第8章立体几何初步8.5.3平面与平面平行学案含解析

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8.5.3　平面与平面平行上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．问题：(1)展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？知识点1　平面与平面平行的判定定理1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． (　　)(2)如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行． (　　)(3)直线a∥平面β，直线b∥平面β，a⊂平面α，b⊂平面α⇒平面α∥平面β． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．在长方体ABCD­A′B′C′D′中，下列结论正确的是(　　)A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′D　[在长方体ABCD­A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行．]知识点2　平面与平面平行的性质定理3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝直线a，平面 β∩平面γ＝直线b⇒直线a∥直线b． (　　)(2)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β⇒a∥b． (　　)[答案]　(1)√　(2)×4．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是(　　)A．平行　　B．相交　　C．异面　　D．平行或异面A　[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n．]5．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定A　[由面面平行的性质定理易得．] 类型1　平面与平面平行的判定【例1】　(对接教材P140例4)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB．[解]　(1)连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1．而BD∥B1D1，∴BD∥EF．∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB．∴MN∥平面EFDB．连接MF．∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1．∴MF∥AD且MF＝AD．∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF．又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE．又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB．平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β．(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．eq \o([跟进训练])1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．[证明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP．又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC．∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD，∴MQ∥BC．又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC．又∵MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC． 类型2　平面与平面平行的性质【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？[提示]　必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.,以上三个条件缺一不可.[解]　因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD，所以eq \f(PA,AC)＝eq \f(PB,BD)，即eq \f(6,9)＝eq \f(8－BD,BD)，所以BD＝eq \f(24,5)．将本例改为：若点P在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长．[解]　与本例同理，可证AB∥CD．所以eq \f(PA,PC)＝eq \f(PB,PD)，即eq \f(6,3)＝eq \f(BD－8,8)，所以BD＝24．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤eq \o([跟进训练])2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G．求证：eq \f(AB,BC)＝eq \f(EF,FG)．[证明]　连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG．因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG．同理AE∥HF，所以eq \f(AB,BC)＝eq \f(AH,HG)＝eq \f(EF,FG)，所以eq \f(AB,BC)＝eq \f(EF,FG)． 类型3　平行关系的综合应用【例3】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：GH∥平面PAD．[证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO．∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH．又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD．1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质等．(2)基本事实4．(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2．证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．eq \o([跟进训练])3．如图，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．[证明]　由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH．∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．1．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是(　　)A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1E与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1GA　[根据面面平行的判定定理，可知A正确．]2．(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αCD　[对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD．]3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D　[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]4．用一个平面去截三棱柱ABC­A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H． 若A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(填序号) ①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．②⑤　[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)平面与平面平行的判定定理是什么？还有哪些方法可以判断平面与平面平行？(2)平面与平面平行的性质定理是什么？平面与平面平行的性质还有哪些？(3)如何实现线线平行、线面平行及面面平行的转化？学 习 任 务核 心 素 养1．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)1．通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养．文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行图形语言符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α作　用证明两个平面平行文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b作用证明两条直线平行