第8章立体几何初步8.4.1平面学案含解析

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8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1　平面宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？问题：(1)生活中的平面有大小之分吗？(2)几何中的“平面”是怎样的？知识点1　平面1．一个平面能否把空间分成两部分？[提示]　因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分．1．下列说法正确的是________．(填序号)(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)两个平面相交的画法中，一个平面被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画；(4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面．(3)(4)　[(1)不正确．平面常用平行四边形表示，但不是平行四边形，平面是无限延展的．(2)不正确．平面图形与平面是两个不同的概念，平面图形具有大小、面积等属性，而平面则没有，平面是无限延展的，不可度量的．(3)正确．符合直观图画法的规则．(4)正确．三角形、圆、平行四边形都是平面图形，都可以表示平面．]知识点2　点、直线、平面之间的位置关系2．如图，点A________平面ABC；点A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．[答案]　∈　∉　⊂　BC知识点3　平面的基本事实及推论(1)基本事实：(2)基本事实1的推论．①　　　　　　②　　　　　　③推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图①)．推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．2．(1)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？(2)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？(3)如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？[提示]　(1)这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，本公理强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词，也就是存在性和唯一性这两个方面的，这个术语今后学习中会经常出现．(2)不能．要么没有公共点，要么有无数个公共点．(3)这些公共点落在同一条直线上．3．空间任意四点最多可以确定平面的个数是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4D　[空间任意四点最多可以确定平面的个数是4，例如空间任意四点为三棱锥A­BCD的顶点时，可以确定平面ABC，平面ABD，平面ACD，平面BCD．] 类型1　立体几何三种语言的相互转化【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解]　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．eq \o([跟进训练])1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．[解]　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②． 类型2　点、线共面问题【例2】　如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α．[解]　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β．∴直线a⊂β，点 P∈β．∵P∈b，b⊂α，∴P∈α．又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α．解决点线共面问题的基本方法eq \o([跟进训练])2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[解]　已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α． 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α．因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α．因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB⊂α．同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α．因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面． 类型3　点共线、线共点问题【例3】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β． 求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E．能否判断点E在平面A1BCD1内？[提示]　如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1．∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1．2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？[提示]　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．[证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．所以AB，CD必定相交于一点． 设AB∩CD＝M． 又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β． 所以M∈α∩β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共点(相交于一点)．本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．[证明]　若EF，GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事实3可得P∈BD．所以点P在直线BD上．1．证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点．(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．eq \o([跟进训练])3．三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝α，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．[证明]　如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ．∵直线a和b不平行，∴a，b必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b．∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c．故a，b，c三条直线必相交于同一点．1．下列空间图形画法错误的是(　　)A　　　　B　　　　 C　　　　DD　[遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．]2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈αB　[点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α．]3．下列说法正确的是(　　)A．镜面是一个平面B．一个平面长10 m，宽5 mC．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D．所有的平面都是无限延展的D　[镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D．]4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．3　[三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．]5．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．[证明]　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC．又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE．所以点P在直线DE上．回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何用符号表示空间点、线、面的位置关系？(2)3个基本事实的内容是什么？各有什么作用？(3)基本事实1的3个推论是什么？有什么作用？(4)如何证明点、线共面问题？(5)如何证明点共线、线共面问题？学 习 任 务核 心 素 养1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点)1．通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养．2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养．平面的描述性概念几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的画法水平放置常把平行四边形的一边画成横向竖直放置常把平行四边形的一边画成竖向记法(1)用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面AC，平面BD文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线l上A∈l点B在直线l外B∉l点A在平面α内A∈α点P在平面α外P∉α直线l在平面α内l⊂α直线l不在平面α内l⊄α平面α与β相交于直线lα∩β＝l基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l