人教版八年级数学下册精品同步专题练习专题16.3二次根式的加减【十大题型】(举一反三)(原卷版+解析)

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专题16.3 二次根式的加减【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc14083" 【题型1 判断同类二次根式】  PAGEREF _Toc14083 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16560" 【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】  PAGEREF _Toc16560 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc23032" 【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】  PAGEREF _Toc23032 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc23720" 【题型4 比较二次根式的大小】  PAGEREF _Toc23720 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21682" 【题型5 已知字母的取值化简求值】  PAGEREF _Toc21682 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26931" 【题型6 已知条件式化简求值】  PAGEREF _Toc26931 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc32512" 【题型7 与二次根式有关的整体代入求值问题】  PAGEREF _Toc32512 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc10270" 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】  PAGEREF _Toc10270 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc32742" 【题型9 二次根式的新定义类问题】  PAGEREF _Toc32742 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc1816" 【题型10 二次根式的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc1816 \h 6【知识点1 同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1 判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，112；(2)x4y，3x3y(x<0)，−2xy3(y<0)．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）下列各式与427是同类二次根式的是（    ）A．216 B．125 C．48 D．32【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（    ）A．xy与xy2 B． 2x与2x C． 3aa与1a D． a与3a【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−27x3不是同类二次根式的是（ ）A．27x3 B．−x327 C．−19−3x3 D．−x3【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5x+8与7是同类二次根式，求x的最小正整数？【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3a与﹣8是同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2b+1与a+47+b可以合并成一个二次根式，则a−b= ．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果m、n是正整数，且162m+n和m−n−1m+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、n的值．解：∵162m+n和m−n−1m+7可以合并，∴m−n−1=2162m+n=m+7，即m−n=331m+16n=7，解得m=5547n=8647．∵m、n是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【知识点2 二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−813+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+46−2【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+12×12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)323×−1815÷1225；(2)212−613+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−32−−20．【题型4 比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（    ）A．5＜7 B．35＋2＜82﹣1C．−7−232＞﹣6 D．|1－3|＞3－1【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将55,66,77从小到大排列 ．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：12+1=2−12+12−1=2−1，13+2=3−23+23−2=3−2，14+3=4−34+34−3=4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：(1)12+1+13+2+…+12021+2020·2021+1；(2)设a=13−2，b=12−3，c=15−2，比较a，b，c的大小关系．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）满足不等式82+1”、“<”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．【题型9 二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用a，b表示数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m，n与n，m称为数对a，b的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”为12，1与1，12．(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，y的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；(3)若数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求x的值．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m−nm≥n,m+nm0)−y(x<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______； (2)化简：7+210； (3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且m=12(a+2a−1+a−2a−1)，点M′是点M的“横负纵变点”，求点M′'的坐标． 【题型10 二次根式的阅读理解类问题】 【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2． ∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　　，b=　　； (2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空： 　　+　　3=　　+　　32； (3)若a−65=m−n52且a、m、n均为正整数，求a的值． 【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）阅读材料并解决问题：13+2=3−23+23−2=3−232−22=3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 解答下面的问题： (1)计算：12+1=___________，14+3=___________；若n为正整数，请你猜想1n+1+n=___________． (2)计算：12+1+13+2+⋅⋅⋅+12022+2021×2022+1； (3)计算：23+1+25+3+⋅⋅⋅+22024+2022×2024+1． 【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如： 7−6=7−67+67+6=17+6， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下： 7−6=17+6，      6−5=16+5， 因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2，当x=2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求y=1−x+1+x−x的最大值和最小值．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子x+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且x+1＝(x+1)2；②把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn=m±n2开方，从而使得x±2y化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+2=1+2；(1)化简：5+26．(2)计算：13+22+15+26+17+212+19+45(3)直接写出代数式x2+2x+5+x2−22x+130的最小值为 ．专题16.3 二次根式的加减【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32395" 【题型1 判断同类二次根式】  PAGEREF _Toc32395 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8053" 【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】  PAGEREF _Toc8053 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc15495" 【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】  PAGEREF _Toc15495 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc7052" 【题型4 比较二次根式的大小】  PAGEREF _Toc7052 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc31420" 【题型5 已知字母的取值化简求值】  PAGEREF _Toc31420 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc19359" 【题型6 已知条件式化简求值】  PAGEREF _Toc19359 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc9229" 【题型7 与二次根式有关的整体代入求值问题】  PAGEREF _Toc9229 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc13869" 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】  PAGEREF _Toc13869 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc30592" 【题型9 二次根式的新定义类问题】  PAGEREF _Toc30592 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc11934" 【题型10 二次根式的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc11934 \h 24【知识点1 同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1 判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，112；(2)x4y，3x3y(x<0)，−2xy3(y<0)．【答案】(1)不是(2)不是【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．【详解】（1）解：∵ 24=26；48=43；112=36；∴ 24，48，112不是同类二次根式；（2）解：x4y=x2y；3x3y=−3xxy(x<0)；−2xy3=2yxy(y<0)；∴ x4y，3x3y，−2xy3不是同类二次根式．【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）下列各式与427是同类二次根式的是（    ）A．216 B．125 C．48 D．32【答案】C【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．【详解】解：∵427=293，216=66，125=55，48=43，32=42，∴与427是同类二次根式的是48，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（    ）A．xy与xy2 B． 2x与2x C． 3aa与1a D． a与3a【答案】C【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A、xy与xy2=yx的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、2x与2x的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；C、3aa与1a=aa的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；D、3a是三次根式；故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−27x3不是同类二次根式的是（ ）A．27x3 B．−x327 C．−19−3x3 D．−x3【答案】A【分析】同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方式相同的二次根式.【详解】解：−−27x3=-−3x⋅(3x)2=-3x−3x选项A：27x3=3x⋅(3x)2=3x3x；选项B：−x327=−x327=x9−3x；选项C：−19−3x3=−x9−3x；选项D：−x3=13−3x.B、C、D中都含有−3x，是同类二次根式，A不是，故选A.【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5x+8与7是同类二次根式，求x的最小正整数？【答案】x=4【分析】5x+8不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意得：5x+8=n2×7（n为正整数），∵n2>0，则5x+8>0， ∴当n=1时，5x+8=7，解得x=−0.2，不是正整数，舍去；当n=2时，5x+8=28，解得x=4，符合题意，即x的最小正整数为4．【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3a与﹣8是同类二次根式．【答案】(1)a=23(2)a=2n23【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．【详解】（1）∵﹣8＝﹣22，最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2，解得a=23．（2）∵二次根式3a与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2n2，解得a＝2n23．【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2b+1与a+47+b可以合并成一个二次根式，则a−b= ．【答案】−8【分析】最简二次根式2b+1与a+47+b能合并成一个二次根式，则两个二次根式的被开方数相等，即可求得a，b值，代入即可求解．【详解】解：根据题意得：2b+1=7+b,a+4=2，则a=−2，b=6，所以a−b=−2−6=−8，故答案是：−8．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果m、n是正整数，且162m+n和m−n−1m+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、n的值．解：∵162m+n和m−n−1m+7可以合并，∴m−n−1=2162m+n=m+7，即m−n=331m+16n=7，解得m=5547n=8647．∵m、n是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【答案】（1）不正确，原因是没有把162m+n转化为最简二次根式；（2）见解析【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．（2）先把162m+n转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．【详解】解：（1）不正确，原因是没有把162m+n转化为最简二次根式；（2）正确解答过程如下：∵162m+n=42m+n，162m+n和m−n−1m+7可以合并，∴m−n−1=22m+n=m+7，解得：m=5n=2，经检验m=5，n=2符合题意，∴m=5，n=2．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【知识点2 二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−813+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+46−2【答案】(1)143(2)−8+76+2【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可【详解】（1）原式=83−833+43÷23=2833÷23=143=143（2）原式=24−3−27−66+2+46+26−26+2=21−29+66+6+2=−8+76+2【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22【答案】923+1【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．【详解】解：27+6+36−3−42−36÷22=33+6−3−2+323=923+1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+12×12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【答案】(1)4−6(2)65−45【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式=48÷3+12×12−26=16+6−26=4−6（2）解：原式=49−48−(45−65+1)=1−46+65=65−45【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)323×−1815÷1225；(2)212−613+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−32−−20．【答案】(1)−154(2)143(3)4+26(4)1【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．【详解】（1）解：原式=3×−18×2×23×15×52=3×−18×2×5=−154；（2）原式=43−23+123=143；（3）原式=2+26+3−5−4=2+26+3−1=4+26；（4）原式=2−32+32022×2+3−3−1=12022×2+3−3−1=1×2+3−3−1=2+3−3−1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．【题型4 比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（    ）A．5＜7 B．35＋2＜82﹣1C．−7−232＞﹣6 D．|1－3|＞3－1【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．【详解】A、由于5<7，则5＜7，故正确；B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，则35＋2＜82﹣1，故正确；C、由于−23>−5，则−7−232>−7−52=−6，故正确；D、由于1−3=3−1，故1−3>3−1错误．故选：D【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将55,66,77从小到大排列 ．【答案】77<66<55【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【详解】(55)2=15，(66)2=16，(77)2=17，∵15>16>17，∴77<66<55，故答案为：77<66<55．【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：12+1=2−12+12−1=2−1，13+2=3−23+23−2=3−2，14+3=4−34+34−3=4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：(1)12+1+13+2+…+12021+2020·2021+1；(2)设a=13−2，b=12−3，c=15−2，比较a，b，c的大小关系．【答案】(1)2020(2)c>b>a【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．【详解】（1）根据题意可得，原式=2−1+3−2+…+2021−2020·2021+1=2021−1·2021+1=2021−1=2020；（2）根据题意可得，a=3+23−23+2=3+2，b=2+32−32+3=2+3，c=5+25−25+2=5+2，∵2<2，∴3+2<2+3，即a3，∴2+3<2+5，即bb>a．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）满足不等式82+10，解得6≤x<9，且x为奇数， ∴x=7，∴原式=(x+1)(x−1)2(x+1)(x−1)=(x+1)x−1x+1=(x+1)(x−1)=(7+1)×(7−1)=43．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若a=122+18−182，求a2+a4+a+1的值.【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵a+1822=122+182，∴a2+24a=24．∴a2=241−a．∴a4+a+1=181−a2+a+1=a+328．∵a>0，∴a2+a4+a+1=241−a+24a+3=2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【题型7 与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若a=5+1，b=5−1，求下列代数式的值．(1)a2b+ab(2)a2−b2【答案】(1)85(2)45【分析】（1）先求解a+b=25，ab=5+15−1=5−1=4，再结合因式分解求解代数式的值即可；（2）先求解a+b=25，a−b=2，再结合平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵a=5+1，b=5−1，∴a+b=25，ab=5+15−1=5−1=4，∴a2b+ab=aba+b=4×25=85；（2）∵a=5+1，b=5−1，∴a+b=25，a−b=2，∴a2−b2=a+ba−b=25×2=45．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知x=3−7，y=3+7，求xy−yx的值．【答案】−67【分析】先计算出x+y,x−y与xy的值，再把xy−yx变形为x−yx+yxy，最后整体代入求值即可．【详解】解：∵x=3−7，y=3+7， ∴x+y=6,x−y=−27,xy=2,∴xy−yx =x2−y2xy=x−yx+yxy=6×−272=−67．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行变形能简化计算．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【答案】2017【分析】先根据a＝2＋1,可得: a－1＝2,然后利用完全平方公式两边平方可得: (a－1)2＝2,继而可得: a2－2a＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016= a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.【详解】解:∵a＝2＋1,∴a－1＝2,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解.【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知a+1a=7，求下列各式的值；(1)a2+1a2；(2)a2−1a2．【答案】(1)5(2)±21【分析】（1）利用完全平方公式可得a2+1a2=(a+1a)2−2，即可求解；（2）根据完全平方公式可得(a−1a)2=(a+1a)2−4，求得a−1a=3，然后利用平方差公式计算a2−1a2的值．【详解】（1）解： ∵a+1a=7，∴a+1a2=a2+2+1a2=7，∴a2+1a2=5；（2）解：由（1）得a2+1a2=5，∴a−1a2=a2−2+1a2=5−2=3，∴a−1a=±3，又∵a2−1a2=a+1aa−1a，∴当a−1a=3时，a2−1a2=7×3=21，当a−1a=−3时，a2−1a2=7×(−3)=−21．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【题型8 二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：  已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．【答案】应选择中底面型号的纸箱【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为105cm，进而估算出20<105<25<30，由此即可得到答案．【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，∴甲、乙两件礼品的边长分别为45cm，65cm，∴甲、乙两件礼品的边长之和为45cm+65cm=105cm，∵400<500<625<900，∴20<105<25<30，∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，∵25×20<30×25，∴从节约枌料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．【答案】6105【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，求出m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，重新混合后，甲容器内果汁的浓度为40a−ma+mb40，重新混合后，乙容器内果汁的浓度为90b−mb+ma90，由题意可得，40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m=6105．故答案为：6105．【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【答案】（1）>，>，=；（2）m+n≥2mn(m≥0，n≥0)；（3）40米【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2mn；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【详解】解：（1）∵4+3=7,24×3=43∴72=49,(43)2=48∵49>48∴4+3>24×3∵1+16=76>1,21×16=63<1∴1+16>21×16∵5+5=10,25×5=10,∴5+5=25×5故答案为：＞，＞，＝．（2）m+n≥2mn理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(m−n)2≥0∴(m)2−2m⋅n+(n)2≥0∴m−2mn+n≥0∴m+n≥2mn（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：a+2b≥2a⋅2b=22ab=22×200=40．∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．【答案】6105【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，求出m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，重新混合后，甲容器内果汁的浓度为40a−ma+mb40，重新混合后，乙容器内果汁的浓度为90b−mb+ma90，由题意可得，40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m=6105．故答案为：6105．【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【题型9 二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用a，b表示数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m，n与n，m称为数对a，b的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”为12，1与1，12．(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，y的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；(3)若数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求x的值．【答案】(1)(15，2)和(2，15)(2)y=13(3)x=1【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入m=1a，n=b即可；（2）(3，y)）的一对“对称数对”的两个数对相同说明13=y相等，求出y即可；（3）将数对x，2的一对“对称数对”求出来，即得出xx=1，解出x即可．【详解】（1）∵125=15，4=2，∴数对25，4的一对“对称数对”是(15，2)和(2，15)．故答案为：(15，2)和(2，15)；（2）∵数对3，y的一对“对称数对”的两个数对相同，∴13=y，解得：y=13；（3）∵1x=xx，∴数对x，2的“对称数对”分别为(xx，2)和(2，xx)．∵数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，∴只可能为xx=1，解得：x=1．【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．【答案】(1)22(2)-2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．【详解】（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，∴2a=4．∴a=42=22．（2）∵2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，∴2+3⋅4+3m=2．∴4+3m=22+3=22−32+32−3=4−23．∴m=−2．【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m−nm≥n,m+nm2，∴18⊗2=18−2=32−2=22，所以①正确；11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=11+2+12+3+13+4+⋯+199+100=2−1+3−2+⋯+100−99=100−1=100⊗1所以②正确；当a≥b时，a⊗b⋅b⊗a=a−bb+a=a−b=a−b，当a0)−y(x<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______； (2)化简：7+210； (3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且m=12(a+2a−1+a−2a−1)，点M′是点M的“横负纵变点”，求点M′'的坐标． 【答案】(1)（2，−3）；（−33，2） (2)5+2 (3)（﹣2，﹣2） 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，y′={y(x>0)−y(x<0)，即可；（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将7+210化为(5)2+210+(2)2，再根据a2±2ab+b2=(a±b)2，即可化简；（3）根据1≤a≤2，得a−1−1≤0；将m=12(a+2a−1+a−2a−1)化简得m=12((a−1+1)2+(a−1−1)2；根据a2±2ab+b2=|a±b|，得m=12(|a−1+1|+|a−1−1|，求出m的值，求出M的坐标，根据横负纵变点”的定义，y′={y(x>0)−y(x<0)，即可求出M′的坐标．【详解】（1）∵2>0∴点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3）∵−33<0∴点（−33，−2）的“横负纵变点”为（−33，2）故答案为：（2，−3）；（−33，2）．（2）7+210=(5)2+210+(2)2=(5+2)2=5+2∴7+210化简得：5+2．（3）∵1≤a≤2∴0≤a−1≤2−1∴0≤a−1≤1∴0≤a−1≤1∴a−1−1≤0∵m=12(a+2a−1+a−2a−1)=12((a−1)2+2a−1×1+12+(a−1)2−2a−1×1+12)=12((a−1+1)2+(a−1−1)2=12(|a−1+1|+|a−1−1|)∴m=12(a−1+1+1−a−1)∴m=12×2=2∴点M（−2，2）∵−2<0∴M′（−2，−2）故M′的坐标为：（−2，−2）．【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．【题型10 二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　　，b=　　；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：　　+　　3=　　+　　32；(3)若a−65=m−n52且a、m、n均为正整数，求a的值．【答案】(1)m2+3n2，2mn(2)13，4，1，2(3)14或46【分析】（1）根据上面的例子，将m+n32，按完全平方展开，可得出答案；（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；（3）将m−n52展开得出m2−25mn+5n2，由题意得mn=3，m2+5n2=a，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．【详解】（1）解：∵a+b3=m+n32，∴a+b3=m2+3n2+2mn3，∴a=m2+3n2，b=2mn；故答案为：m2+3n2，2mn．（2）由（1）可得a=13，b=4，m=1，n=2；故答案为：13，4，1，2．（3）∵a−65=m−n52，∴a+b5=m2+5n2+2mn5，∴mn=3，m2+5n2=a，∵a、m、n均为正整数，∴m=3，n=1，a=14或m=1，n=3，a=46；故答案为：14或46．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）阅读材料并解决问题：13+2=3−23+23−2=3−232−22=3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．解答下面的问题：(1)计算：12+1=___________，14+3=___________；若n为正整数，请你猜想1n+1+n=___________．(2)计算：12+1+13+2+⋅⋅⋅+12022+2021×2022+1；(3)计算：23+1+25+3+⋅⋅⋅+22024+2022×2024+1．【答案】(1)2−1；4−3（或2−3)；n+1−n(2)2021(3)2023【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可；（2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可；（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．【详解】（1）解：12+1=2−12+12−1=2−12−1=2−1=2−1；14+3=4−34+34−3=4−34−3=4−3（或2−3)；1n+1+n=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)=n+1−nn+1−n=n+1−n；（2）解：12+1+13+2+…+12022+20212022+1=2−1+3−2+…+2022−20212022+1=2022−12022+1=2022−1=2021．（3）解：23+1+25+3+⋅⋅⋅+22024+2022×2024+1=23−13+13−1+25−35+35−3+⋅⋅⋅+22024−20222024+20222024−2022×2024+1=3−1+5−3+⋅⋅⋅+2024−20222024+1=2024−12024+1=2023．【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应用方法解决问题．【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−6=7−67+67+6=17+6，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=17+6，      6−5=16+5，因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2，当x=2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求y=1−x+1+x−x的最大值和最小值．【答案】（1）32−4<23−10；（2）y的最大值为2，最小值为2−1．【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=232+4，23−10=223+10，然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽x⩽1，而y=1−x+11+x+x，利用当x=0时，11+x+x有最大值1，1−x有最大值1得到所以y的最大值；利用当x=1时，11+x+x有最小值2−1，1−x有最小值0得到y的最小值．【详解】解：（1）32−4=(32+4)(32−4)32+4=232+4，23−10=(23+10)(23−10)23+10=223+10，而32>23，4>10，∴32+4>23+10，∴32−4<23−10；（2）由1−x⩾0，1+x⩾0，x⩾0得0⩽x⩽1，y=1−x+1+x−x=1−x+11+x+x，∴当x=0时，1+x+x有最小值，则11+x+x有最大值1，此时1−x有最大值1，所以y的最大值为2；当x=1时，1+x+x有最大值，则11+x+x有最小值2−1，此时1−x有最小值0，所以y的最小值为2−1．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子x+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且x+1＝(x+1)2；②把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn=m±n2开方，从而使得x±2y化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+2=1+2；(1)化简：5+26．(2)计算：13+22+15+26+17+212+19+45(3)直接写出代数式x2+2x+5+x2−22x+130的最小值为 ．【答案】(1)2+3(2)5−1(3)5【分析】（1）先将根号下的数变形为完全平方公式格式，再化简即可；（2）先将各个分母化为完全平方公式格式，再分母有理化，最后合并即可得出答案；（3）先根据完全平方公式化简，再根据非负数的性质得出x+12+4≥4，x−112+9≥9，即可求出最小值．【详解】（1）5+26=2+26+3=22+2×2×3+32=2+32=2+3=2+3（2）13+22+15+26+17+212+19+45=11+22+2+12+26+3+13+212+4+14+220+5=11+2+12+3+13+4+14+5=2−12+12−1+3−23+23−2+4−34+34−3+5−45+45−4 =2−1+3−2+4−3+5−4=5−1（3）x2+2x+5+x2−22x+130=x2+2x+1+4+x2−22x+121+9=x+12+4+x−112+9∵x+12≥0，x−112≥0∴x+12+4≥4，x−112+9≥9∴原式的最小值为4+9=2+3=5【点睛】本题考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的加减以及完全平方公式，熟练掌握公式及性质是解题的关键．型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm