的周长是   cm.

    【解答】解:∵将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF,
    ∴AD=EB=3cm,△ABC≌△DEF,则ED=AB,EF=BC,DF=AC,
    ∵三角形ABC的周长是12cm,∴△DEF的周长是12cm,
    ∴DE+DF+EF=DE+AC+BC=12cm,
    ∴四边形ACED的周长是:AD+BE+BC+AC+DE=3+3+12=18(cm).
    故答案为:18.

    19、如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点.设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=2 .



    20、如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=40°,∠2=20°,则∠B=   .

    【解答】解:∵AE平分∠BAC,
    ∴∠1=∠EAD+∠2,
    ∴∠EAD=∠1﹣∠2=40°﹣20°=20°,
    Rt△ABD中,∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣40°﹣20°=30°.
    故答案为30°.

    21、将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为   度.

    【解答】解:如图.∵∠3=60°,∠4=45°,∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°.故答案为:75.


    22、如图,小亮从A点出发前10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了 240 m.

    【解答】解:∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形,
    ∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24,
    则一共走了24×10=240米. 故答案为:240.

    23、如图,△ABC中,点D、E分别是BC,AD的中点,且△ABC的面积为8,则阴影部分的面积是   .

    解:∵D、E分别是BC,AD的中点,∴S△AEC=S△ACD,S△ACD=S△ABC,
    ∴S△AEC=S△ABC=×8=2. 故答案为:2.

    24、如图,若AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BED=90°,则∠BFD=   .

    解:∵AB∥CD,∴∠ABE=∠4,∠1=∠2,
    ∵∠BED=90°,∠BED=∠4+∠EDC,∴∠ABE+∠EDC=90°,
    ∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∴∠1+∠3=45°,
    ∵∠5=∠2+∠3,∴∠5=∠1+∠3=45°,即∠BFD=45°,
    故答案为:45°.

    三、解答题
    25、完成下面的证明:如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,求证:AB∥CD.

    证明:∵BE平分∠ABD (    )
    ∴∠ABD=2∠α (    )
    ∵DE平分∠BDC(已知)
    ∵∠BDC=    (    )
    ∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β) (    )
    ∵∠α+∠β=90°(已知)
    ∴∠ABD+∠BDC=180°(    )
    ∴AB∥CD (    )
    证明:BE平分∠ABD(已知),
    ∴∠ABD=2∠α(角平分线的定义).
    ∵DE平分∠BDC(已知),
    ∴∠BDC=2∠β (角平分线的定义)
    ∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)(等量代换)
    ∵∠α+∠β=90°(已知),
    ∴∠ABD+∠BDC=180°(等量代换).
    ∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
    故答案为:已知, 角平分线的定义, 2∠β, 角平分线的定义,
    等量代换, 等量代换, 同旁内角互补两直线平行.

    26、如图,∠ACB=90°,∠A=35°,∠BCD=55°.试说明:AB∥CD.

    解:∵∠ACB=90°,∠A=35°,
    ∴∠B=55°,
    ∵∠BCD=55°,
    ∴∠B=∠BCD,
    ∴CD∥AB.

    27、如图,点F、E分别在AB、CD上,AE,DF分别与BC相交于H、G,∠A=∠D,∠1+∠2=180°,试说明:AB∥CD.

    解:如图,∵∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,∴∠1=∠3,∴AE∥DF,∴∠A=∠DFB,
    ∵∠A=∠D,∴∠D=∠BFD,∴AB∥CD.



    28、如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠C.求证:DE∥BC.

    【解答】解:∵∠1+∠DHE=180°,∠1+∠2=180°,∴∠DHE=∠2,
    ∴DH∥AC,∴∠3=∠AED,
    又∵∠3=∠C,∴∠C=∠AED,∴DE∥BC.

    29、如图:已知:∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC交CD的延长线于点E,AF平分∠BAD交DC的延长线于点F,若∠ABC=2∠E,则∠E+∠F=90°,完成下列推理过程.
    证明:∵∠ADE+∠BCF=180°,∠ADE+∠ADF=180°
    ∴∠ADF=∠BCF(    )
    ∴AD∥BC(    )
    ∵BE平分∠ABC
    ∴∠ABC=2∠ABE(    )
    又∵∠ABC=2∠E
    ∴∠ABE=∠E
    ∴AB∥EF(    )
    ∵AD∥BC
    ∴∠BAD+∠ABC=180°(    )
    ∵BE平分∠ABC,AF平分∠BAD
    ∴∠ABE=∠ABC,∠BAF=∠BAD
    ∴∠ABE+∠BAF=∠ABC+∠BAD=×180°=90°
    ∵AB∥EF(    )
    ∴∠BAF=∠F(    )
    ∵∠ABE=∠E
    ∴∠E+∠F=90°(    )

    证明:∵∠ADE+∠BCF=180°,∠ADE+∠ADF=180°
    ∴∠ADF=∠BCF(同角的补角相等)
    ∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
    ∵BE平分∠ABC
    ∴∠ABC=2∠ABE(角平分线定义)
    又∵∠ABC=2∠E
    ∴∠ABE=∠E
    ∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行)
    ∵AD∥BC
    ∴∠BAD+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补)
    BE平分∠ABC,AE平分∠BAD
    ∴∠ABE=∠ABC,∠BAF=∠BAD
    ∴∠ABE+∠BAF=∠ABC+∠BAD=×180°=90°
    ∵AB∥EF(己证)
    ∴∠BAF=∠F(两直线平行,内错角相等)
    ∵∠ABE=∠E
    ∴∠E+∠F=90°(等量代换)
    30、如图,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°,∠C=60°,
    求∠DAE和∠BOA的度数.

    解:∵∠CAB=50°,∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°,
    又∵AD是高,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°,
    ∵AE、BF是角平分线,∴∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=25°,
    ∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°,∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°,
    ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°,∴∠DAC=30°,∠BOA=120°.
    故∠DAE=5°,∠BOA=120°.

    31、将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置.
    (1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1),∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系?
    并说明理由.
    (2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上,这时图1中的∠1变为0°角,
    则∠A′与∠2之间的关系是   .
    (3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2),这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系?
    并说明理由.

    【解答】解:(1)图1中,2∠A=∠1+∠2,
    理由是:∵延DE折叠A和A′重合,∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,
    ∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A,∠1+∠2=180°+180°﹣2(∠AED+∠ADE),
    ∴∠1+∠2=360°﹣2(180°﹣∠A)=2∠A;
    (2)2∠A=∠2,如图∠2=∠A+∠EA′D=2∠A,故答案为:2∠A=∠2;
    (3)如图2,2∠A=∠2﹣∠1,
    理由是:∵延DE折叠A和A′重合,∴∠A=∠A′,
    ∵∠DME=∠A′+∠1,∠2=∠A+∠DME,∴∠2=∠A+∠A′+∠1, 即2∠A=∠2﹣∠1.


    32、在锐角△ABC中,点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点.
    (1)如图1,点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点,且∠EBC=∠MBC,∠ECB=∠NCB,若∠BAC=60°,则∠BDC=   °,∠BEC=   °;
    (2)如图2,锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F,在△DCF中,如果有一个角是另一个角的4倍,试求出∠BAC的度数.

    【解答】解:(1)∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,
    又∵点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点,∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,
    ∴△BCD中,∠D=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣60°=120°;
    ∵∠EBC=∠MBC,∠ECB=∠NCB,
    ∴∠EBC+∠ECB=(∠MBC+∠NCB)=(180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB)=(360°﹣120°)=80°,
    ∴△BCE中,∠E=180°﹣(∠EBC+∠ECB)=180°﹣80°=100°;
    故答案为:120,100;
    (2)由(1)可得,∠BDC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+∠A,
    ∴∠FDC=180°﹣(90°+∠A)=90°﹣∠A,
    ∵∠FCG是△BCF的外角,∠ACG是△ABC的外角,∴∠F=∠FCG﹣∠FBC,∠A=∠ACG﹣∠ABC,
    又∵BF平分∠ABC,FC平分∠ACG,∴∠FBC=∠ABC,∠FCG=∠ACG,
    ∴∠F=∠FCG﹣∠FBC=∠ACG﹣∠ABC=(∠ACG﹣∠ABC)=∠A,
    ∵DC平分∠ACB,FC平分∠ACG,∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠BCG=90°,
    在△DCF中,如果有一个角是另一个角的4倍,则
    ①当∠FDC=4∠F时,90°﹣∠A=4×∠A,解得∠A=36°;
    ②当∠F=4∠FDC时,∠A=4×(90°﹣∠A),解得∠A=144°;
    ③当∠DCF=4∠FDC时,90°=4×(90°﹣∠A),解得∠A=135°;
    ④当∠DCF=4∠F时,90°=4×∠A,解得∠A=45°;
    综上所述,锐角△ABC中∠BAC的度数为36°或45°.










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