6．1　平面向量的概念

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6．1　平面向量的概念

考点
学习目标
核心素养
平面向量的相关概念
了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念
数学抽象
平面向量的几何表示
掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念
数学抽象
相等向量与共线向量
理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
数学抽象、逻辑推理

问题导学
预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
3．两个向量(向量的模)能否比较大小？
4．如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？

1．向量的概念及表示
(1)概念：既有大小又有方向的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.　
(3)向量的表示

■名师点拨
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
2．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.
■名师点拨
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量，长度大的向量较大．(　　)
(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．(　　)
(3)向量的模是一个正实数．(　　)
(4)向量就是有向线段．(　　)
(5)向量与向量是相等向量．(　　)
(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．(　　)
(7)零向量是最小的向量．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×　(7)×
已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　)

A．也可以用表示　　　 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
答案：D
已知点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是(　　)
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
答案：C
如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有________．

答案：，


向量的相关概念
　给出下列命题：
①若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在▱ABCD中，一定有＝；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
【解析】　＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．　
【答案】　②③

(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件
①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．　

1．下列说法中正确的是(　　)
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．
2．下列说法正确的是(　　)
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C.向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．

向量的表示
　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
【解】　(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．


用有向线段表示向量的步骤
　
　已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km 到达D地．
(1)作出向量，，，；
(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
解：(1)由题意，作出向量，，，，如图所示．

(2)依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1 000 km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km.

共线向量与相等向量
　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的向量中．

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
【解】　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.

1．[变条件、变问法]本例中若＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．
解：与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
2．[变问法]本例条件不变，与共线的向量有哪些？
解：与共线的向量有，，，，，，，，.

共线向量与相等向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.
[注意]　对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．　

1．已知向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为(　　)
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B.根据共线向量的定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.
2．如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：

(1)写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量．
解：(1)因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形，所以BC∥AD∥DE，BC＝AD＝DE，所以＝＝.故与相等的向量为，.
(2)与共线的向量共有7个，分别是，，，，，，.

1.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C.图中与平行的向量为，，共3个．
2．下列结论中正确的是(　　)
①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；
②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；
③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；
④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|.
A．①③　　　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．②④
解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．
3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与相等的向量；
(2)与长度相等的向量；
(3)与共线的向量．
解：画出图形，如图所示．
(1)易知BC∥AD，BC＝AD，
所以与相等的向量为.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与长度相等的向量为，，，，，，.
(3)与共线的向量为，，.
[A　基础达标]
1．下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3　　　　　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
2．下列说法正确的是(　　)
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：选D.A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是(　　)

A.＝ B.∥
C．||＝|| D.＝
解析：选D.由题图可知，||＝||，但、的方向不同，故≠，故选D.
4．设O是△ABC的外心，则，，是(　　)
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，，是模相等的向量．
5．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b，其中正确的有(　　)
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
解析：选B.①|a|>|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a∥b，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝1，故④不正确；⑤是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________．

解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
解析：因为A，B，C不共线，
所以与不共线．
又m与，都共线，
所以m＝0.
答案：0
9.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图．
(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量共线的向量；
(2)求证：＝.
解：(1)由共线向量满足的条件得与向量共线的向量有：，，，，，，，，，，.
(2)证明：在▱ABCD中，AD綊BC.
又E，F分别为AD，BC的中点，
所以ED綊BF，
所以四边形BFDE是平行四边形，
所以BE綊FD，
所以＝.
10．已知在四边形ABCD中，∥，求与分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)||＝||，且与不平行．
因为∥，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，则||＝||，同时两向量不平行．
(2)＝(或∥)．
若＝，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．
[B　能力提升]
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是　(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为模的倍
D．与不共线
解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线．
12.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选D.由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠；与的模相等且方向相同，所以＝.
13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为________．

解析：如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以||＝||.
因为△ADE∽△BDC，
所以＝＝，故||＝.
答案：
14．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求向量的模．
解：(1)作出向量，，，
如图所示．

(2)由题意得，
△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)．
所以||＝5.
[C　拓展探究]
15．如图，A1，A2，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，…，A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的倍的向量有多少个？

解：模等于半径的向量只有两类，一类是i(i＝1，2，…，8)，共8个；另一类是(i＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A1，A2，…，A8中四点为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形A1A3A5A7，另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍，故模为半径的倍的向量共有4×2×2＝16(个)．