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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念同步测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念同步测试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）
A．共起点的向量B．模相等的向量C．共线向量D．相等向量
3．已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．B．C．6D．
4．已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（ ）
A．不存在最小值B．C．4D．
7．设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．下列各说法中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．与非零向量共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
二、多选题
9．已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．下列说法错误的是（ ）
A．已知命题，则为
B．“”是“”的充分不必要条件
C．的充要条件是存在唯一的实数，使
D．已知都是实数，则“”是“”的充要条件
11．下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
12．（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线
D．若，则
三、填空题
13．已知在四边形中，且，则该四边形内切圆的面积是 .
14．已知A，B，C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则 .
15．给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 .
16．点是正六边形的中心，若，，则 ； .（结果用、表示）
四、解答题
17．在平面内有一点，对任一异于点的点，将其变换成该射线上一点，且使，这个变换叫做平面反演变换点叫做反演中心或反演极，叫做反演幂．
(1)若是坐标原点，关于的反演点是，求证：，．
(2)以坐标原点为反演中心，反演幂，求曲线经过反演变换后的轨迹．
18．在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
19．设是不共线的两个向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数的值．
20．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
参考答案：
1．C
【分析】利用向量的相关概念，逐项判断即得.
【详解】的大小不能确定，A错误；
两个非零向量的方向不确定，B错误；
向量的模是一个非负实数，D错误；
非零向量的模是正实数，C正确．
故选：C
2．B
【分析】利用平面向量的相关概念判断.
【详解】因为点是正三角形的中心，
所以，，是模相等的向量；
向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说；
这三个向量方向不同，不是共线向量；
这三个向量方向不同，不是相等向量.
故选：B
3．A
【分析】由向量平行的性质计算即可.
【详解】因为，所以，
，则
解得.
故选：A.
4．A
【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.
【详解】命题：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题；
命题：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题.
则为真命题.
故选：A
5．A
【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
6．D
【分析】结合已知条件，由三点共线的充要条件可知，所以，由“乘1”法结合基本不等式即可求解.
【详解】设，因为A在线段BC上（不含BC端点），
所以由向量共线定理设，
所以，
由题意有，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选：D.
7．A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断
【详解】因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8．C
【分析】利用平面向量概念可判断AD选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用共线向量的定义可判断C选项.
【详解】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；
对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；
对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；
对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.
故选：C.
9．BD
【分析】利用向量、共线向量、相等向量的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
10．ACD
【分析】根据全称量词命题的否定、充分与必要条件、三角函数、向量共线、对数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，的否定是：，A选项错误.
B选项，
或，
所以“”是“”的充分不必要条件，B选项正确.
C选项，若是非零向量，是零向量，则，
但不存在使得，所以C选项错误.
D选项，对于“”有，
对于“”，不一定都是正数，所以D选项错误.
故选：ACD
11．AC
【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论.
【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；
四边形ABCD中，，则且，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；
当时，满足，但不能得到，C选项错误；
由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.
故选：AC
12．BCD
【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.
【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A错误；
对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为与反向共线，
且，都为单位向量，则＋＝，C正确；
对D，若，则，D正确，
故选:BCD.
13．/
【分析】根据题干先证明出四边形为菱形，以及为正三角形，然后求出半径即可.
【详解】由可知四边形为平行四边形，由
可知四边形为菱形，为等边三角形，故，
菱形的内切圆圆心O在对角线的中点处，令其半径为r，
则，所以.
故答案为：
14．
【分析】由共线向量的性质以及零向量的定义即可得解.
【详解】与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.
故答案为：.
15．①③④
【分析】运用向量共线的定义判断即可.
【详解】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立；
由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立；
因为当与方向相反时，则，即③能够使成立；
因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立.
故使成立的条件是①③④.
故答案为：①③④.
16． / //
【分析】连接、，分析出四边形、均为平行四边形，利用平面向量加法的平行四边形法则、相反向量可得出结果.
【详解】如下图所示：
连接、，则、均为等边三角形，则，
所以，，同理可得，所以，四边形为平行四边形，
同理可知四边形为平行四边形，
所以，，
由正六边形的几何性质可得，.
故答案为：；.
17．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）设，则，由得，即可证明；
（2）将代入，化简即可求解.
【详解】（1）设，则，又，所以，
所以.
（2）由题意知，，代入，
得，由，得，
故经过反演变换后的轨迹是直线．
18．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)3
【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量，
（2）根据向量的大小和方向，作向量，
（3）根据向量的模的定义求.
【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：
（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：
（3）
.
19．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）证明:因为，
而
所以，
所以与共线，且有公共点，
所以三点共线
（2）因为与共线
所以存在实数，使得，
因为与不共线，
所以，
解得，.
20．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
一、单选题
1．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）
A．共起点的向量B．模相等的向量C．共线向量D．相等向量
3．已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．B．C．6D．
4．已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（ ）
A．不存在最小值B．C．4D．
7．设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．下列各说法中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．与非零向量共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
二、多选题
9．已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．下列说法错误的是（ ）
A．已知命题，则为
B．“”是“”的充分不必要条件
C．的充要条件是存在唯一的实数，使
D．已知都是实数，则“”是“”的充要条件
11．下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
12．（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线
D．若，则
三、填空题
13．已知在四边形中，且，则该四边形内切圆的面积是 .
14．已知A，B，C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则 .
15．给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 .
16．点是正六边形的中心，若，，则 ； .（结果用、表示）
四、解答题
17．在平面内有一点，对任一异于点的点，将其变换成该射线上一点，且使，这个变换叫做平面反演变换点叫做反演中心或反演极，叫做反演幂．
(1)若是坐标原点，关于的反演点是，求证：，．
(2)以坐标原点为反演中心，反演幂，求曲线经过反演变换后的轨迹．
18．在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
19．设是不共线的两个向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数的值．
20．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
参考答案：
1．C
【分析】利用向量的相关概念，逐项判断即得.
【详解】的大小不能确定，A错误；
两个非零向量的方向不确定，B错误；
向量的模是一个非负实数，D错误；
非零向量的模是正实数，C正确．
故选：C
2．B
【分析】利用平面向量的相关概念判断.
【详解】因为点是正三角形的中心，
所以，，是模相等的向量；
向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说；
这三个向量方向不同，不是共线向量；
这三个向量方向不同，不是相等向量.
故选：B
3．A
【分析】由向量平行的性质计算即可.
【详解】因为，所以，
，则
解得.
故选：A.
4．A
【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.
【详解】命题：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题；
命题：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题.
则为真命题.
故选：A
5．A
【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
6．D
【分析】结合已知条件，由三点共线的充要条件可知，所以，由“乘1”法结合基本不等式即可求解.
【详解】设，因为A在线段BC上（不含BC端点），
所以由向量共线定理设，
所以，
由题意有，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选：D.
7．A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断
【详解】因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8．C
【分析】利用平面向量概念可判断AD选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用共线向量的定义可判断C选项.
【详解】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；
对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；
对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；
对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.
故选：C.
9．BD
【分析】利用向量、共线向量、相等向量的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
10．ACD
【分析】根据全称量词命题的否定、充分与必要条件、三角函数、向量共线、对数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，的否定是：，A选项错误.
B选项，
或，
所以“”是“”的充分不必要条件，B选项正确.
C选项，若是非零向量，是零向量，则，
但不存在使得，所以C选项错误.
D选项，对于“”有，
对于“”，不一定都是正数，所以D选项错误.
故选：ACD
11．AC
【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论.
【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；
四边形ABCD中，，则且，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；
当时，满足，但不能得到，C选项错误；
由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.
故选：AC
12．BCD
【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.
【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A错误；
对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为与反向共线，
且，都为单位向量，则＋＝，C正确；
对D，若，则，D正确，
故选:BCD.
13．/
【分析】根据题干先证明出四边形为菱形，以及为正三角形，然后求出半径即可.
【详解】由可知四边形为平行四边形，由
可知四边形为菱形，为等边三角形，故，
菱形的内切圆圆心O在对角线的中点处，令其半径为r，
则，所以.
故答案为：
14．
【分析】由共线向量的性质以及零向量的定义即可得解.
【详解】与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.
故答案为：.
15．①③④
【分析】运用向量共线的定义判断即可.
【详解】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立；
由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立；
因为当与方向相反时，则，即③能够使成立；
因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立.
故使成立的条件是①③④.
故答案为：①③④.
16． / //
【分析】连接、，分析出四边形、均为平行四边形，利用平面向量加法的平行四边形法则、相反向量可得出结果.
【详解】如下图所示：
连接、，则、均为等边三角形，则，
所以，，同理可得，所以，四边形为平行四边形，
同理可知四边形为平行四边形，
所以，，
由正六边形的几何性质可得，.
故答案为：；.
17．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）设，则，由得，即可证明；
（2）将代入，化简即可求解.
【详解】（1）设，则，又，所以，
所以.
（2）由题意知，，代入，
得，由，得，
故经过反演变换后的轨迹是直线．
18．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)3
【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量，
（2）根据向量的大小和方向，作向量，
（3）根据向量的模的定义求.
【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：
（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：
（3）
.
19．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）证明:因为，
而
所以，
所以与共线，且有公共点，
所以三点共线
（2）因为与共线
所以存在实数，使得，
因为与不共线，
所以，
解得，.
20．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
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