专题2-1 不等式解法18种题型归类（讲+练）-高一数学热点题型归纳与培优练（人教A版必修第一册）

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专题 2.1 不等式解法18种题型归类 热点考题归纳【题型一】解一元二次不等式基础型 【典例分析】1.（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（    ）A． B．C． D．2.（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）不等式：成立的一个必要不充分条件是（    ）A． B．C． D．【提分秘籍】【变式演练】1.（2023·全国·高一专题练习）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．2.（2023·全国·高一专题练习）若集合，，则（    ）A． B． C．R D．或3.（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知集合，，且，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【题型二】解一元二次含参型不等式【典例分析】1.（2022秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期中）若关于x的不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．2.（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ）A．或 B．或C． D．【提分秘籍】【变式演练】1.（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（    ）A． B．C． D．2.（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）不等式的解集可能是（    ）1A．或 B．RC． D．3.（2021秋·高一课时练习）若，则不等式的解集为　　A． B．C．或 D．或【题型三】解双一元二次不等式系数转化型 【典例分析】1.（2023·全国·高一专题练习）若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是（    ）A． B．C． D．2.（2023春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（   ）A． B． C． D．【提分秘籍】【变式演练】1.（2023春·湖南长沙·高一校联考开学考试）甲､乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（    ）A． B．C． D．2.（2021秋·重庆·高一重庆市永川中学校校联考期中）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（　　）A． B．C．或 D．或3.（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）若关于x的不等式的解集为，则的解集为（    ）A． B．C．{且} D．{或}【题型四】一元二次整数解求参型 【典例分析】1.．（2023·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ）A． B．C．或 D．或2.（2022春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）记不等式､解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【变式演练】1.（2021秋·高一课时练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（    ）A． B． C． D．2.（2021·高一课时练习）若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足（    ）A． B．或C． D．或3.（2020春·湖北武汉·高一汉阳一中校考期中）当时，关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【题型五】解一元二次高斯型不等式 【典例分析】1.（2022秋·广西钦州·高一校考阶段练习）设表示不超过x的最大整数，则方程的所有根的和为（    ）A． B． C．8 D．42.．（2022秋·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考期中）对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，那么不等式成立的充分不必要条件是（    ）A． B．C． D．【提分秘籍】【变式演练】1.（2022秋·陕西西安·高一西安市第三中学校考阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则满足不等式解集是（    ）A． B． C． D．2.（2022秋·湖北·高一宜昌市夷陵中学校考期中）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么使不等式成立的x的取值范围（    ）A． B．C． D．3.（2022秋·江苏南通·高一校考期中）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，例如，，那么不等式成立的充分不必要条件是（    ）A． B．C． D．【题型六】一元二次“韦达定理”求范围型 【典例分析】1.（2022秋·福建莆田·高一莆田一中校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程的解集为，且实数，满足，，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D．2.（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为,则的最大值是（　　）A． B． C． D．－【提分秘籍】【变式演练】1.（2023秋·高一单元测试）关于x的不等式解集为，且，则实数（    ）A． B．C．或 D．或2.（2019·高一课时练习）若关于x的不等式的解的区间长度不超过5个单位，则实数a的取值范围是A． B．或C．或 D．或3.（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考开学考试）若关于x的不等式的解集是，则的最小值为（    ）A．8 B．6 C．4 D．2【题型七】解分式不等式基础型【典例分析】1.（2019秋·全国·高二专题练习）不等式的解集为A． B．C． D．2.（2022秋·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）前后两个不等式解集相同的有（    ）①与        ②与③与④与A．①② B．②④ C．①③ D．③④【提分秘籍】【变式演练】1.（2023秋·新疆昌吉·高一校考期末）不等式的解集为（    ）A． B． C． D．2.（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）已知，，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ）A． B．C． D．3.（2022秋·新疆和田·高一统考期中）若不等式和不等式的解集相同，则的值为（    ）A． B． C． D．【题型八】解分式型高次不等式【典例分析】1.（2021秋·江西赣州·高二赣州市赣县第三中学校考阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ）A．(3，6) B． C． D．2.（2021秋·全国·高二校联考期末）已知为实数，若关于的不等式的解集是{或}，则（    ）A． B． C． D．【提分秘籍】【变式演练】1.（2022秋·江西新余·高二统考期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ）A． B．，或C．，或 D．，或，或2.（2021秋·河南安阳·高二内黄县第一中学校考开学考试）不等式的解集为,则A．2 B．-2 C．1 D．-13.（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是（      ）A． B．C． D．【题型九】含参型分式不等式【典例分析】1.（2021秋·河南驻马店·高二校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集为A． B．C． D．2..（2022·江苏·高一专题练习）已知p：，q：，且p的一个充分不必要条件是。则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【变式演练】1.（2019秋·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是A． B．C． D．2.（2023秋·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）若不等式的解集为，则不等式解集为（    ）A． B．C． D．3.（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则（    ）A． B． C．1 D．3【题型十】解无理不等式【典例分析】天津·高考真题）不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【提分秘籍】【变式演练】（2022秋·广东清远·高三校考阶段练习）不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【题型十一】含参型无理不等式【典例分析】（2020秋·四川成都·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集为，其中，为常数，则（    ）A．36 B．25 C．16 D．9【变式演练】（2021·全国·高一专题练习）若不等式的解集为区间[0,n]，则k的值为（    ）A．1 B． C．2 D．+1【题型十二】绝对值不等式基础【典例分析】1.（2004·安徽·高考真题）不等式的解集为（    ）A． B． C． D．2.（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知，，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【提分秘籍】【变式演练】1.（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2020秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）若不等式|8x+9|2的解集相等，则实数a、b的值分别为A．a=-8,b=-10 B．a=-1,b=2C．a=-1,b=9 D．a=-4,b=-93.（2020春·浙江金华·高一校考阶段练习）若不等式的解集恰为不等式的解集，则a-b=（    ）A． B． C． D．【题型十三】一元二次型绝对值不等式【典例分析】1.（2022·高一课时练习）不等式的解集为（    ）A． B．C． D．2.（2023·全国·高一专题练习）关于的不等式解集是 ．【变式演练】1.（2019秋·河北衡水·高二校考期中）不等式的解集为A． B．C． D．2.（2021秋·高一课时练习）不等式的解集为（    ）A． B． C． D． 3.（全国·高考真题）不等式的解集为 .【题型十四】公式法解绝对值不等式【典例分析】1.（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）不等式的解集是（    ）A．或 B．或C． D．2.（2022秋·河北保定·高一校考阶段练习）不等式的解为（    ）A．或 B．C．或 D．或【提分秘籍】【变式演练】1.（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）不等式的解集为 ．2.（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为 ．3.（2022·高一单元测试）不等式的解集是 【题型十五】解含参型绝对值不等式【典例分析】1.（2023春·四川广元·高二广元中学校考阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．2.（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，集合或，若，则的取值范围为 ．【变式演练】1.（2022春·江西吉安·高二校联考期中）已知不等式的解集为，则实数a等于 ．2.（2022秋·上海静安·高一校考期中）已知，则关于的不等式的解集是 ．3.（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）对任意实数都有，则实数的最大值为 ．【题型十六】解不等式组基础【典例分析】1.（2021秋·上海黄浦·高一上海市向明中学校考阶段练习）解不等式组：.2.（2022·上海·高一专题练习）解不等式组： .【变式演练】1.（2022秋·全国·高一专题练习）解不等式组：.2.（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）求不等式组的解集.3.（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）解不等式组：.【题型十七】解不等式组型求参【典例分析】1.（2022·全国·高一专题练习）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是 ．2.（2020秋·上海奉贤·高一统考期中）已知关于的不等式组的解集为，则实数的值为 .【变式演练】1.（2019·高一课时练习）不等式组与不等式同解，则实数a的取值范围是A． B． C． D．2.（2023春·陕西渭南·高二统考期末）若不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．3.（2023秋·云南昆明·高一云南师大附中校考开学考试）关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（    ）A． B． C． D．【题型十八】不等式组整数解求参【典例分析】1.（2023秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）若关于的不等式组的整数解共有36个，则正数的取值范围是 .2.（2023·全国·高三专题练习）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 .【变式演练】1.．（2021秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）若不等式组的解集为，且中有2021个元素，则的取值范围是 .2.（2022秋·内蒙古·高一包钢一中校考阶段练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．3.（2022秋·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）若关于的不等式组有且只有四个整数解，则实数的取值范围是（    ）.A． B．C． D．一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）若，为真命题，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．2．（2023春·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）已知命题，，命题，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022秋·全国·高一期末）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．的大小无法确定4．（2022·全国·高一专题练习）记关于的三个方程分别为：①；②；③，其中是正实数，且满足．则下列选项中，能推出方程③无实根的是（　　）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根5．（2022秋·全国·高一阶段练习）已知不等式的解集为，则下列结论错误的是（　　）A． B． C． D．6．（2023秋·四川眉山·高一仁寿一中校考开学考试）设是方程的两根，那么的值是（    ）A． B． C． D．7．（2023秋·甘肃武威·高一统考开学考试）若是方程的两个根，则的值是（    ）A．2 B．－1 C．－2 D．18．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ）A．   B．  C．     D．  二、多选题9．（2023秋·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的值不可以是（    ）A． B． C． D．10．（2023·全国·高一专题练习）已知一元二次方程的两个根为，且，那么满足的的取值有（    ）A． B． C． D．11．（2022秋·福建泉州·高一统考期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ）A．0 B． C．1 D．12．（2022秋·浙江台州·高一校联考期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ）A． B．C． D．不等式的解集为三、填空题13．（2023秋·贵州遵义·高一校考阶段练习）不等式的解集为 .14．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为 .15．（2022秋·海南·高一校考期中）命题“，关于的不等式 < 5成立”为假命题，则实数a的取值范围是 .16．（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式的解集是 .四、解答题17．（2023秋·贵州遵义·高一校考阶段练习）求下列不等式及方程组的解集：(1)；(2) ；(3).18．（2023·全国·高一随堂练习）利用十字相乘法分解因式：(1)；(2)．(3)求方程的解集．(4)求证：对任意的x，a，b，都有．(5)已知“任意l和s，都有”是真命题，借助这个结论将进行因式分解．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．(1)若，求不等式的解集；(2)已知，且在上恒成立，求的取值范围；(3)若关于的方程有两个不相等的实数根，且，，求的取值范围．一、热考题型归纳【题型一】解一元二次不等式基础型【题型二】解一元二次不等式【题型三】解双一元二次不等式系数转化型 【题型四】一元二次不等式整数解求参型【题型五】解一元二次“高斯”型不等式【题型六】一元二次“韦达定理”求范围型 【题型七】解分式不等式基础型【题型八】解分式型高次不等式【题型九】含参型分式不等式【题型十】解无理不等式【题型十一】含参型无理不等式【题型十二】绝对值不等式基础 【题型十三】一元二次型绝对值不等式 【题型十四】公式法解绝对值不等式 【题型十五】解含参数行绝对值不等式 【题型十六】解不等式组基础【题型十七】解不等式组型求参【题型十八】不等式组整数解求参二、培优练一元二次函数，方程与不等式 的图象的根有两个不同相等的实数根 有两个相等的实数根没有实数根的解集或 R的解集 一般情况下，含参型的一元二次不等式，多可以借助十字相乘因式分解法求解。需要注意以下几方面：二次项系数如果含参，要进行“开口方向”讨论，包括二次项系数等0的讨论。因式分解后根，如果含参，称之为“动根”，要讨论根的大小关系。方程的解，要结合开口方向，根的大小关系，以及“大于0或者小于0”的不等式方向来求解 双一元二次不等式转化型双一元二次型，系数关系为“倒序”或者乱序。可以直接代入第一个不等式对应的一元二次方程的根，寻找系数之间的比值关系。可以借助韦达定理寻找系数之间的比值关系取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”， 一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法分式不等式的解法：把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集.把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集.穿线法 高次不等式就，可以通过因式分解，转化为穿线法来求解1.因式分解后，每个因式的系数为正。2.“序轴标根”，各个因式所对应的根按照大小在数轴上标记。3.从最大根的“右上”开始穿线，遵循“奇过偶不过”原则，就是因式是奇数次幂（含一次幂）则穿过，偶数次幂则不穿过。4.寻解。如果不等式式大于0，则寻找”线在上“的区间，小于0，则相反。得到不等式的解 无理不等式高中阶段，无理不等式多式一个“根式型”。偶次根式，要考虑定义域。可以通过两边平方来去掉根号，平方前，要保证（讨论）不等式两边“皆为正”（同号“。平方后大都数转化为一元二次型不等式求解绝对值不等式基础型：