人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用试讲课课件ppt

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用试讲课课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了教学目标，导数的四则运算法则，复合函数的导数法则，增函数，减函数等内容，欢迎下载使用。

理解导数与函数的单调性的关系
掌握利用导数判断函数单调性的方法
能利用导数的方法解决相关的单调性问题
基本初等函数的导数公式：
一般地，对于由y=f (u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f (g(x))，它的导数与函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.
在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.
能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢?
本节我们就来讨论这个问题.
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
（1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
（2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数；
若 f (x) 在G上是增函数或减函数，
则 f (x) 在G上具有严格的单调性。
导数与函数的单调性的关系
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
情境 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象.a= ,b是函数h(t)的零点.
问题1 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
观察图象可以发现: (1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0. (2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0.
问题2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢?
对于高台跳水问题，可以发现: 当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增； 当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减.
追问 这种情况是否具有一般性呢？
在区间(a,b)上， h′(t)>0
在区间(a,b)上， h′(t)<0
在区间(a,b)上， h(t)单调递增
在区间(a,b)上， h(t)单调递减
问题3 观察下面一些函数的图象，你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗？
在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上， f (x)单调递增
在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0
在(0, +∞)上， f (x)单调递减
在(0, +∞)上，f ′ (x)<0
追问 能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系？
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
如图示，导数f '(x0)表示函数y=f (x)的图象在点(x0, f (x0))处的切线的斜率，可以发现:
在x=x0处f ′(x0)>0
函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增
在x=x1处f ′(x1)<0
函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减
函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f '(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f ′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f '(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
追问1 如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
追问2 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性?
例如: 对于函数y=x3，y′=3x2. 当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0， 而函数y=x3在R上单调递增.
（1）因为 ，其定义域为R .所以
① 求出函数的定义域；
② 求出函数的导数f (x)；
③ 判定导数f (x)的符号；
④ 确定函数f(x)的单调性.
判定函数单调性的步骤：
追问 能否归纳判断函数单调性的步骤？
解: (2)因为f(x)=ex-x ，其定义域为R.所以f ′(x)=ex-1. 令f ′(x)= 0，得x=0所以当x∈(-∞,0)时， f ′(x)<0 当x∈(0,+∞)时， f ′(x)>0 . 所以，函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.
例2 已知导函数的下列信息：
试画出函数f (x)图象的大致形状.
当1 < x < 4 时, 可知 在区间(1,4)内单调递增;
综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.
设 是函数 的导函数， 的图象如右图所示，则 的图象最有可能的是( )
问题4 由导数的正负来判断函数的单调性，与我们之前学习的函数单调性定义是否一致？
函数 y = f (x) 在给定区间 I 上，当 x 1、x 2 ∈I 且 x 1＜ x 2 时
则 f ( x ) 在I 上是增函数；
则 f ( x ) 在I 上是减函数；
追问1 由函数单调性的定义，你能用平均变化率来表示函数的单调性吗？
（1）∀x 1、x 2 ∈I，都有 ，那么 f (x)在区间I上单调递增
（2）∀x 1、x 2 ∈I，都有 ，那么 f (x)在区间I上单调递减
追问2 对于在区间（a,b）上的单调函数 y = f (x) ，其平均变化率的几何意义与 f '(x)的正负有什么关系？
∀x 1、x 2 ∈（a,b）,经过点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))的直线AB的斜率就是平均变化率
设函数 f (x)在区间（a,b）上的导数f '(x)为正
直观上，能找到一点T(x0，f (x0))，使函数 f (x)的图像在点T处的切线与直线AB平行，即
从而函数 f (x)在区间（a,b）上单调递增
用此方法同样可以说明函数 f (x)在区间（a,b）上单调递减，
结论：利用导数的正负来判断函数的单调性，与函数单调性定义是一致的。
1. 函数单调性与导数符号的关系是：
2.判定函数单调性的步骤： ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号；④ 确定函数f(x)的单调性.
在某个区间(a, b)内