第8章立体几何初步8.3.2第2课时球的表面积和体积学案含解析

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第2课时　球的表面积和体积2019年9月28日，郎平率领的中国女排在日本大阪市中央体育馆以3∶0战胜塞尔维亚队，十战十胜，提前一轮锁定2019年女排世界杯赛冠军，第十次在世界“三大赛”登顶的同时，也为新中国成立70周年献上了厚礼．问题：奥运会中所使用的排球的体积和表面积是多少呢？知识点　球的表面积和体积1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝eq \f(4,3)πR3．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)球的体积之比等于半径比的平方． (　　)(2)球面展开一定是圆形的平面． (　　)(3)长方体既有外接球又有内切球． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　)A．eq \f(C2,4π)　　　B．eq \f(C2,2π)　　　C．eq \f(C2,π)　　　D．2πC2C　[由2πR＝C，得R＝eq \f(C,2π)，所以S球面＝4πR2＝eq \f(C2,π)．]3．表面积为4π的球的半径是________．1　[设球的半径为R，则S＝4πR2＝4π，得R＝1．]4．若一个球的体积为36π，则它的表面积为________．36π　[由eq \f(4,3)πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面积S＝36π．] 类型1　球的表面积与体积【例1】　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为eq \f(500,3)π，求它的表面积．[解]　(1)设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4．所以球的体积为V＝eq \f(4,3)×π×r3＝eq \f(256,3)π．(2)设球的半径为R，由已知得eq \f(4,3)πR3＝eq \f(500,3)π，所以R＝5，所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π．求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝eq \f(4,3)πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．eq \o([跟进训练])1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为________．4∶9　[根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积的比为4∶9． ] 类型2　球的截面问题【例2】　(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1． 球心O到平面α的距离为eq \r(2)，则此球的体积为(　　)A．eq \r(6)π　　　B．4eq \r(3)π　　　C．4eq \r(6)π　　　D．6eq \r(3)π(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．(1)B　(2)1或7　[(1)如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq \r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq \r(\r(2) 2＋1)＝eq \r(3)，即球的半径为eq \r(3)，∴V＝eq \f(4,3)π(eq \r(3))3＝4eq \r(3)π．(2)若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为eq \r(52－32)－eq \r(52－42)＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为eq \r(52－32)＋eq \r(52－42)＝7．]①　　　　　　　　②如何求解球的截面问题？[提示]　1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理．eq \o([跟进训练])2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M． 若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于_______．16π　[如图，圆M面积为3π， 则圆M半径MB为eq \r(3)，设球O的半径为R，则R2＝eq \f(1,4)R2＋3，得R＝2，则球O的表面积等于4π×22＝16π．] 类型3　与球有关的切、接问题【例3】　(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________． (2)正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？[提示]　2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)．2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球半径R′与棱长a呢？[提示]　外接球半径R＝eq \f(\r(3),2)a；内切球半径R′＝eq \f(1,2)a．3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？[提示]　R＝eq \f(\r(2),2)a．(1) eq \f(4,3)π　(2) eq \f(πa2,2)　[(1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为eq \f(4,3)π．(2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合．可见，正方体的体对角线是球的直径．设球的半径是r，则正方体的体对角线长是2r．依题意，2r＝eq \r(3)·eq \r(\f(a2,6))，即r2＝eq \f(1,8)a2，所以S球＝4πr2＝4π·eq \f(1,8)a2＝eq \f(πa2,2)．]将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是eq \r(3)，eq \r(3)，eq \r(6)，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是(　　)A．12π　　　B． 18π　　　C．36π　　　D． 6πA　[由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2eq \r(3)，从而球的半径为eq \r(3)，球表面积为12π．]常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．eq \o([跟进训练])3．圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．100π　[如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π．]4．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________．1∶eq \r(3)∶3　[设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为R，r．如图所示，D为AB的中点，SE⊥CD，则线段SE为正四面体SABC的高，且SE＝eq \r(SD2－DE2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(6),3)，V正四面体SABC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(2),12)．由正四面体的性质知三个球的球心重合，且球心O在线段SE上，则R＋r＝OS＋OE＝SE＝eq \f(\r(6),3)，V正四面体SABC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×r×4＝eq \f(\r(3),3)r＝eq \f(\r(2),12)，所以r＝eq \f(\r(6),12)，R＝eq \f(\r(6),4)，而棱切球的半径为OD＝eq \r(r2＋DE2)＝eq \f(\r(2),4)，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为eq \f(\r(6),12)∶eq \f(\r(2),4)∶eq \f(\r(6),4)＝1∶eq \r(3)∶3．]1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)A．36π，144π　　　 B．36π，36πC．144π，36π D．144π，144πB　[球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝eq \f(4,3)π·33＝36π．]2．若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π，则原来实心球的表面积为(　　)A．4π　　　　B．8π　　　　C．12π　　　　D．16πB　[设实心球的半径为R．由题意可得，2πR2＝4π，∴原来实心球的表面积为4πR2＝8π．故选B．]3．若两个球的表面积之差为48π，其直径所在圆的周长之和为12π，则这两个球的半径之差为(　　)A．4 B．3 C．2 D．1C　[设两个球的半径分别为R，r(R＞r)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4πR2－4πr2＝48π，,2πR＋2πr＝12π，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(R2－r2＝12，,R＋r＝6，))所以R－r＝2．]4．一个正方体的八个顶点都在体积为eq \f(4,3)π的球面上，则正方体的表面积为________．8　[设球的半径为R，正方体的棱长为a，则eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π，故R＝1，由eq \r(3)a＝2R＝2，所以a＝eq \f(2,\r(3))，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))eq \s\up12(2)＝8．]5．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球的表面积为________．eq \f(64,9)π　[设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球的半径为R．因为O′A＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×2＝eq \f(2\r(3),3)．在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)R2，所以R＝eq \f(4,3)，所以S球＝4πR2＝eq \f(64,9)π．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)球的表面积和体积公式是什么？(2)解决球的截面问题的关键是什么？(3)如何确定空间几何体的外接球和内切球的半径？我国古代数学中球的体积公式我国古代数学名著《九章算术》中的“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈eq \r(3,\f(16,9)V)．实际上，“开立圆术”认为，球的体积V≈eq \f(9,16)d3．不过，我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时就发现，上述公式的近似效果并不好，于是想到了推算球体积的方法，他创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形．如图1所示，在一个立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图2所示．图1 图2牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同球相切．如果用同一水平面去截它们，就得到一个圆(球的截面)和它的外切正方形(牟合方盖的截面)．刘徽指出，在每一高度的水平截面圆与其外切正方形的面积之比等于eq \f(π,4)，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于eq \f(π,4)．因此，只要知道了牟合方盖的体积，就能得出球的体积．遗憾的是，刘徽当时并没有得出牟合方盖的体积，他说“敢不阙疑，以候能言者”．刘徽所盼的“能言者”过了两百多年才出现，那就是祖冲之和他的儿子祖暅．祖氏父子继承了刘徽的思路，即从计算牟合方盖体积来突破．他们考虑了立方体切除牟合方盖之后的那部分的体积，取牟合方盖的八分之一，考虑它与其外切正方体所围成的立体，如图3(1)所示．将它分成四个小立体，如图3(2)、3(3)、3(4)、3(5)所示．其中图3(2)就是牟合方盖的八分之一．祖氏父子通过考察截面的面积发现，图3(3)、3(4)、3(5)的立体体积之和等于如图3(6)所示的四棱锥体积，这个四棱锥的底面边长和高都等于如图3(1)所示的正方体的边长．因此，如果设球的半径为r，则图3(1)中的正方体边长也为r，从而可知八分之一牟合方盖的体积为r3－eq \f(1,3)r3＝eq \f(2,3)r3．因此牟合方盖的体积为eq \f(16,3)r3．再结合刘徽所得到的结论，就可以知道球的体积为eq \f(4,3)πr3．上面的介绍中，多次使用了“祖暅原理”，所涉及的计算也都没有超出高中数学的范围，感兴趣的同学再仔细推敲一遍吧！(1)　　　　(2)(3)　 　　(4)(5)　　　　　(6)图3学 习 任 务核 心 素 养1．了解并掌握球的体积和表面积公式．2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3．会解决球的切、接问题．(难点、易混点)1．通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学素养．2．通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养．