专题7.7平行线的性质与判定大题提升训练（填空型问题，重难点培优30题）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】

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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.7平行线的性质与判定大题提升训练（填空型问题，重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题1．（2021秋·江苏扬州·七年级校考期末）将下列证明过程补充完整：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠　 　（ 　 　）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠　 　（ 　 　）．∴AB∥CD（ 　 　）．【答案】ECD；角平分线的性质；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题．【详解】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠ECD（角平分线的性质），∵∠1＝∠2．（已知），∴∠1＝∠ECD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．故答案为：ECD；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质，解题的关键是根据平行线的判定解答．2．（2021秋·江苏南京·七年级南师附中树人学校校考阶段练习）完成下面的推理说明：如图，AB⊥BC，垂足为点B．∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？解：BE//DF，理由如下：∵AB⊥BC，∴∠ABC= ，即∠3+∠4= ．又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴ ＝ 理由是： ．∴BE//DF．理由是： ．【答案】90°，90°，∠1,∠4，等角的余角相等，同位角相等，两直线平行．【分析】根据垂线的性质求出∠ABC为90°，然后根据同角的余角相等得出∠1=∠4，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明．【详解】BE//DF，理由如下：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，即∠3+∠4=90°，又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴∠1=∠4理由是：等角的余角相等，∴BE//DF．理由是：同位角相等，两直线平行【点睛】此题考查了垂线的性质，平行线的判定，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握垂线的性质，平行线的判定，等角的余角相等．3．（2022秋·江苏·七年级专题练习）完成下面的证明．如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．求证：AC∥BD．证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD（①　 　）∴∠C＝②　 　∴AC∥BD（③　 　）【答案】①对顶角相等；②∠D；③内错角相等，两直线平行．【分析】先根据对顶角相等、等量代换可得∠C=∠D，再根据平行线的判定即可得证．【详解】证明：∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD，又∠COA=∠BOD（对顶角相等），∴∠C= ∠D，∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行），故答案为：①对顶角相等；②∠D；③内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．4．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（邻补角的性质），所以∠BAG=∠AGC（________________）因为EA平分∠BAG，所以∠1=12∠BAG（________________）．因为FG平分∠AGC，所以∠2=12______________，得∠1=∠2（等量代换），所以_________________（________________）．【答案】同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，AE∥GF，内错角相等两直线平行【分析】根据补角的性质，角平分线的定义，及平行线的判定定理依次分析解答．【详解】解：因为∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（邻补角的性质），所以∠BAG=∠AGC（同角的补角相等）因为EA平分∠BAG，所以∠1=12∠BAG（角平分线的定义）．因为FG平分∠AGC，所以∠2=12∠AGC，得∠1=∠2（等量代换），所以AE∥GF（内错角相等两直线平行），故答案为：同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，AE∥GF，内错角相等两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记补角的性质，角平分线的定义及平行线的判定定理是解题的关键．5．（2022秋·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（　　　　）∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝ （　　　　　　）．∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（　　　　　　　）∵∠α+∠β＝90°．（已知），∴∠ABD+∠BDC＝　　　　（　　　　　　）．∴AB∥CD（　　　　　　　　）【答案】角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行【分析】首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．【详解】证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β(角平分线的定义)．∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）∵∠α+∠β＝90°．（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换），∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．6．（2022秋·江苏常州·七年级统考期末）填写下列空格：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1=∠2．求证：AB∥CD．证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴____________________（__________）．∵∠1=∠2（已知），∴∠1=_______（___________________）．∴ AB∥CD（ ______________________ ）．【答案】∠2=∠3；角平分线定义；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】先利用角平分线定义得∠2=∠3，从而可得出∠1=∠3，即可由平行线的判定定理得出结论．【详解】解：∵CE平分∠ACD（已知），∴ ∠2=∠3（  角平分线定义  ）．∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠3 （等量代换）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：∠2=∠3；角平分线定义；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查解增分线的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定的定理是解题的关键．7．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ADC（　 　）．∵∠ABC＝∠ADC（　 　），∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）．∵∠1＝∠3（　 　），∴∠2＝∠　 　（　 　）．∴AB∥DC（　 　）．【答案】角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【分析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决．【详解】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ADC（角平分线的定义），∵∠ABC＝∠ADC（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∵∠1＝∠3（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，已知∠1=∠3，CD//EF，试说明AB//EF．请将过程填写完整．证明：∵∠1=∠3又∠2=∠3（_____________）∴∠1=_______（______________）∴AB//CD（______________）又∵CD//EF∴AB//______________．【答案】对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF【分析】若能得到AB//CD，再由CD//EF，则可得结论，由∠2=∠3，∠1=∠3可得∠2=∠1，从而可证得AB//CD，因而问题解决．【详解】∵∠1=∠3又∠2=∠3（对顶角相等）∴∠1=∠2（等量代换）∴AB//CD（同位角相等两直线平行）又∵CD//EF∴AB//EF(平行于同一条直线的两条直线平行)故答案分别为：对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF．【点睛】本题考查了平行线的判定、解题的关键是掌握平行于同一直线的两条直线平行这一性质．9．（2020秋·江苏盐城·七年级校考期中）请将下列证明过程补充完整：已知：如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证：AB∥CD证明：∵CE平分∠ACD( )∴∠2=∠    ( )，∵∠1=∠2.(已知)∴∠1=∠ ( )∴AB//CD( )【答案】已知，ECD，角平分线的定义，ECD，等量代换，内错角相等两直线平行．【分析】根据平行线的判定和角平分线的定义即可解决问题．【详解】证明：∵CE平分∠ACD（已知）∴∠2=∠ECD（角平分线的定义），∵∠1=∠2．（已知）∴∠1=∠ECD（等量代换））∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．故答案为：已知，ECD，角平分线的定义，ECD，等量代换，内错角相等两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（2020秋·江苏连云港·七年级统考期中）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，∠A与∠AEF互补，以下是证明CD∥EF的推理过程及理由，请你在横线上补充适当条件，完整其推理过程或理由．证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）∴∠ABD＝∠CDB＝　 　（　   　）∴∠ABD+∠CDB＝180°∴AB∥　 　（　   　）又∠A与∠AEF互补 （　   　）∠A+∠AEF＝　 　∴AB∥　 　（　   　）∴CD∥EF （　   　）【答案】90°；垂直的定义；CD；同旁内角互补，两直线平行；已知；180°；EF；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．【分析】根据同旁内角互补，两直线平行得出AB∥CD，AB∥EF，最后由平行于同一条直线的两条直线平行得出CD∥EF，进而得证．【详解】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知），∴∠ABD＝∠CDB＝90°（垂直的定义），∴∠ABD+∠CDB＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），又∠A与∠AEF互补（已知），∠A+∠AEF＝180°，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）．故答案为：90°；垂直的定义；CD；同旁内角互补，两直线平行；已知；180°；EF；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．11．（山东省济南东南片区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2=　 　（ 　 　）．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3（ 　 　）．∴AB∥　 　（ 　 　）．∴∠BAC+　 　=180°（ 　 　）．∵∠BAC=70°，∴∠AGD=　 　．【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°【分析】根据平行线的性质和已知求出∠1=∠3，根据平行线的判定推出AB∥DG，根据平行线的性质求出∠BAC+∠DGA=180°即可．【详解】解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等．）又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC=70°，∴∠AGD=110°．故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．12．（福建省三明市明溪县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）填空，将本题补充完整．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．将求∠AGD的过程填写完整．解：∵EF∥AD（已知）∴∠2＝　　（　 ）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝　　（等量代换）∴AB∥GD（ ）∴∠BAC+　　＝180°（ ）∵∠BAC＝65°（已知）∴∠AGD＝　　°【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；115°【分析】由EF∥AD，可得∠2＝∠3，由等量代换可得∠1＝∠3，从而得到DG∥BA，根据平行线的性质可得∠BAC＋∠AGD＝180°，即可求解．【详解】解：∵EF∥AD（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠3（等量代换）∴AB∥GD（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC＋∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC＝65°（已知）∴∠AGD＝115°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补定理；内错角相等，两直线平行的应用．13．（浙江省台州市黄岩区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．证明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代换）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【答案】DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】先通过已知条件证明DE∥AF，再由两直线平行同位角相等和等量代换证出AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠B=∠C．【详解】证明：∵∠1=∠2（已知），∴DE∥AF（同位角相等，两直线平行）．∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代换）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．故答案为：DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．14．（江西省南昌市江西育华学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，在△ABC中点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1=∠2，若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数．解：∵DE∥AC（已知）∴∠1＝∠　　（ 　　）∵∠1＝∠2（已知）∴∠C＝∠2（ 　　）∴AF∥　　（ 　　）∴∠B+∠BAF＝180°（ 　　）∵∠B＝50°（已知）∴∠BAF＝180°﹣∠B＝130°（角的运算）∵AC平分∠BAF（已知）∴∠2＝12∠BAF＝65° （ 　　）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝65°（ 　　）【答案】C，两直线平行，同位角相等；等量代换；BC，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；角平分线的定义；等量代换．【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠C，求出∠C＝∠2，根据平行线的性质得出∠B＋∠BAF＝180°，求出∠BAF＝130°，根据角平分线的定义求出∠2＝12∠BAF＝65°即可．【详解】解：∵DE∥AC（已知），∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠C＝∠2（等量代换），∴AF∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠B＋∠BAF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠B＝50°（已知），∴∠BAF＝180°−∠B＝130°（角的运算），∵AC平分∠BAF（已知），∴∠2＝12∠BAF＝65° （角平分线的定义），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝65°（等量代换），故答案为：C，两直线平行，同位角相等；等量代换；BC，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；角平分线的定义；等量代换．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．15．（重庆市忠县花桥镇初级中学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）完成下面推理过程：如图，AB∥CD，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠PNB=60°，∠NDC=60°，求∠BCP的度数．解：∵∠PNB=60°，∠NDC=60°，（已知）∴∠PNB=∠NDC，（等量代换）∴PN // CD，（           ）∴∠CPN+∠_________=180°，（   ）∵∠CPN=150°，（已知）∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°∵AB//CD，（已知）∴∠ABC= ∠____________，（两直线平行，内错角相等）∵∠ABC=50°，（已知）∴∠BCD=__________，（等量代换）∴ ∠BCP=∠BCD－∠PCD=____________°－30°=_________°．【答案】同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；50；20．【分析】根据平行线的判定推出PN∥CD，可得∠CPN＋∠PCD＝180°，求出∠PCD＝30°，根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCD，求出∠BCD＝50°，代入∠BCP＝∠BCD−∠PCD计算即可．【详解】解：∵∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，（已知）∴∠PNB＝∠NDC，（等量代换）∴PN∥CD，（同位角相等，两直线平行）∴∠CPN＋∠PCD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）∵∠CPN＝150°，（已知）∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°，∵AB∥CD，（已知）∴∠ABC＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）∵∠ABC＝50°，（已知）∴∠BCD＝50°，（等量代换）∴∠BCP＝∠BCD−∠PCD＝50°−30°＝20°，故答案为：同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；50；20．【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，也考查了学生的推理能力，灵活运用各性质定理是解题的关键．16．（江苏省南通市如皋初级中学2021-2022学年七年级下学期月考数学试题）请补全证明过程及推理依据．已知：如图，BC∥ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求证：BD∥EF．证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1＝12∠AED，∠2＝12∠ABC（        ）∵BC∥ED，∴∠AED＝ （        ）．∴12∠AED ＝12∠ABC （        ）∴∠1＝∠2（        ）∴BD∥EF（        ）【答案】角平分线的定义；∠ABC；两直线平行，同位角相等；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平行．【分析】根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED＝∠ABC，求出∠1＝∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（角平分线的定义），∵BC∥ED，∴∠AED＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），∴12∠AED=12∠ABC（等量代换），∴∠1＝∠2（等量代换），∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），故答案为：角平分线的定义；∠ABC；两直线平行，同位角相等；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．17．（广东省江门市新会陈经纶中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）完成下面的证明：如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数?解：∵BE平分∠ABC （已知）∴∠2=_________（ ）又∵∠1=∠2 （已知）∴∠1=_________（ ）∴AD//BC（ ）∴∠C+________=180°（ ）又∵∠C=110°（已知）∴∠D=__________．【答案】∠EBC；角平分线的性质；∠EBC；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，同旁内角互补；70°【分析】根据角平分线的性质结合题意证得AD//BC，利用平行线的性质可求得∠D的度数．【详解】解：∵BE平分∠ABC （已知）∴∠2=∠EBC（ 角平分线的性质 ）又∵∠1=∠2 （已知）∴∠1=∠EBC（ 等量代换 ）∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）∴∠C+∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠C=110°（已知）∴∠D=70°【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质，熟知对应的判定方法以及性质是解决本题的关键．18．（山东省日照市开发区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证∠1+∠2=90°．证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠2= （                ），同理∠1= ，∴∠1+∠2=12 ，又∵AB∥CD（已知）∴∠ABC+∠BCD= （                ），∴∠1+∠2=90°．【答案】12∠ABC；角平分线的定义；12∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补【分析】由平行线的性质可得到∠BAC+∠ACD=180°，再结合角平分线的定义可求得∠1+∠2=90°，可得出结论，据此填空即可．【详解】证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠2=12∠ABC（角平分线的定义），同理∠1=12∠BCD，∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD)，又∵AB∥CD（已知）∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补 ），∴∠1+∠2=90°．故答案为：12∠ABC；角平分线的定义；12∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．19．（北京市石景山区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知∠AOB=120°，OP平分∠AOB．反向延长射线OA至C．（1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数_______°．（2）完成下列证明过程：证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠_______．（_______）∵∠AOB=120°，∴∠AOP=_______°．∵∠BOC=_______°．∴∠AOP=∠BOC．（_________）【答案】（1）画图见解析，60；（2）AOB，角平分线的定义，60，60，等量代换【分析】（1）根据题意画出图形即可，利用平角的定义以及角的和差即可求得∠BOC的度数；（2）利用角平分线的定义求得∠AOP=60°，即可证明∠AOP=∠BOC．【详解】解：（1）画出图形如图所示， ∵∠AOB=120°，且∠AOC=180°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，故答案为：60；（2）证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠AOB．（角平分线的定义）∵∠AOB=120°，∴∠AOP=60°．∵∠BOC=60°．∴∠AOP=∠BOC．（等量代换）故答案为：AOB，角平分线的定义，60，60，等量代换．【点睛】本题考查了角平分线的定义，掌握角平分线的定义、根据图形正确计算是解题的关键．20．（山西省大同市广灵县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB//DC．证明：∵∠ABC=∠ADC，∴12∠ABC=12∠ADC．（    ）又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC．（    ）∵∠______＝∠______．（    ）∵∠1=∠3，（    ）∴∠2＝______．（等量代换）∴______//______．（    ）【答案】等式的性质；角平分线的定义；1；2；等量代换；已知；3；AB ；DC ；内错角相等，两直线平行【分析】由∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，可得∠1＝∠2，又由∠1=∠3，得到∠2=∠3，从而得到AB//DC．【详解】证明：∵∠ABC=∠ADC，∴12∠ABC=12∠ADC，（ 等式的性质   ）又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC，（角平分线的定义   ）∵∠1＝∠2，（ 等量代换 ）∵∠1=∠3，（ 已知 ）∴∠2=∠3（等量代换）∴AB//DC ．（内错角相等，两直线平行   ）【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．21．（河南省周口市鹿邑县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）将下列推理过程依据补充完整．如图，已知CD平分∠ACB，AC//DE，CD//EF求证：EF平分∠DEB证明：∵CD平分∠ACB（已知）∴∠DCA=∠DCE（角平分线的定义）∵AC//DE（已知）∴∠DCA=∠CDE（________________________________）∴∠DCE=∠CDE（等量代换）∵CD//EF（已知）∴________________=∠CDE（________________________________）∴∠DCE=∠BEF（________________________________）∴∠DEF=________________（等量代换）∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）【答案】两直线平行，内错角相等；∠DEF；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠BEF．【分析】根据角平分线的定义可得∠DCA=∠DCE，再由AC//DE可得∠DCA=∠CDE，从而∠DCE=∠CDE，又由CD//EF，得到∠DEF =∠CDE，∠DCE=∠BEF，即可求证．【详解】证明：∵CD平分∠ACB（已知）∴∠DCA=∠DCE（角平分线的定义）∵AC//DE（已知）∴∠DCA=∠CDE（两直线平行，内错角相等）∴∠DCE=∠CDE（等量代换）∵CD//EF（已知）∴∠DEF =∠CDE（两直线平行，内错角相等）∴∠DCE=∠BEF（两直线平行，同位角相等）∴∠DEF= ∠BEF（等量代换）∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22．（四川省广安市邻水县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知: 如图，EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.求: ∠AGD的度数解: 因为 EF//AD   （已知）所以 ∠2=__ __   ( 两条直线平行，同位角相等 )又因为 ∠1=∠2    （已知）                                      所以 ∠1=∠3    ( 等量代换 )所以 //__ ___ ( 内错角相等，两直线平行 )所以 ∠BAC+___ ___=180°(_________ ____ ______________)因为 ∠BAC=70°  （已知）所以 ∠AGD=110°【答案】∠3  AB  DG   ∠AGD  两直线平行,同旁内角互补【分析】根据平行线性质推出∠2=∠3，根据平行线判定推出AB//DG，根据平行线判定推出∠BAC+∠AGD=180°，求出即可．【详解】解：因为EF//AD(已知)，所以 ∠2 =∠3(两直线平行，同位角相等)，又因为 ∠1 = ∠2(已知)，所以 ∠1 = ∠3(等量代换)，所以AB//DG(内错角相等，两直线平行)，所以∠BAC + ∠AGD = 180°(两直线平行，同旁内角互补)，又因为∠BAC = 70°(已知)，所以∠AGD =110°，故答案为：∠3  AB  DG   ∠AGD  两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质定理与判定定理是解题的关键．23．（重庆市江津区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题（B卷））如图，直线PQ分别与直线AB、CD交于点E、点F，∠1=∠2，射线EM、EN分别与直线CD交于点M、N，且EM⊥EN，则∠3与∠4有何数量关系，并给出证明．请你将以下证明过程补充完整．解：∵∠1=∠2，∴______（同位角相等，两直线平行）∴∠4=______（两直线平行，内错角相等）．∵EM⊥EN，∴______=90°．∵∠MEB=∠3+______，∴______．【答案】AB∥CD；∠BEM；∠MEN；∠MEN；∠4−∠3=90°【分析】利用平行线的判定及性质解答即可．【详解】解：∠4与∠3的数量关系为∠4−∠3=90°，理由如下：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．∴∠4=∠BEM（两直线平行，内错角相等）．∵EM⊥EN（已知），∴∠MEN=90°（垂直的定义）．∵∠BEM−∠3=∠MEN，∴∠4−∠3=90°．【点睛】本题考查平行线的判定及性质，垂直，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及性质．24．（河南省信阳市淮滨县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）完成下面的求解过程．如图，FG∥CD，∠1=∠3，∠B=50°，求∠BDE的度数．解：因为FG∥CD（ ），所以∠2= （ ）又因为∠1=∠3，所以∠3=∠2（ ），所以BC∥ （ ），所以∠B+ =180°（ ）．又因为∠B=50°，所以∠BDE= ．【答案】见解析【分析】分别利用平行线的性质和判定即可求解．【详解】解：∵FG∥CD（已知）∴∠2＝∠1（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠3，∴∠3＝∠2（等量代换）∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）     ∴∠B＋∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠B＝50°∴∠BDE＝130°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，性质有两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，判定有同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．25．（江苏省徐州市丰县初级中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图．己知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2=180°．请填写∠CGD=∠CAB的理由．∵AB⊥BC,EF⊥BC∴∠ADC=90°,∠EFC=90°（____________________）∴∠ADC=∠EFC∴AD∥EF（________________________________）∴∠3+∠2=180°（________________________________）∵∠1+∠2=180°（已知）∴ ∠_________= ∠_________（____________________）∴DG∥_________（________________________________）∴∠CGD=∠CAB．【答案】见解析【分析】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2= 180°，求出∠1=∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD=∠CAB即可．【详解】解：∵AD⊥BC,EF⊥BC∴∠ADC=90°,∠EFC=90°（垂直的定义）∴∠ADC=∠EFC∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）∴∠3+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠1+∠2=180°（已知）∴ ∠1= ∠3（同角的补角相等）∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠CGD=∠CAB．故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠3；同角的补角相等；AB；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；反之亦然．26．（重庆市南川区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），∴______∥______（______），∴∠BAP＝______（______），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠FPA＝______．∴______∥______（______），∴∠E＝∠F（______）．【答案】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行； ∠APC；两直线平行,内错角相等；∠EAP；AE；PF；内错角相等,  两直线平行； 两直线平行，内错角相等【分析】根据∠BAP+∠APD=180°可得AB//CD，从而可得∠BAP＝∠APC，结合∠1=∠2根据角的和差即可得出∠FPA= ∠EAP，继而证明AE//FP后即可得出结论．【详解】证明：∵∠BAP+∠APD=180°（已知）；∴ AB ∥ CD （同旁内角互补，两直线平行）； ∴∠BAP= ∠APC （两直线平行,内错角相等）；又∵∠1=∠2（已知），∴∠FPA= ∠EAP ，∴ AE ∥ PF （ 内错角相等, 两直线平行）； ∴∠E=∠F（ 两直线平行，内错角相等）.【点睛】本题考查平行线的性质和判定，能正确识图，利用定理得出角度之间的关系是解题关键．27．（北京市通州区2021-2022年七年级下学期期末数学试题）请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．已知：如图，∠B=∠BGD，∠BGC=∠F．求证：∠B+∠F=180°．证明：∵∠B=∠BGD（已知），∴______//______(______)．∵∠BGC=∠F（已知），∴CD//EF(______)．∴AB//______(______)．∴∠B+∠F=180°(______)．【答案】AB;CD；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；EF；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°．【详解】证明：∵∠B=∠BGD（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∵∠BGC=∠F（已知），∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴AB∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠B+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：AB;CD；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；EF；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．28．（山东省青岛市市南区青岛第五十一中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，求证：AD平分∠BAC．证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∴∠ADC＝∠EGC＝90°，∴AD∥EG，（__________________）∴∠1＝∠2，（__________________）∠______＝∠3，（__________________）又∵∠E＝∠1（已知），∴______＝______∴AD平分∠BAC【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；E；两直线平行，同位角相等；∠ 2；∠ 3【分析】由AD与EG都与BC垂直，得到AD与EG平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等得到两对角相等，根据已知角相等，等量代换得到∠2＝∠3，即AD为角平分线，得证．【详解】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∴∠ADC＝∠EGC＝90°，∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）∠E ＝∠3，（两直线平行，同位角相等）∵∠E＝∠1（已知），∴ ∠2 ＝∠3 ，∴AD平分∠BAC．故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； E；两直线平行，同位角相等；∠ 2；∠ 3【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．29．（上海市静安区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知∠ED B +∠B= 180°，∠1=∠2，GF⊥AB，请填写CD⊥AB的理由解：因为∠ED B +∠B= 180°（      ）所以 ∥ （                             ）所以∠1=∠3  （                                    ）因为 = （ 已 知 ）所以∠2=∠3  （ 等量代换 ）所以 ∥ （                              ）所以∠FGB=∠CDB   （                              ）因为GF⊥AB（ 已 知 ）所以∠FGB=90° （           ）所以∠CDB =90°（           ）所以CD⊥AB   （ 垂直的意义 ）【答案】已知；DE∥BC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠1=∠2；FG∥CD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； 垂直的意义； 等量代换【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．【详解】解：因为∠EDB +∠B= 180°（已知）所以 DE ∥ BC （同旁内角互补，两直线平行）所以∠1=∠3  （两直线平行，内错角相等）因为 ∠1 = ∠2 （ 已 知 ）所以∠2=∠3  （ 等量代换 ）所以 FG ∥ CD （ 同位角相等，两直线平行 ）所以∠FGB=∠CDB   （两直线平行，同位角相等）因为GF⊥AB（ 已 知 ）所以∠FGB=90° （垂直的意义）所以∠CDB =90°（等量代换）所以CD⊥AB   （垂直的意义）【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．30．（上海七年级下学期期末精选60题（压轴版）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版））填写理由或步骤如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E因为AD∥BE　 　．所以∠A+　 　＝180°　 　．因为∠A＝∠E（已知）所以　 　+　 　＝180°　 　．所以DE∥AC　 　．所以∠1＝　 　．【答案】（已知）；∠ABE，（两直线平行，同旁内角互补）；∠ABE，∠E，（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）；∠2，（两直线平行，内错角相等）【分析】由已知的AD与BE平行，得到一对同旁内角互补，然后根据已知的两角相等，等量代换得到另一对同旁内角互补，根据同旁内角互补，两直线平行推出DE与AC平行，然后再根据两直线平行，内错角相等即可得证．【详解】解：如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，因为AD//BE（已知）所以∠A+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠A＝∠E（已知）所以∠ABE+∠E＝180°（等量代换）所以DE//AC（同旁内角互补，两直线平行）所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）故答案为：（已知）；∠ABE，（两直线平行，同旁内角互补）；∠ABE，∠E，（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）；∠2，（两直线平行，内错角相等）。【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．