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专题7.7平行线的性质与判定大题提升训练(填空型问题,重难点培优30题)-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】
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这是一份专题7.7平行线的性质与判定大题提升训练(填空型问题,重难点培优30题)-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】,文件包含专题77平行线的性质与判定大题提升训练填空型问题重难点培优30题-拔尖特训2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题原卷版苏科版docx、专题77平行线的性质与判定大题提升训练填空型问题重难点培优30题-拔尖特训2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题解析版苏科版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共49页, 欢迎下载使用。
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.7平行线的性质与判定大题提升训练(填空型问题,重难点培优)班级:___________________ 姓名:_________________ 得分:_______________注意事项:本试卷试题解答30道,共分成三个层组:基础过关题(第1-10题)、能力提升题(第11-20题)、培优压轴题(第21-30题),每个题组各10题,可以灵活选用.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 一、解答题1.(2021秋·江苏扬州·七年级校考期末)将下列证明过程补充完整:已知:如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证:AB∥CD.证明:∵CE平分∠ACD(已知),∴∠2=∠ ( ).∵∠1=∠2(已知),∴∠1=∠ ( ).∴AB∥CD( ).【答案】ECD;角平分线的性质;ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题.【详解】证明:∵CE平分∠ACD,∴∠2=∠ECD(角平分线的性质),∵∠1=∠2.(已知),∴∠1=∠ECD(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等两直线平行).故答案为:ECD;角平分线的定义;ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质,解题的关键是根据平行线的判定解答.2.(2021秋·江苏南京·七年级南师附中树人学校校考阶段练习)完成下面的推理说明:如图,AB⊥BC,垂足为点B.∠1+∠2=90°,∠2=∠3.BE与DF平行吗?为什么?解:BE//DF,理由如下:∵AB⊥BC,∴∠ABC= ,即∠3+∠4= .又∵∠1+∠2=90°,且∠2=∠3,∴ = 理由是: .∴BE//DF.理由是: .【答案】90°,90°,∠1,∠4,等角的余角相等,同位角相等,两直线平行.【分析】根据垂线的性质求出∠ABC为90°,然后根据同角的余角相等得出∠1=∠4,最后根据同位角相等,两直线平行即可证明.【详解】BE//DF,理由如下:∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,即∠3+∠4=90°,又∵∠1+∠2=90°,且∠2=∠3,∴∠1=∠4理由是:等角的余角相等,∴BE//DF.理由是:同位角相等,两直线平行【点睛】此题考查了垂线的性质,平行线的判定,等角的余角相等等知识,解题的关键是熟练掌握垂线的性质,平行线的判定,等角的余角相等.3.(2022秋·江苏·七年级专题练习)完成下面的证明.如图,AB和CD相交于点O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求证:AC∥BD.证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,又∠COA=∠BOD(① )∴∠C=② ∴AC∥BD(③ )【答案】①对顶角相等;②∠D;③内错角相等,两直线平行.【分析】先根据对顶角相等、等量代换可得∠C=∠D,再根据平行线的判定即可得证.【详解】证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,又∠COA=∠BOD(对顶角相等),∴∠C= ∠D,∴AC∥BD(内错角相等,两直线平行),故答案为:①对顶角相等;②∠D;③内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解题关键.4.(2022秋·江苏扬州·七年级校联考阶段练习)如图,点G在CD上,已知∠BAG+∠AGD=180°,EA平分∠BAG,FG平分∠AGC请说明AE∥GF的理由.解:因为∠BAG+∠AGD=180°(已知),∠AGC+∠AGD=180°(邻补角的性质),所以∠BAG=∠AGC(________________)因为EA平分∠BAG,所以∠1=12∠BAG(________________).因为FG平分∠AGC,所以∠2=12______________,得∠1=∠2(等量代换),所以_________________(________________).【答案】同角的补角相等,角平分线的定义,∠AGC,AE∥GF,内错角相等两直线平行【分析】根据补角的性质,角平分线的定义,及平行线的判定定理依次分析解答.【详解】解:因为∠BAG+∠AGD=180°(已知),∠AGC+∠AGD=180°(邻补角的性质),所以∠BAG=∠AGC(同角的补角相等)因为EA平分∠BAG,所以∠1=12∠BAG(角平分线的定义).因为FG平分∠AGC,所以∠2=12∠AGC,得∠1=∠2(等量代换),所以AE∥GF(内错角相等两直线平行),故答案为:同角的补角相等,角平分线的定义,∠AGC,AE∥GF,内错角相等两直线平行.【点睛】此题考查了平行线的判定定理,熟记补角的性质,角平分线的定义及平行线的判定定理是解题的关键.5.(2022秋·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习)完成下面的证明:如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,求证:AB∥CD.证明:∵BE平分∠ABD(已知),∴∠ABD=2∠α( )∵DE平分∠BDC(已知),∴∠BDC= ( ).∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)( )∵∠α+∠β=90°.(已知),∴∠ABD+∠BDC= ( ).∴AB∥CD( )【答案】角平分线的定义;2∠β;角平分线的定义;等量代换;180°;等量代换,同旁内角互补两直线平行【分析】首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α,∠BDC=2∠β,根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β),进而得到∠ABD+∠BDC=180°,然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案.【详解】证明:∵BE平分∠ABD(已知),∴∠ABD=2∠α(角平分线的定义)∵DE平分∠BDC(已知),∴∠BDC=2∠β(角平分线的定义).∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)(等量代换)∵∠α+∠β=90°.(已知),∴∠ABD+∠BDC=180°(等量代换),∴AB∥CD(同旁内角互补两直线平行).故答案为:角平分线的定义;2∠β;角平分线的定义;等量代换;180°;等量代换,同旁内角互补两直线平行.【点睛】此题主要考查了角平分线的定义,平行线的判定,解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法.6.(2022秋·江苏常州·七年级统考期末)填写下列空格:已知:如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证:AB∥CD.证明:∵CE平分∠ACD(已知),∴____________________(__________).∵∠1=∠2(已知),∴∠1=_______(___________________).∴ AB∥CD( ______________________ ).【答案】∠2=∠3;角平分线定义;∠3;等量代换;内错角相等,两直线平行【分析】先利用角平分线定义得∠2=∠3,从而可得出∠1=∠3,即可由平行线的判定定理得出结论.【详解】解:∵CE平分∠ACD(已知),∴ ∠2=∠3( 角平分线定义 ).∵ ∠1=∠2(已知),∴ ∠1=∠3 (等量代换).∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).故答案为:∠2=∠3;角平分线定义;∠3;等量代换;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查解增分线的定义,平行线的判定,熟练掌握平行线的判定的定理是解题的关键.7.(2022秋·江苏·七年级专题练习)已知,如图,∠ABC=∠ADC,BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.求证:AB∥DC,请根据条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.证明:∵BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知),∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ADC( ).∵∠ABC=∠ADC( ),∴∠ =∠ (等量代换).∵∠1=∠3( ),∴∠2=∠ ( ).∴AB∥DC( ).【答案】角平分线的定义;已知;1,2;已知;3,等量代换;内错角相等,两直线平行.【分析】根据题目中的证明过程,可以写出相应的推理依据,本题得以解决.【详解】证明:∵BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知),∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ADC(角平分线的定义),∵∠ABC=∠ADC(已知),∴∠1=∠2(等量代换),∵∠1=∠3(已知),∴∠2=∠3(等量代换),∴AB∥DC(内错角相等,两直线平行).故答案为:角平分线的定义;已知;1,2;已知;3,等量代换;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查平行线的判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.8.(2022秋·江苏·七年级专题练习)如图,已知∠1=∠3,CD//EF,试说明AB//EF.请将过程填写完整.证明:∵∠1=∠3又∠2=∠3(_____________)∴∠1=_______(______________)∴AB//CD(______________)又∵CD//EF∴AB//______________.【答案】对顶角相等;∠2;等量代换;同位角相等两直线平行;EF【分析】若能得到AB//CD,再由CD//EF,则可得结论,由∠2=∠3,∠1=∠3可得∠2=∠1,从而可证得AB//CD,因而问题解决.【详解】∵∠1=∠3又∠2=∠3(对顶角相等)∴∠1=∠2(等量代换)∴AB//CD(同位角相等两直线平行)又∵CD//EF∴AB//EF(平行于同一条直线的两条直线平行)故答案分别为:对顶角相等;∠2;等量代换;同位角相等两直线平行;EF.【点睛】本题考查了平行线的判定、解题的关键是掌握平行于同一直线的两条直线平行这一性质.9.(2020秋·江苏盐城·七年级校考期中)请将下列证明过程补充完整:已知:如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证:AB∥CD证明:∵CE平分∠ACD( )∴∠2=∠ ( ),∵∠1=∠2.(已知)∴∠1=∠ ( )∴AB//CD( )【答案】已知,ECD,角平分线的定义,ECD,等量代换,内错角相等两直线平行.【分析】根据平行线的判定和角平分线的定义即可解决问题.【详解】证明:∵CE平分∠ACD(已知)∴∠2=∠ECD(角平分线的定义),∵∠1=∠2.(已知)∴∠1=∠ECD(等量代换))∴AB∥CD(内错角相等两直线平行).故答案为:已知,ECD,角平分线的定义,ECD,等量代换,内错角相等两直线平行.【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.10.(2020秋·江苏连云港·七年级统考期中)如图,AB⊥BD,CD⊥BD,∠A与∠AEF互补,以下是证明CD∥EF的推理过程及理由,请你在横线上补充适当条件,完整其推理过程或理由.证明:∵AB⊥BD,CD⊥BD(已知)∴∠ABD=∠CDB= ( )∴∠ABD+∠CDB=180°∴AB∥ ( )又∠A与∠AEF互补 ( )∠A+∠AEF= ∴AB∥ ( )∴CD∥EF ( )【答案】90°;垂直的定义;CD;同旁内角互补,两直线平行;已知;180°;EF;同旁内角互补,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.【分析】根据同旁内角互补,两直线平行得出AB∥CD,AB∥EF,最后由平行于同一条直线的两条直线平行得出CD∥EF,进而得证.【详解】证明:∵AB⊥BD,CD⊥BD(已知),∴∠ABD=∠CDB=90°(垂直的定义),∴∠ABD+∠CDB=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),又∠A与∠AEF互补(已知),∠A+∠AEF=180°,∴AB∥EF(同旁内角互补,两直线平行),∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行).故答案为:90°;垂直的定义;CD;同旁内角互补,两直线平行;已知;180°;EF;同旁内角互补,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.【点睛】本题考查平行线的判定,平行公理的推论,熟练掌握平行线的判定是解题的关键.11.(山东省济南东南片区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题)如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,求∠AGD的度数.解:∵EF∥AD,∴∠2= ( ).又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3( ).∴AB∥ ( ).∴∠BAC+ =180°( ).∵∠BAC=70°,∴∠AGD= .【答案】∠3;两直线平行,同位角相等;等量代换;DG;内错角相等,两直线平行;∠AGD;两直线平行,同旁内角互补;110°【分析】根据平行线的性质和已知求出∠1=∠3,根据平行线的判定推出AB∥DG,根据平行线的性质求出∠BAC+∠DGA=180°即可.【详解】解:∵EF∥AD,∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等.)又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3(等量代换),∴AB∥DG(内错角相等,两直线平行),∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补),∵∠BAC=70°,∴∠AGD=110°.故答案为:∠3;两直线平行,同位角相等;等量代换;DG;内错角相等,两直线平行;∠AGD;两直线平行,同旁内角互补;110°.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键,注意:平行线的性质是①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补,反之亦然.12.(福建省三明市明溪县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)填空,将本题补充完整.如图,已知EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=65°.将求∠AGD的过程填写完整.解:∵EF∥AD(已知)∴∠2= ( )又∵∠1=∠2(已知)∴∠1= (等量代换)∴AB∥GD( )∴∠BAC+ =180°( )∵∠BAC=65°(已知)∴∠AGD= °【答案】∠3;两直线平行,同位角相等;∠3;内错角相等,两直线平行;∠AGD;两直线平行,同旁内角互补;115°【分析】由EF∥AD,可得∠2=∠3,由等量代换可得∠1=∠3,从而得到DG∥BA,根据平行线的性质可得∠BAC+∠AGD=180°,即可求解.【详解】解:∵EF∥AD(已知)∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠1=∠2(已知)∴∠1=∠3(等量代换)∴AB∥GD(内错角相等,两直线平行)∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠BAC=65°(已知)∴∠AGD=115°.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,此题比较简单,解题的关键是注意掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补定理;内错角相等,两直线平行的应用.13.(浙江省台州市黄岩区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题)如图,已知:∠1=∠2,∠A=∠D.求证:∠B=∠C.证明:∵∠1=∠2(已知),∴______∥______(________________________).∴∠A=∠BED(_____________________________).∵∠A=∠D(已知),∴∠BED=∠D(等量代换).∴______∥______(__________________________).∴∠B=∠C(______________________________).【答案】DE;AF;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;AB;CD;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等【分析】先通过已知条件证明DE∥AF,再由两直线平行同位角相等和等量代换证出AB∥CD,再根据两直线平行,内错角相等得出∠B=∠C.【详解】证明:∵∠1=∠2(已知),∴DE∥AF(同位角相等,两直线平行).∴∠A=∠BED(两直线平行,同位角相等).∵∠A=∠D(已知),∴∠BED=∠D(等量代换).∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).故答案为:DE;AF;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;AB;CD;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.14.(江西省南昌市江西育华学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题)如图,在△ABC中点D、E分别在AB、BC上,且DE∥AC,∠1=∠2,若AC平分∠BAF,∠B=50°,求∠1的度数.解:∵DE∥AC(已知)∴∠1=∠ ( )∵∠1=∠2(已知)∴∠C=∠2( )∴AF∥ ( )∴∠B+∠BAF=180°( )∵∠B=50°(已知)∴∠BAF=180°﹣∠B=130°(角的运算)∵AC平分∠BAF(已知)∴∠2=12∠BAF=65° ( )∵∠1=∠2(已知)∴∠1=65°( )【答案】C,两直线平行,同位角相等;等量代换;BC,内错角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;角平分线的定义;等量代换.【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠C,求出∠C=∠2,根据平行线的性质得出∠B+∠BAF=180°,求出∠BAF=130°,根据角平分线的定义求出∠2=12∠BAF=65°即可.【详解】解:∵DE∥AC(已知),∴∠1=∠C(两直线平行,同位角相等),∵∠1=∠2(已知),∴∠C=∠2(等量代换),∴AF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠B+∠BAF=180°(两直线平行,同旁内角互补),∵∠B=50°(已知),∴∠BAF=180°−∠B=130°(角的运算),∵AC平分∠BAF(已知),∴∠2=12∠BAF=65° (角平分线的定义),∵∠1=∠2(已知),∴∠1=65°(等量代换),故答案为:C,两直线平行,同位角相等;等量代换;BC,内错角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;角平分线的定义;等量代换.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,角平分线的定义等知识点,能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键.15.(重庆市忠县花桥镇初级中学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)完成下面推理过程:如图,AB∥CD,∠ABC=50°,∠CPN=150°,∠PNB=60°,∠NDC=60°,求∠BCP的度数.解:∵∠PNB=60°,∠NDC=60°,(已知)∴∠PNB=∠NDC,(等量代换)∴PN // CD,( )∴∠CPN+∠_________=180°,( )∵∠CPN=150°,(已知)∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°∵AB//CD,(已知)∴∠ABC= ∠____________,(两直线平行,内错角相等)∵∠ABC=50°,(已知)∴∠BCD=__________,(等量代换)∴ ∠BCP=∠BCD-∠PCD=____________°-30°=_________°.【答案】同位角相等,两直线平行;PCD;两直线平行,同旁内角互补;BCD;两直线平行,内错角相等;50;20.【分析】根据平行线的判定推出PN∥CD,可得∠CPN+∠PCD=180°,求出∠PCD=30°,根据平行线的性质得出∠ABC=∠BCD,求出∠BCD=50°,代入∠BCP=∠BCD−∠PCD计算即可.【详解】解:∵∠PNB=60°,∠NDC=60°,(已知)∴∠PNB=∠NDC,(等量代换)∴PN∥CD,(同位角相等,两直线平行)∴∠CPN+∠PCD=180°,(两直线平行,同旁内角互补)∵∠CPN=150°,(已知)∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°,∵AB∥CD,(已知)∴∠ABC=∠BCD,(两直线平行,内错角相等)∵∠ABC=50°,(已知)∴∠BCD=50°,(等量代换)∴∠BCP=∠BCD−∠PCD=50°−30°=20°,故答案为:同位角相等,两直线平行;PCD;两直线平行,同旁内角互补;BCD;两直线平行,内错角相等;50;20.【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用,也考查了学生的推理能力,灵活运用各性质定理是解题的关键.16.(江苏省南通市如皋初级中学2021-2022学年七年级下学期月考数学试题)请补全证明过程及推理依据.已知:如图,BC∥ED,BD平分∠ABC,EF平分∠AED.求证:BD∥EF.证明:∵BD平分∠ABC,EF平分∠AED,∴∠1=12∠AED,∠2=12∠ABC( )∵BC∥ED,∴∠AED= ( ).∴12∠AED =12∠ABC ( )∴∠1=∠2( )∴BD∥EF( )【答案】角平分线的定义;∠ABC;两直线平行,同位角相等;等量代换;等量代换;同位角相等,两直线平行.【分析】根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED,∠2=12∠ABC,根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC,求出∠1=∠2,再根据平行线的判定定理推出即可.【详解】证明:∵BD平分∠ABC,EF平分∠AED,∴∠1=12∠AED,∠2=12∠ABC(角平分线的定义),∵BC∥ED,∴∠AED=∠ABC(两直线平行,同位角相等),∴12∠AED=12∠ABC(等量代换),∴∠1=∠2(等量代换),∴BD∥EF(同位角相等,两直线平行),故答案为:角平分线的定义;∠ABC;两直线平行,同位角相等;等量代换;等量代换;同位角相等,两直线平行.【点睛】本题考查了角平分线的定义,平行线的性质定理和判定定理等知识点,能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键.17.(广东省江门市新会陈经纶中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题)完成下面的证明:如图,在四边形ABCD中,BE平分∠ABC交线段AD于点E,∠1=∠2,∠C=110°,求∠D的度数?解:∵BE平分∠ABC (已知)∴∠2=_________( )又∵∠1=∠2 (已知)∴∠1=_________( )∴AD//BC( )∴∠C+________=180°( )又∵∠C=110°(已知)∴∠D=__________.【答案】∠EBC;角平分线的性质;∠EBC;等量代换;内错角相等,两直线平行;∠D;两直线平行,同旁内角互补;70°【分析】根据角平分线的性质结合题意证得AD//BC,利用平行线的性质可求得∠D的度数.【详解】解:∵BE平分∠ABC (已知)∴∠2=∠EBC( 角平分线的性质 )又∵∠1=∠2 (已知)∴∠1=∠EBC( 等量代换 )∴AD//BC(内错角相等,两直线平行)∴∠C+∠D =180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠C=110°(已知)∴∠D=70°【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质,熟知对应的判定方法以及性质是解决本题的关键.18.(山东省日照市开发区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题)如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,求证∠1+∠2=90°.证明:∵BE平分∠ABC(已知),∴∠2= ( ),同理∠1= ,∴∠1+∠2=12 ,又∵AB∥CD(已知)∴∠ABC+∠BCD= ( ),∴∠1+∠2=90°.【答案】12∠ABC;角平分线的定义;12∠BCD;(∠ABC+∠BCD);180°;两直线平行,同旁内角互补【分析】由平行线的性质可得到∠BAC+∠ACD=180°,再结合角平分线的定义可求得∠1+∠2=90°,可得出结论,据此填空即可.【详解】证明:∵BE平分∠ABC(已知),∴∠2=12∠ABC(角平分线的定义),同理∠1=12∠BCD,∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD),又∵AB∥CD(已知)∴∠ABC+∠BCD=180°(两直线平行,同旁内角互补 ),∴∠1+∠2=90°.故答案为:12∠ABC;角平分线的定义;12∠BCD;(∠ABC+∠BCD);180°;两直线平行,同旁内角互补.【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,是基础题,熟记性质是解题的关键.19.(北京市石景山区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题)如图,已知∠AOB=120°,OP平分∠AOB.反向延长射线OA至C.(1)依题意画出图形,直接写出∠BOC的度数_______°.(2)完成下列证明过程:证明:如图,∵OP是∠AOB的平分线,∴∠AOP=12∠_______.(_______)∵∠AOB=120°,∴∠AOP=_______°.∵∠BOC=_______°.∴∠AOP=∠BOC.(_________)【答案】(1)画图见解析,60;(2)AOB,角平分线的定义,60,60,等量代换【分析】(1)根据题意画出图形即可,利用平角的定义以及角的和差即可求得∠BOC的度数;(2)利用角平分线的定义求得∠AOP=60°,即可证明∠AOP=∠BOC.【详解】解:(1)画出图形如图所示, ∵∠AOB=120°,且∠AOC=180°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°,故答案为:60;(2)证明:如图,∵OP是∠AOB的平分线,∴∠AOP=12∠AOB.(角平分线的定义)∵∠AOB=120°,∴∠AOP=60°.∵∠BOC=60°.∴∠AOP=∠BOC.(等量代换)故答案为:AOB,角平分线的定义,60,60,等量代换.【点睛】本题考查了角平分线的定义,掌握角平分线的定义、根据图形正确计算是解题的关键.20.(山西省大同市广灵县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题)已知:如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.求证:AB//DC.证明:∵∠ABC=∠ADC,∴12∠ABC=12∠ADC.( )又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ADC.( )∵∠______=∠______.( )∵∠1=∠3,( )∴∠2=______.(等量代换)∴______//______.( )【答案】等式的性质;角平分线的定义;1;2;等量代换;已知;3;AB ;DC ;内错角相等,两直线平行【分析】由∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,可得∠1=∠2,又由∠1=∠3,得到∠2=∠3,从而得到AB//DC.【详解】证明:∵∠ABC=∠ADC,∴12∠ABC=12∠ADC,( 等式的性质 )又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ADC,(角平分线的定义 )∵∠1=∠2,( 等量代换 )∵∠1=∠3,( 已知 )∴∠2=∠3(等量代换)∴AB//DC .(内错角相等,两直线平行 )【点睛】本题主要考查了平行线的判定,角平分线的定义,熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.21.(河南省周口市鹿邑县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题)将下列推理过程依据补充完整.如图,已知CD平分∠ACB,AC//DE,CD//EF求证:EF平分∠DEB证明:∵CD平分∠ACB(已知)∴∠DCA=∠DCE(角平分线的定义)∵AC//DE(已知)∴∠DCA=∠CDE(________________________________)∴∠DCE=∠CDE(等量代换)∵CD//EF(已知)∴________________=∠CDE(________________________________)∴∠DCE=∠BEF(________________________________)∴∠DEF=________________(等量代换)∴EF平分∠DEB(角平分线的定义)【答案】两直线平行,内错角相等;∠DEF;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同位角相等;∠BEF.【分析】根据角平分线的定义可得∠DCA=∠DCE,再由AC//DE可得∠DCA=∠CDE,从而∠DCE=∠CDE,又由CD//EF,得到∠DEF =∠CDE,∠DCE=∠BEF,即可求证.【详解】证明:∵CD平分∠ACB(已知)∴∠DCA=∠DCE(角平分线的定义)∵AC//DE(已知)∴∠DCA=∠CDE(两直线平行,内错角相等)∴∠DCE=∠CDE(等量代换)∵CD//EF(已知)∴∠DEF =∠CDE(两直线平行,内错角相等)∴∠DCE=∠BEF(两直线平行,同位角相等)∴∠DEF= ∠BEF(等量代换)∴EF平分∠DEB(角平分线的定义).【点睛】本题主要考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.22.(四川省广安市邻水县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题)已知: 如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.求: ∠AGD的度数解: 因为 EF//AD (已知)所以 ∠2=__ __ ( 两条直线平行,同位角相等 )又因为 ∠1=∠2 (已知) 所以 ∠1=∠3 ( 等量代换 )所以 //__ ___ ( 内错角相等,两直线平行 )所以 ∠BAC+___ ___=180°(_________ ____ ______________)因为 ∠BAC=70° (已知)所以 ∠AGD=110°【答案】∠3 AB DG ∠AGD 两直线平行,同旁内角互补【分析】根据平行线性质推出∠2=∠3,根据平行线判定推出AB//DG,根据平行线判定推出∠BAC+∠AGD=180°,求出即可.【详解】解:因为EF//AD(已知),所以 ∠2 =∠3(两直线平行,同位角相等),又因为 ∠1 = ∠2(已知),所以 ∠1 = ∠3(等量代换),所以AB//DG(内错角相等,两直线平行),所以∠BAC + ∠AGD = 180°(两直线平行,同旁内角互补),又因为∠BAC = 70°(已知),所以∠AGD =110°,故答案为:∠3 AB DG ∠AGD 两直线平行,同旁内角互补.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的性质定理与判定定理是解题的关键.23.(重庆市江津区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(B卷))如图,直线PQ分别与直线AB、CD交于点E、点F,∠1=∠2,射线EM、EN分别与直线CD交于点M、N,且EM⊥EN,则∠3与∠4有何数量关系,并给出证明.请你将以下证明过程补充完整.解:∵∠1=∠2,∴______(同位角相等,两直线平行)∴∠4=______(两直线平行,内错角相等).∵EM⊥EN,∴______=90°.∵∠MEB=∠3+______,∴______.【答案】AB∥CD;∠BEM;∠MEN;∠MEN;∠4−∠3=90°【分析】利用平行线的判定及性质解答即可.【详解】解:∠4与∠3的数量关系为∠4−∠3=90°,理由如下:∵∠1=∠2(已知),∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).∴∠4=∠BEM(两直线平行,内错角相等).∵EM⊥EN(已知),∴∠MEN=90°(垂直的定义).∵∠BEM−∠3=∠MEN,∴∠4−∠3=90°.【点睛】本题考查平行线的判定及性质,垂直,解题的关键是熟练掌握平行线的判定及性质.24.(河南省信阳市淮滨县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)完成下面的求解过程.如图,FG∥CD,∠1=∠3,∠B=50°,求∠BDE的度数.解:因为FG∥CD( ),所以∠2= ( )又因为∠1=∠3,所以∠3=∠2( ),所以BC∥ ( ),所以∠B+ =180°( ).又因为∠B=50°,所以∠BDE= .【答案】见解析【分析】分别利用平行线的性质和判定即可求解.【详解】解:∵FG∥CD(已知)∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等)又∵∠1=∠3,∴∠3=∠2(等量代换)∴BC∥DE(内错角相等,两直线平行) ∴∠B+∠BDE=180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠B=50°∴∠BDE=130°.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,性质有两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等,两直线平行同旁内角互补,判定有同位角相等两直线平行,内错角相等两直线平行,同旁内角互补两直线平行.25.(江苏省徐州市丰县初级中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题)如图.己知AD⊥BC,垂足为点D,EF⊥BC,垂足为点F,∠1+∠2=180°.请填写∠CGD=∠CAB的理由.∵AB⊥BC,EF⊥BC∴∠ADC=90°,∠EFC=90°(____________________)∴∠ADC=∠EFC∴AD∥EF(________________________________)∴∠3+∠2=180°(________________________________)∵∠1+∠2=180°(已知)∴ ∠_________= ∠_________(____________________)∴DG∥_________(________________________________)∴∠CGD=∠CAB.【答案】见解析【分析】根据同位角相等,两直线平行得出AD∥EF,根据平行线的性质得出∠3+∠2= 180°,求出∠1=∠3,根据平行线的判定得出DG∥AB,根据平行线的性质得出∠CGD=∠CAB即可.【详解】解:∵AD⊥BC,EF⊥BC∴∠ADC=90°,∠EFC=90°(垂直的定义)∴∠ADC=∠EFC∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行)∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠1+∠2=180°(已知)∴ ∠1= ∠3(同角的补角相等)∴DG∥AB(内错角相等,两直线平行)∴∠CGD=∠CAB.故答案为:垂直的定义;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;∠3;同角的补角相等;AB;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,垂直定义,补角定义的应用,能综合运用定理进行推理是解此题的关键,注意平行线的性质有:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补;反之亦然.26.(重庆市南川区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)如图,∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2,求证:∠E=∠F.证明:∵∠BAP+∠APD=180°(已知),∴______∥______(______),∴∠BAP=______(______),又∵∠1=∠2(已知),∴∠FPA=______.∴______∥______(______),∴∠E=∠F(______).【答案】AB;CD;同旁内角互补,两直线平行; ∠APC;两直线平行,内错角相等;∠EAP;AE;PF;内错角相等, 两直线平行; 两直线平行,内错角相等【分析】根据∠BAP+∠APD=180°可得AB//CD,从而可得∠BAP=∠APC,结合∠1=∠2根据角的和差即可得出∠FPA= ∠EAP,继而证明AE//FP后即可得出结论.【详解】证明:∵∠BAP+∠APD=180°(已知);∴ AB ∥ CD (同旁内角互补,两直线平行); ∴∠BAP= ∠APC (两直线平行,内错角相等);又∵∠1=∠2(已知),∴∠FPA= ∠EAP ,∴ AE ∥ PF ( 内错角相等, 两直线平行); ∴∠E=∠F( 两直线平行,内错角相等).【点睛】本题考查平行线的性质和判定,能正确识图,利用定理得出角度之间的关系是解题关键.27.(北京市通州区2021-2022年七年级下学期期末数学试题)请在下列空格内填写结论或理由,完成推理过程.已知:如图,∠B=∠BGD,∠BGC=∠F.求证:∠B+∠F=180°.证明:∵∠B=∠BGD(已知),∴______//______(______).∵∠BGC=∠F(已知),∴CD//EF(______).∴AB//______(______).∴∠B+∠F=180°(______).【答案】AB;CD;内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行;EF;平行于同一条直线的两直线平行;两直线平行,同旁内角互补【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD,CD∥EF,再利用平行线的性质即可得到AB∥EF,从而可证得∠B+∠F=180°.【详解】证明:∵∠B=∠BGD(已知),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).∵∠BGC=∠F(已知),∴CD∥EF(同位角相等,两直线平行).∴AB∥EF(平行于同一条直线的两直线平行).∴∠B+∠F=180°(两直线平行,同旁内角互补).故答案为:AB;CD;内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行;EF;平行于同一条直线的两直线平行;两直线平行,同旁内角互补【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质,解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质,并灵活运用.28.(山东省青岛市市南区青岛第五十一中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)已知:如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1,求证:AD平分∠BAC.证明:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∴∠ADC=∠EGC=90°,∴AD∥EG,(__________________)∴∠1=∠2,(__________________)∠______=∠3,(__________________)又∵∠E=∠1(已知),∴______=______∴AD平分∠BAC【答案】同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;E;两直线平行,同位角相等;∠ 2;∠ 3【分析】由AD与EG都与BC垂直,得到AD与EG平行,利用两直线平行内错角相等,同位角相等得到两对角相等,根据已知角相等,等量代换得到∠2=∠3,即AD为角平分线,得证.【详解】证明:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∴∠ADC=∠EGC=90°,∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行)∴∠1=∠2,(两直线平行,内错角相等)∠E =∠3,(两直线平行,同位角相等)∵∠E=∠1(已知),∴ ∠2 =∠3 ,∴AD平分∠BAC.故答案为:同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等; E;两直线平行,同位角相等;∠ 2;∠ 3【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.29.(上海市静安区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)如图,已知∠ED B +∠B= 180°,∠1=∠2,GF⊥AB,请填写CD⊥AB的理由解:因为∠ED B +∠B= 180°( )所以 ∥ ( )所以∠1=∠3 ( )因为 = ( 已 知 )所以∠2=∠3 ( 等量代换 )所以 ∥ ( )所以∠FGB=∠CDB ( )因为GF⊥AB( 已 知 )所以∠FGB=90° ( )所以∠CDB =90°( )所以CD⊥AB ( 垂直的意义 )【答案】已知;DE∥BC;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等;∠1=∠2;FG∥CD;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等; 垂直的意义; 等量代换【分析】根据平行线的判定和性质解答即可.【详解】解:因为∠EDB +∠B= 180°(已知)所以 DE ∥ BC (同旁内角互补,两直线平行)所以∠1=∠3 (两直线平行,内错角相等)因为 ∠1 = ∠2 ( 已 知 )所以∠2=∠3 ( 等量代换 )所以 FG ∥ CD ( 同位角相等,两直线平行 )所以∠FGB=∠CDB (两直线平行,同位角相等)因为GF⊥AB( 已 知 )所以∠FGB=90° (垂直的意义)所以∠CDB =90°(等量代换)所以CD⊥AB (垂直的意义)【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质,垂直的定义,掌握平行线的判定和性质是解题的关键.30.(上海七年级下学期期末精选60题(压轴版)-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略(沪教版))填写理由或步骤如图,已知AD∥BE,∠A=∠E因为AD∥BE .所以∠A+ =180° .因为∠A=∠E(已知)所以 + =180° .所以DE∥AC .所以∠1= .【答案】(已知);∠ABE,(两直线平行,同旁内角互补);∠ABE,∠E,(等量代换);(同旁内角互补,两直线平行);∠2,(两直线平行,内错角相等)【分析】由已知的AD与BE平行,得到一对同旁内角互补,然后根据已知的两角相等,等量代换得到另一对同旁内角互补,根据同旁内角互补,两直线平行推出DE与AC平行,然后再根据两直线平行,内错角相等即可得证.【详解】解:如图,已知AD∥BE,∠A=∠E,因为AD//BE(已知)所以∠A+∠ABE=180°(两直线平行,同旁内角互补)因为∠A=∠E(已知)所以∠ABE+∠E=180°(等量代换)所以DE//AC(同旁内角互补,两直线平行)所以∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)故答案为:(已知);∠ABE,(两直线平行,同旁内角互补);∠ABE,∠E,(等量代换);(同旁内角互补,两直线平行);∠2,(两直线平行,内错角相等)。【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,培养了学生发现问题,分析问题,解决问题的能力.解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.7平行线的性质与判定大题提升训练(填空型问题,重难点培优)班级:___________________ 姓名:_________________ 得分:_______________注意事项:本试卷试题解答30道,共分成三个层组:基础过关题(第1-10题)、能力提升题(第11-20题)、培优压轴题(第21-30题),每个题组各10题,可以灵活选用.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 一、解答题1.(2021秋·江苏扬州·七年级校考期末)将下列证明过程补充完整:已知:如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证:AB∥CD.证明:∵CE平分∠ACD(已知),∴∠2=∠ ( ).∵∠1=∠2(已知),∴∠1=∠ ( ).∴AB∥CD( ).【答案】ECD;角平分线的性质;ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题.【详解】证明:∵CE平分∠ACD,∴∠2=∠ECD(角平分线的性质),∵∠1=∠2.(已知),∴∠1=∠ECD(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等两直线平行).故答案为:ECD;角平分线的定义;ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质,解题的关键是根据平行线的判定解答.2.(2021秋·江苏南京·七年级南师附中树人学校校考阶段练习)完成下面的推理说明:如图,AB⊥BC,垂足为点B.∠1+∠2=90°,∠2=∠3.BE与DF平行吗?为什么?解:BE//DF,理由如下:∵AB⊥BC,∴∠ABC= ,即∠3+∠4= .又∵∠1+∠2=90°,且∠2=∠3,∴ = 理由是: .∴BE//DF.理由是: .【答案】90°,90°,∠1,∠4,等角的余角相等,同位角相等,两直线平行.【分析】根据垂线的性质求出∠ABC为90°,然后根据同角的余角相等得出∠1=∠4,最后根据同位角相等,两直线平行即可证明.【详解】BE//DF,理由如下:∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,即∠3+∠4=90°,又∵∠1+∠2=90°,且∠2=∠3,∴∠1=∠4理由是:等角的余角相等,∴BE//DF.理由是:同位角相等,两直线平行【点睛】此题考查了垂线的性质,平行线的判定,等角的余角相等等知识,解题的关键是熟练掌握垂线的性质,平行线的判定,等角的余角相等.3.(2022秋·江苏·七年级专题练习)完成下面的证明.如图,AB和CD相交于点O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求证:AC∥BD.证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,又∠COA=∠BOD(① )∴∠C=② ∴AC∥BD(③ )【答案】①对顶角相等;②∠D;③内错角相等,两直线平行.【分析】先根据对顶角相等、等量代换可得∠C=∠D,再根据平行线的判定即可得证.【详解】证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,又∠COA=∠BOD(对顶角相等),∴∠C= ∠D,∴AC∥BD(内错角相等,两直线平行),故答案为:①对顶角相等;②∠D;③内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解题关键.4.(2022秋·江苏扬州·七年级校联考阶段练习)如图,点G在CD上,已知∠BAG+∠AGD=180°,EA平分∠BAG,FG平分∠AGC请说明AE∥GF的理由.解:因为∠BAG+∠AGD=180°(已知),∠AGC+∠AGD=180°(邻补角的性质),所以∠BAG=∠AGC(________________)因为EA平分∠BAG,所以∠1=12∠BAG(________________).因为FG平分∠AGC,所以∠2=12______________,得∠1=∠2(等量代换),所以_________________(________________).【答案】同角的补角相等,角平分线的定义,∠AGC,AE∥GF,内错角相等两直线平行【分析】根据补角的性质,角平分线的定义,及平行线的判定定理依次分析解答.【详解】解:因为∠BAG+∠AGD=180°(已知),∠AGC+∠AGD=180°(邻补角的性质),所以∠BAG=∠AGC(同角的补角相等)因为EA平分∠BAG,所以∠1=12∠BAG(角平分线的定义).因为FG平分∠AGC,所以∠2=12∠AGC,得∠1=∠2(等量代换),所以AE∥GF(内错角相等两直线平行),故答案为:同角的补角相等,角平分线的定义,∠AGC,AE∥GF,内错角相等两直线平行.【点睛】此题考查了平行线的判定定理,熟记补角的性质,角平分线的定义及平行线的判定定理是解题的关键.5.(2022秋·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习)完成下面的证明:如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,求证:AB∥CD.证明:∵BE平分∠ABD(已知),∴∠ABD=2∠α( )∵DE平分∠BDC(已知),∴∠BDC= ( ).∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)( )∵∠α+∠β=90°.(已知),∴∠ABD+∠BDC= ( ).∴AB∥CD( )【答案】角平分线的定义;2∠β;角平分线的定义;等量代换;180°;等量代换,同旁内角互补两直线平行【分析】首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α,∠BDC=2∠β,根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β),进而得到∠ABD+∠BDC=180°,然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案.【详解】证明:∵BE平分∠ABD(已知),∴∠ABD=2∠α(角平分线的定义)∵DE平分∠BDC(已知),∴∠BDC=2∠β(角平分线的定义).∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)(等量代换)∵∠α+∠β=90°.(已知),∴∠ABD+∠BDC=180°(等量代换),∴AB∥CD(同旁内角互补两直线平行).故答案为:角平分线的定义;2∠β;角平分线的定义;等量代换;180°;等量代换,同旁内角互补两直线平行.【点睛】此题主要考查了角平分线的定义,平行线的判定,解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法.6.(2022秋·江苏常州·七年级统考期末)填写下列空格:已知:如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证:AB∥CD.证明:∵CE平分∠ACD(已知),∴____________________(__________).∵∠1=∠2(已知),∴∠1=_______(___________________).∴ AB∥CD( ______________________ ).【答案】∠2=∠3;角平分线定义;∠3;等量代换;内错角相等,两直线平行【分析】先利用角平分线定义得∠2=∠3,从而可得出∠1=∠3,即可由平行线的判定定理得出结论.【详解】解:∵CE平分∠ACD(已知),∴ ∠2=∠3( 角平分线定义 ).∵ ∠1=∠2(已知),∴ ∠1=∠3 (等量代换).∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).故答案为:∠2=∠3;角平分线定义;∠3;等量代换;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查解增分线的定义,平行线的判定,熟练掌握平行线的判定的定理是解题的关键.7.(2022秋·江苏·七年级专题练习)已知,如图,∠ABC=∠ADC,BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.求证:AB∥DC,请根据条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.证明:∵BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知),∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ADC( ).∵∠ABC=∠ADC( ),∴∠ =∠ (等量代换).∵∠1=∠3( ),∴∠2=∠ ( ).∴AB∥DC( ).【答案】角平分线的定义;已知;1,2;已知;3,等量代换;内错角相等,两直线平行.【分析】根据题目中的证明过程,可以写出相应的推理依据,本题得以解决.【详解】证明:∵BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知),∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ADC(角平分线的定义),∵∠ABC=∠ADC(已知),∴∠1=∠2(等量代换),∵∠1=∠3(已知),∴∠2=∠3(等量代换),∴AB∥DC(内错角相等,两直线平行).故答案为:角平分线的定义;已知;1,2;已知;3,等量代换;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查平行线的判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.8.(2022秋·江苏·七年级专题练习)如图,已知∠1=∠3,CD//EF,试说明AB//EF.请将过程填写完整.证明:∵∠1=∠3又∠2=∠3(_____________)∴∠1=_______(______________)∴AB//CD(______________)又∵CD//EF∴AB//______________.【答案】对顶角相等;∠2;等量代换;同位角相等两直线平行;EF【分析】若能得到AB//CD,再由CD//EF,则可得结论,由∠2=∠3,∠1=∠3可得∠2=∠1,从而可证得AB//CD,因而问题解决.【详解】∵∠1=∠3又∠2=∠3(对顶角相等)∴∠1=∠2(等量代换)∴AB//CD(同位角相等两直线平行)又∵CD//EF∴AB//EF(平行于同一条直线的两条直线平行)故答案分别为:对顶角相等;∠2;等量代换;同位角相等两直线平行;EF.【点睛】本题考查了平行线的判定、解题的关键是掌握平行于同一直线的两条直线平行这一性质.9.(2020秋·江苏盐城·七年级校考期中)请将下列证明过程补充完整:已知:如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证:AB∥CD证明:∵CE平分∠ACD( )∴∠2=∠ ( ),∵∠1=∠2.(已知)∴∠1=∠ ( )∴AB//CD( )【答案】已知,ECD,角平分线的定义,ECD,等量代换,内错角相等两直线平行.【分析】根据平行线的判定和角平分线的定义即可解决问题.【详解】证明:∵CE平分∠ACD(已知)∴∠2=∠ECD(角平分线的定义),∵∠1=∠2.(已知)∴∠1=∠ECD(等量代换))∴AB∥CD(内错角相等两直线平行).故答案为:已知,ECD,角平分线的定义,ECD,等量代换,内错角相等两直线平行.【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.10.(2020秋·江苏连云港·七年级统考期中)如图,AB⊥BD,CD⊥BD,∠A与∠AEF互补,以下是证明CD∥EF的推理过程及理由,请你在横线上补充适当条件,完整其推理过程或理由.证明:∵AB⊥BD,CD⊥BD(已知)∴∠ABD=∠CDB= ( )∴∠ABD+∠CDB=180°∴AB∥ ( )又∠A与∠AEF互补 ( )∠A+∠AEF= ∴AB∥ ( )∴CD∥EF ( )【答案】90°;垂直的定义;CD;同旁内角互补,两直线平行;已知;180°;EF;同旁内角互补,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.【分析】根据同旁内角互补,两直线平行得出AB∥CD,AB∥EF,最后由平行于同一条直线的两条直线平行得出CD∥EF,进而得证.【详解】证明:∵AB⊥BD,CD⊥BD(已知),∴∠ABD=∠CDB=90°(垂直的定义),∴∠ABD+∠CDB=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),又∠A与∠AEF互补(已知),∠A+∠AEF=180°,∴AB∥EF(同旁内角互补,两直线平行),∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行).故答案为:90°;垂直的定义;CD;同旁内角互补,两直线平行;已知;180°;EF;同旁内角互补,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.【点睛】本题考查平行线的判定,平行公理的推论,熟练掌握平行线的判定是解题的关键.11.(山东省济南东南片区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题)如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,求∠AGD的度数.解:∵EF∥AD,∴∠2= ( ).又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3( ).∴AB∥ ( ).∴∠BAC+ =180°( ).∵∠BAC=70°,∴∠AGD= .【答案】∠3;两直线平行,同位角相等;等量代换;DG;内错角相等,两直线平行;∠AGD;两直线平行,同旁内角互补;110°【分析】根据平行线的性质和已知求出∠1=∠3,根据平行线的判定推出AB∥DG,根据平行线的性质求出∠BAC+∠DGA=180°即可.【详解】解:∵EF∥AD,∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等.)又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3(等量代换),∴AB∥DG(内错角相等,两直线平行),∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补),∵∠BAC=70°,∴∠AGD=110°.故答案为:∠3;两直线平行,同位角相等;等量代换;DG;内错角相等,两直线平行;∠AGD;两直线平行,同旁内角互补;110°.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键,注意:平行线的性质是①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补,反之亦然.12.(福建省三明市明溪县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)填空,将本题补充完整.如图,已知EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=65°.将求∠AGD的过程填写完整.解:∵EF∥AD(已知)∴∠2= ( )又∵∠1=∠2(已知)∴∠1= (等量代换)∴AB∥GD( )∴∠BAC+ =180°( )∵∠BAC=65°(已知)∴∠AGD= °【答案】∠3;两直线平行,同位角相等;∠3;内错角相等,两直线平行;∠AGD;两直线平行,同旁内角互补;115°【分析】由EF∥AD,可得∠2=∠3,由等量代换可得∠1=∠3,从而得到DG∥BA,根据平行线的性质可得∠BAC+∠AGD=180°,即可求解.【详解】解:∵EF∥AD(已知)∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠1=∠2(已知)∴∠1=∠3(等量代换)∴AB∥GD(内错角相等,两直线平行)∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠BAC=65°(已知)∴∠AGD=115°.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,此题比较简单,解题的关键是注意掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补定理;内错角相等,两直线平行的应用.13.(浙江省台州市黄岩区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题)如图,已知:∠1=∠2,∠A=∠D.求证:∠B=∠C.证明:∵∠1=∠2(已知),∴______∥______(________________________).∴∠A=∠BED(_____________________________).∵∠A=∠D(已知),∴∠BED=∠D(等量代换).∴______∥______(__________________________).∴∠B=∠C(______________________________).【答案】DE;AF;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;AB;CD;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等【分析】先通过已知条件证明DE∥AF,再由两直线平行同位角相等和等量代换证出AB∥CD,再根据两直线平行,内错角相等得出∠B=∠C.【详解】证明:∵∠1=∠2(已知),∴DE∥AF(同位角相等,两直线平行).∴∠A=∠BED(两直线平行,同位角相等).∵∠A=∠D(已知),∴∠BED=∠D(等量代换).∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).故答案为:DE;AF;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;AB;CD;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.14.(江西省南昌市江西育华学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题)如图,在△ABC中点D、E分别在AB、BC上,且DE∥AC,∠1=∠2,若AC平分∠BAF,∠B=50°,求∠1的度数.解:∵DE∥AC(已知)∴∠1=∠ ( )∵∠1=∠2(已知)∴∠C=∠2( )∴AF∥ ( )∴∠B+∠BAF=180°( )∵∠B=50°(已知)∴∠BAF=180°﹣∠B=130°(角的运算)∵AC平分∠BAF(已知)∴∠2=12∠BAF=65° ( )∵∠1=∠2(已知)∴∠1=65°( )【答案】C,两直线平行,同位角相等;等量代换;BC,内错角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;角平分线的定义;等量代换.【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠C,求出∠C=∠2,根据平行线的性质得出∠B+∠BAF=180°,求出∠BAF=130°,根据角平分线的定义求出∠2=12∠BAF=65°即可.【详解】解:∵DE∥AC(已知),∴∠1=∠C(两直线平行,同位角相等),∵∠1=∠2(已知),∴∠C=∠2(等量代换),∴AF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠B+∠BAF=180°(两直线平行,同旁内角互补),∵∠B=50°(已知),∴∠BAF=180°−∠B=130°(角的运算),∵AC平分∠BAF(已知),∴∠2=12∠BAF=65° (角平分线的定义),∵∠1=∠2(已知),∴∠1=65°(等量代换),故答案为:C,两直线平行,同位角相等;等量代换;BC,内错角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;角平分线的定义;等量代换.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,角平分线的定义等知识点,能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键.15.(重庆市忠县花桥镇初级中学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)完成下面推理过程:如图,AB∥CD,∠ABC=50°,∠CPN=150°,∠PNB=60°,∠NDC=60°,求∠BCP的度数.解:∵∠PNB=60°,∠NDC=60°,(已知)∴∠PNB=∠NDC,(等量代换)∴PN // CD,( )∴∠CPN+∠_________=180°,( )∵∠CPN=150°,(已知)∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°∵AB//CD,(已知)∴∠ABC= ∠____________,(两直线平行,内错角相等)∵∠ABC=50°,(已知)∴∠BCD=__________,(等量代换)∴ ∠BCP=∠BCD-∠PCD=____________°-30°=_________°.【答案】同位角相等,两直线平行;PCD;两直线平行,同旁内角互补;BCD;两直线平行,内错角相等;50;20.【分析】根据平行线的判定推出PN∥CD,可得∠CPN+∠PCD=180°,求出∠PCD=30°,根据平行线的性质得出∠ABC=∠BCD,求出∠BCD=50°,代入∠BCP=∠BCD−∠PCD计算即可.【详解】解:∵∠PNB=60°,∠NDC=60°,(已知)∴∠PNB=∠NDC,(等量代换)∴PN∥CD,(同位角相等,两直线平行)∴∠CPN+∠PCD=180°,(两直线平行,同旁内角互补)∵∠CPN=150°,(已知)∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°,∵AB∥CD,(已知)∴∠ABC=∠BCD,(两直线平行,内错角相等)∵∠ABC=50°,(已知)∴∠BCD=50°,(等量代换)∴∠BCP=∠BCD−∠PCD=50°−30°=20°,故答案为:同位角相等,两直线平行;PCD;两直线平行,同旁内角互补;BCD;两直线平行,内错角相等;50;20.【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用,也考查了学生的推理能力,灵活运用各性质定理是解题的关键.16.(江苏省南通市如皋初级中学2021-2022学年七年级下学期月考数学试题)请补全证明过程及推理依据.已知:如图,BC∥ED,BD平分∠ABC,EF平分∠AED.求证:BD∥EF.证明:∵BD平分∠ABC,EF平分∠AED,∴∠1=12∠AED,∠2=12∠ABC( )∵BC∥ED,∴∠AED= ( ).∴12∠AED =12∠ABC ( )∴∠1=∠2( )∴BD∥EF( )【答案】角平分线的定义;∠ABC;两直线平行,同位角相等;等量代换;等量代换;同位角相等,两直线平行.【分析】根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED,∠2=12∠ABC,根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC,求出∠1=∠2,再根据平行线的判定定理推出即可.【详解】证明:∵BD平分∠ABC,EF平分∠AED,∴∠1=12∠AED,∠2=12∠ABC(角平分线的定义),∵BC∥ED,∴∠AED=∠ABC(两直线平行,同位角相等),∴12∠AED=12∠ABC(等量代换),∴∠1=∠2(等量代换),∴BD∥EF(同位角相等,两直线平行),故答案为:角平分线的定义;∠ABC;两直线平行,同位角相等;等量代换;等量代换;同位角相等,两直线平行.【点睛】本题考查了角平分线的定义,平行线的性质定理和判定定理等知识点,能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键.17.(广东省江门市新会陈经纶中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题)完成下面的证明:如图,在四边形ABCD中,BE平分∠ABC交线段AD于点E,∠1=∠2,∠C=110°,求∠D的度数?解:∵BE平分∠ABC (已知)∴∠2=_________( )又∵∠1=∠2 (已知)∴∠1=_________( )∴AD//BC( )∴∠C+________=180°( )又∵∠C=110°(已知)∴∠D=__________.【答案】∠EBC;角平分线的性质;∠EBC;等量代换;内错角相等,两直线平行;∠D;两直线平行,同旁内角互补;70°【分析】根据角平分线的性质结合题意证得AD//BC,利用平行线的性质可求得∠D的度数.【详解】解:∵BE平分∠ABC (已知)∴∠2=∠EBC( 角平分线的性质 )又∵∠1=∠2 (已知)∴∠1=∠EBC( 等量代换 )∴AD//BC(内错角相等,两直线平行)∴∠C+∠D =180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠C=110°(已知)∴∠D=70°【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质,熟知对应的判定方法以及性质是解决本题的关键.18.(山东省日照市开发区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题)如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,求证∠1+∠2=90°.证明:∵BE平分∠ABC(已知),∴∠2= ( ),同理∠1= ,∴∠1+∠2=12 ,又∵AB∥CD(已知)∴∠ABC+∠BCD= ( ),∴∠1+∠2=90°.【答案】12∠ABC;角平分线的定义;12∠BCD;(∠ABC+∠BCD);180°;两直线平行,同旁内角互补【分析】由平行线的性质可得到∠BAC+∠ACD=180°,再结合角平分线的定义可求得∠1+∠2=90°,可得出结论,据此填空即可.【详解】证明:∵BE平分∠ABC(已知),∴∠2=12∠ABC(角平分线的定义),同理∠1=12∠BCD,∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD),又∵AB∥CD(已知)∴∠ABC+∠BCD=180°(两直线平行,同旁内角互补 ),∴∠1+∠2=90°.故答案为:12∠ABC;角平分线的定义;12∠BCD;(∠ABC+∠BCD);180°;两直线平行,同旁内角互补.【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,是基础题,熟记性质是解题的关键.19.(北京市石景山区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题)如图,已知∠AOB=120°,OP平分∠AOB.反向延长射线OA至C.(1)依题意画出图形,直接写出∠BOC的度数_______°.(2)完成下列证明过程:证明:如图,∵OP是∠AOB的平分线,∴∠AOP=12∠_______.(_______)∵∠AOB=120°,∴∠AOP=_______°.∵∠BOC=_______°.∴∠AOP=∠BOC.(_________)【答案】(1)画图见解析,60;(2)AOB,角平分线的定义,60,60,等量代换【分析】(1)根据题意画出图形即可,利用平角的定义以及角的和差即可求得∠BOC的度数;(2)利用角平分线的定义求得∠AOP=60°,即可证明∠AOP=∠BOC.【详解】解:(1)画出图形如图所示, ∵∠AOB=120°,且∠AOC=180°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°,故答案为:60;(2)证明:如图,∵OP是∠AOB的平分线,∴∠AOP=12∠AOB.(角平分线的定义)∵∠AOB=120°,∴∠AOP=60°.∵∠BOC=60°.∴∠AOP=∠BOC.(等量代换)故答案为:AOB,角平分线的定义,60,60,等量代换.【点睛】本题考查了角平分线的定义,掌握角平分线的定义、根据图形正确计算是解题的关键.20.(山西省大同市广灵县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题)已知:如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.求证:AB//DC.证明:∵∠ABC=∠ADC,∴12∠ABC=12∠ADC.( )又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ADC.( )∵∠______=∠______.( )∵∠1=∠3,( )∴∠2=______.(等量代换)∴______//______.( )【答案】等式的性质;角平分线的定义;1;2;等量代换;已知;3;AB ;DC ;内错角相等,两直线平行【分析】由∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,可得∠1=∠2,又由∠1=∠3,得到∠2=∠3,从而得到AB//DC.【详解】证明:∵∠ABC=∠ADC,∴12∠ABC=12∠ADC,( 等式的性质 )又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ADC,(角平分线的定义 )∵∠1=∠2,( 等量代换 )∵∠1=∠3,( 已知 )∴∠2=∠3(等量代换)∴AB//DC .(内错角相等,两直线平行 )【点睛】本题主要考查了平行线的判定,角平分线的定义,熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.21.(河南省周口市鹿邑县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题)将下列推理过程依据补充完整.如图,已知CD平分∠ACB,AC//DE,CD//EF求证:EF平分∠DEB证明:∵CD平分∠ACB(已知)∴∠DCA=∠DCE(角平分线的定义)∵AC//DE(已知)∴∠DCA=∠CDE(________________________________)∴∠DCE=∠CDE(等量代换)∵CD//EF(已知)∴________________=∠CDE(________________________________)∴∠DCE=∠BEF(________________________________)∴∠DEF=________________(等量代换)∴EF平分∠DEB(角平分线的定义)【答案】两直线平行,内错角相等;∠DEF;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同位角相等;∠BEF.【分析】根据角平分线的定义可得∠DCA=∠DCE,再由AC//DE可得∠DCA=∠CDE,从而∠DCE=∠CDE,又由CD//EF,得到∠DEF =∠CDE,∠DCE=∠BEF,即可求证.【详解】证明:∵CD平分∠ACB(已知)∴∠DCA=∠DCE(角平分线的定义)∵AC//DE(已知)∴∠DCA=∠CDE(两直线平行,内错角相等)∴∠DCE=∠CDE(等量代换)∵CD//EF(已知)∴∠DEF =∠CDE(两直线平行,内错角相等)∴∠DCE=∠BEF(两直线平行,同位角相等)∴∠DEF= ∠BEF(等量代换)∴EF平分∠DEB(角平分线的定义).【点睛】本题主要考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.22.(四川省广安市邻水县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题)已知: 如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.求: ∠AGD的度数解: 因为 EF//AD (已知)所以 ∠2=__ __ ( 两条直线平行,同位角相等 )又因为 ∠1=∠2 (已知) 所以 ∠1=∠3 ( 等量代换 )所以 //__ ___ ( 内错角相等,两直线平行 )所以 ∠BAC+___ ___=180°(_________ ____ ______________)因为 ∠BAC=70° (已知)所以 ∠AGD=110°【答案】∠3 AB DG ∠AGD 两直线平行,同旁内角互补【分析】根据平行线性质推出∠2=∠3,根据平行线判定推出AB//DG,根据平行线判定推出∠BAC+∠AGD=180°,求出即可.【详解】解:因为EF//AD(已知),所以 ∠2 =∠3(两直线平行,同位角相等),又因为 ∠1 = ∠2(已知),所以 ∠1 = ∠3(等量代换),所以AB//DG(内错角相等,两直线平行),所以∠BAC + ∠AGD = 180°(两直线平行,同旁内角互补),又因为∠BAC = 70°(已知),所以∠AGD =110°,故答案为:∠3 AB DG ∠AGD 两直线平行,同旁内角互补.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的性质定理与判定定理是解题的关键.23.(重庆市江津区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(B卷))如图,直线PQ分别与直线AB、CD交于点E、点F,∠1=∠2,射线EM、EN分别与直线CD交于点M、N,且EM⊥EN,则∠3与∠4有何数量关系,并给出证明.请你将以下证明过程补充完整.解:∵∠1=∠2,∴______(同位角相等,两直线平行)∴∠4=______(两直线平行,内错角相等).∵EM⊥EN,∴______=90°.∵∠MEB=∠3+______,∴______.【答案】AB∥CD;∠BEM;∠MEN;∠MEN;∠4−∠3=90°【分析】利用平行线的判定及性质解答即可.【详解】解:∠4与∠3的数量关系为∠4−∠3=90°,理由如下:∵∠1=∠2(已知),∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).∴∠4=∠BEM(两直线平行,内错角相等).∵EM⊥EN(已知),∴∠MEN=90°(垂直的定义).∵∠BEM−∠3=∠MEN,∴∠4−∠3=90°.【点睛】本题考查平行线的判定及性质,垂直,解题的关键是熟练掌握平行线的判定及性质.24.(河南省信阳市淮滨县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)完成下面的求解过程.如图,FG∥CD,∠1=∠3,∠B=50°,求∠BDE的度数.解:因为FG∥CD( ),所以∠2= ( )又因为∠1=∠3,所以∠3=∠2( ),所以BC∥ ( ),所以∠B+ =180°( ).又因为∠B=50°,所以∠BDE= .【答案】见解析【分析】分别利用平行线的性质和判定即可求解.【详解】解:∵FG∥CD(已知)∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等)又∵∠1=∠3,∴∠3=∠2(等量代换)∴BC∥DE(内错角相等,两直线平行) ∴∠B+∠BDE=180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠B=50°∴∠BDE=130°.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,性质有两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等,两直线平行同旁内角互补,判定有同位角相等两直线平行,内错角相等两直线平行,同旁内角互补两直线平行.25.(江苏省徐州市丰县初级中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题)如图.己知AD⊥BC,垂足为点D,EF⊥BC,垂足为点F,∠1+∠2=180°.请填写∠CGD=∠CAB的理由.∵AB⊥BC,EF⊥BC∴∠ADC=90°,∠EFC=90°(____________________)∴∠ADC=∠EFC∴AD∥EF(________________________________)∴∠3+∠2=180°(________________________________)∵∠1+∠2=180°(已知)∴ ∠_________= ∠_________(____________________)∴DG∥_________(________________________________)∴∠CGD=∠CAB.【答案】见解析【分析】根据同位角相等,两直线平行得出AD∥EF,根据平行线的性质得出∠3+∠2= 180°,求出∠1=∠3,根据平行线的判定得出DG∥AB,根据平行线的性质得出∠CGD=∠CAB即可.【详解】解:∵AD⊥BC,EF⊥BC∴∠ADC=90°,∠EFC=90°(垂直的定义)∴∠ADC=∠EFC∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行)∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠1+∠2=180°(已知)∴ ∠1= ∠3(同角的补角相等)∴DG∥AB(内错角相等,两直线平行)∴∠CGD=∠CAB.故答案为:垂直的定义;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;∠3;同角的补角相等;AB;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,垂直定义,补角定义的应用,能综合运用定理进行推理是解此题的关键,注意平行线的性质有:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补;反之亦然.26.(重庆市南川区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)如图,∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2,求证:∠E=∠F.证明:∵∠BAP+∠APD=180°(已知),∴______∥______(______),∴∠BAP=______(______),又∵∠1=∠2(已知),∴∠FPA=______.∴______∥______(______),∴∠E=∠F(______).【答案】AB;CD;同旁内角互补,两直线平行; ∠APC;两直线平行,内错角相等;∠EAP;AE;PF;内错角相等, 两直线平行; 两直线平行,内错角相等【分析】根据∠BAP+∠APD=180°可得AB//CD,从而可得∠BAP=∠APC,结合∠1=∠2根据角的和差即可得出∠FPA= ∠EAP,继而证明AE//FP后即可得出结论.【详解】证明:∵∠BAP+∠APD=180°(已知);∴ AB ∥ CD (同旁内角互补,两直线平行); ∴∠BAP= ∠APC (两直线平行,内错角相等);又∵∠1=∠2(已知),∴∠FPA= ∠EAP ,∴ AE ∥ PF ( 内错角相等, 两直线平行); ∴∠E=∠F( 两直线平行,内错角相等).【点睛】本题考查平行线的性质和判定,能正确识图,利用定理得出角度之间的关系是解题关键.27.(北京市通州区2021-2022年七年级下学期期末数学试题)请在下列空格内填写结论或理由,完成推理过程.已知:如图,∠B=∠BGD,∠BGC=∠F.求证:∠B+∠F=180°.证明:∵∠B=∠BGD(已知),∴______//______(______).∵∠BGC=∠F(已知),∴CD//EF(______).∴AB//______(______).∴∠B+∠F=180°(______).【答案】AB;CD;内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行;EF;平行于同一条直线的两直线平行;两直线平行,同旁内角互补【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD,CD∥EF,再利用平行线的性质即可得到AB∥EF,从而可证得∠B+∠F=180°.【详解】证明:∵∠B=∠BGD(已知),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).∵∠BGC=∠F(已知),∴CD∥EF(同位角相等,两直线平行).∴AB∥EF(平行于同一条直线的两直线平行).∴∠B+∠F=180°(两直线平行,同旁内角互补).故答案为:AB;CD;内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行;EF;平行于同一条直线的两直线平行;两直线平行,同旁内角互补【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质,解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质,并灵活运用.28.(山东省青岛市市南区青岛第五十一中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)已知:如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1,求证:AD平分∠BAC.证明:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∴∠ADC=∠EGC=90°,∴AD∥EG,(__________________)∴∠1=∠2,(__________________)∠______=∠3,(__________________)又∵∠E=∠1(已知),∴______=______∴AD平分∠BAC【答案】同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;E;两直线平行,同位角相等;∠ 2;∠ 3【分析】由AD与EG都与BC垂直,得到AD与EG平行,利用两直线平行内错角相等,同位角相等得到两对角相等,根据已知角相等,等量代换得到∠2=∠3,即AD为角平分线,得证.【详解】证明:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∴∠ADC=∠EGC=90°,∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行)∴∠1=∠2,(两直线平行,内错角相等)∠E =∠3,(两直线平行,同位角相等)∵∠E=∠1(已知),∴ ∠2 =∠3 ,∴AD平分∠BAC.故答案为:同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等; E;两直线平行,同位角相等;∠ 2;∠ 3【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.29.(上海市静安区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题)如图,已知∠ED B +∠B= 180°,∠1=∠2,GF⊥AB,请填写CD⊥AB的理由解:因为∠ED B +∠B= 180°( )所以 ∥ ( )所以∠1=∠3 ( )因为 = ( 已 知 )所以∠2=∠3 ( 等量代换 )所以 ∥ ( )所以∠FGB=∠CDB ( )因为GF⊥AB( 已 知 )所以∠FGB=90° ( )所以∠CDB =90°( )所以CD⊥AB ( 垂直的意义 )【答案】已知;DE∥BC;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等;∠1=∠2;FG∥CD;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等; 垂直的意义; 等量代换【分析】根据平行线的判定和性质解答即可.【详解】解:因为∠EDB +∠B= 180°(已知)所以 DE ∥ BC (同旁内角互补,两直线平行)所以∠1=∠3 (两直线平行,内错角相等)因为 ∠1 = ∠2 ( 已 知 )所以∠2=∠3 ( 等量代换 )所以 FG ∥ CD ( 同位角相等,两直线平行 )所以∠FGB=∠CDB (两直线平行,同位角相等)因为GF⊥AB( 已 知 )所以∠FGB=90° (垂直的意义)所以∠CDB =90°(等量代换)所以CD⊥AB (垂直的意义)【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质,垂直的定义,掌握平行线的判定和性质是解题的关键.30.(上海七年级下学期期末精选60题(压轴版)-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略(沪教版))填写理由或步骤如图,已知AD∥BE,∠A=∠E因为AD∥BE .所以∠A+ =180° .因为∠A=∠E(已知)所以 + =180° .所以DE∥AC .所以∠1= .【答案】(已知);∠ABE,(两直线平行,同旁内角互补);∠ABE,∠E,(等量代换);(同旁内角互补,两直线平行);∠2,(两直线平行,内错角相等)【分析】由已知的AD与BE平行,得到一对同旁内角互补,然后根据已知的两角相等,等量代换得到另一对同旁内角互补,根据同旁内角互补,两直线平行推出DE与AC平行,然后再根据两直线平行,内错角相等即可得证.【详解】解:如图,已知AD∥BE,∠A=∠E,因为AD//BE(已知)所以∠A+∠ABE=180°(两直线平行,同旁内角互补)因为∠A=∠E(已知)所以∠ABE+∠E=180°(等量代换)所以DE//AC(同旁内角互补,两直线平行)所以∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)故答案为:(已知);∠ABE,(两直线平行,同旁内角互补);∠ABE,∠E,(等量代换);(同旁内角互补,两直线平行);∠2,(两直线平行,内错角相等)。【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,培养了学生发现问题,分析问题,解决问题的能力.解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.
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