高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行综合训练题，共6页。

[A组 必备知识练]
1.三棱台ABC­A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是( )
A．相交
B．平行
C．直线在平面内
D．平行或直线在平面内
解析：由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．
答案：A
2．不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形是( )
A．全等三角形
B．相似但不全等的三角形
C．相似或全等的三角形
D．以上都不对
解析：根据等角定理可知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似或全等．
答案：C
3．直线a，b，c两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．1个或3个
解析：两条平行直线确定一个平面，所以经过直线a，b，直线b，c，直线a，c的平面各有1个，共有3个平面．
答案：C
4．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．
①在空间中若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c.
解析：①错误，可以异面；②正确，是基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．
答案：②④
5．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
解析：在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.又在三棱柱ABC­A1B1C1中，BC∥B1C1，所以EF∥B1C1.
答案：平行
6．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
解析：①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．
答案：①②
7．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点．若 eq \f(AE,AB)＝ eq \f(AH,AD)＝ eq \f(1,2)， eq \f(CF,CB)＝ eq \f(CG,CD)＝ eq \f(1,3)，试判断四边形EFGH的形状．
解：如图，在△ABD中，
∵ eq \f(AE,AB)＝ eq \f(AH,AD)＝ eq \f(1,2)，∴EH∥BD，且EH＝ eq \f(1,2)BD.
在△BCD中，∵ eq \f(CF,CB)＝ eq \f(CG,CD)＝ eq \f(1,3)，∴FG∥BD，且FG＝ eq \f(1,3)BD，
∴EH∥FG，且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形．
8．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点. 求证：BF∥ED1.
证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG綉C1F，
所以四边形BGC1F为平行四边形，所以BF∥GC1.
又因为EG綉A1B1，A1B1綉C1D1 ，所以EG綉C1D1，
所以四边形EGC1D1为平行四边形，
所以ED1∥GC1，所以BF∥ED1.
[B组 关键能力练]
9．(多选)如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，AD，DC的中点，则下列结论一定正确的选项为( )
A．EG＝FH
B．EF＝GH
C．EH与FG相交
D．EG＝HG
解析：由题意知，EG平行且等于 eq \f(1,2)BD，FH平行且等于 eq \f(1,2)BD，∴EG平行且等于FH，
∴四边形EGHF为平行四边形，
∴EG＝FH，EF＝GH，
∴EH与FG共面且相交，故A，B，C正确，但EG不一定与HG相等．
答案：ABC
10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是棱AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，又GH∥AC，所以EF∥GH.
答案：C
11．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①不正确，如图；②不正确，有可能相交，也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交，也可能异面．
答案：A
12．如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为________．
解析：由题意，将正方体的表面展开图还原成正方体，如图所示．
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ.
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
答案：平行
13.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
证明：(1)在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD.同理，FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH，故AC⊥BD.
[C组 素养培优练]
14．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且 eq \f(AO,OA′)＝ eq \f(BO,OB′)＝ eq \f(CO,OC′)＝ eq \f(2,3).
(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
(2)求 eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．
(1)证明：∵AA′∩BB′＝O，且 eq \f(AO,A′O)＝ eq \f(BO,B′O)＝ eq \f(2,3)，
∴AB∥A′B′，同理，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，由图知，AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
∵ eq \f(AB,A′B′)＝ eq \f(AO,OA′)＝ eq \f(2,3)，∴ eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(4,9).