湘教版（2019）选择性必修 第一册1.1 数列的概念第2课时导学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册1.1 数列的概念第2课时导学案，共7页。

新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 数列的递推公式
如果数列{an}的任一项an＋1与它的________之间的关系可用一个公式an＋1＝f(an)，n≥1来表示，那么这个公式叫作数列{an}的递推公式❶；a1称为数列{an}的初始条件．
要点二 数列的单调性
批注❶ 用递推公式给出一个数列，必须给出：(1)“基础”——数列的第1项(或前几项)；(2)递推关系——数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( )
(2)有些数列可能不存在最大项．( )
(3)递推公式是表示数列的一种方法．( )
(4)所有的数列都有递推公式．( )
2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
3．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
4．(多选)数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A．an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)
B．an＝2an－1(n≥2，n∈N＋)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)
D．a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N＋)
5．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．
题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1 根据递推公式求数列的项
例1 (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋＝1(n≥2且n∈N＋) ，则a2 022＝( )
A．－1 B． C．2 D．
(2)[2022·湖南雅礼中学高二期中]如图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则a6＝________．
方法归纳
根据递推公式求数列的项的两种类型
巩固训练1 (1)[2022·重庆巴蜀中学高二期中]已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝(n∈N＋)，则a20＝________．
(2)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．结合图形的构成可猜想a2 021－a2 020＝________．
题型2 数列递推公式与通项公式的关系
例2 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N＋)，求通项an.
方法归纳
由数列的递推公式求通项公式的两种方法
巩固训练2 已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋) ，则数列{an}的通项公式为an＝( )
A．2n B．
C．n2＋1 D．n＋1
题型3 数列单调性的判断
例3 已知数列{an}的通项公式是an＝，判断该数列的单调性．
方法归纳
判断数列单调性的四种方法
巩固训练3 下列数列是递增数列的是( )
A．{1－3n} B．{3n－2n＋2}
C．{2n－n} D．{(－3)n}
题型4 求数列的最大(最小)项
例4 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
方法归纳
求数列中的最大项时，可结合数列的单调性由an－1≤an且an≥an＋1来求，即解不等式组
得n的取值范围，再由n∈N＋得到n的值．
巩固训练4 若数列{an}的通项公式为an＝n(n＋4)·，其最大项是第k项，求k的值．
易错辨析 用函数思想解题时忽略数列的特征而致错例5 已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是________．
解析：方法一 由数列{an}为递增数列，知an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，即t>－(2n＋1)恒成立．
而n∈N＋，所以t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞)．
方法二 an＝n2＋tn＝－，
由于n∈N＋，且数列{an}为递增数列，结合二次函数的图像得－<，解得t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞)．
答案：(－3，＋∞)
【易错警示】
第2课时 数列的递推公式与数列的单调性
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
前一项an
要点二
大于 > 小于 < 大于 相等
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19.
答案：D
3．解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．
答案：A
4．解析：A，B中没有说明第一项，无法递推．
答案：CD
5．解析：∵an＝
＝＝－3
＝，
∴n＝9.
答案：9
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由已知得：an＝1－，可求a2＝，a3＝－1，a4＝2，
∴数列{an}的周期为3，
a2 022＝a3＝－1，选项A正确．
(2)依题意可知a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，且an＋1＝3an＋1，
所以a5＝3a4＋1＝3×40＋1＝121，a6＝3a5＋1＝3×121＋1＝364.
答案：(1)A (2)364
巩固训练1 解析：(1)由已知，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，因此数列{an}是周期数列，周期为6，
a20＝a2＝2.
(2)由题意可知，a1＝5，a2＝9，a3＝14，a4＝20，…，所以，a2－a1＝9－5＝4＝2＋2，a3－a2＝14－9＝5＝3＋2，
a4－a3＝20－14＝6＝4＋2，…
由此我们可以推断：当n≥2时，an－an－1＝n＋2，
故a2 021－a2 020＝2 021＋2＝2 023.
答案：(1)2 (2)2 023
例2 解析：(1)n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)个2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
(2)n≥2时，an＝a1···…·
＝1···…·＝.
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝.
巩固训练2 解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，
即＝，则＝＝＝，…，＝，n≥2，
由累乘法可得＝n，所以an＝2n(n≥2)，
又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.
答案：A
例3 解析：方法一(作差法) 因为an＋1－an＝＝＝>0，
所以an＋1>an对任意的n(n∈N＋)都成立，所以数列{an}是递增数列．
方法二(作商法) 因为an＝>0，
所以＝＝＝>1，
所以an＋1>an对任意的n(n∈N＋)都成立．故数列{an}是递增数列．
方法三(函数性质法) an＝＝＝2－.
由于函数y＝2－在[1，＋∞)上单调递增，
因此数列{an}是递增数列．
巩固训练3 解析：对于A，令an＝1－3n，则a1＝－2，a2＝－5，不合题意；
对于B，令an＝3n－2n＋2，则a1＝－5，a2＝－7，不合题意；
对于C，令an＝2n－n，则an＋1－an＝2n＋1－2n－1＝2n－1>0，符合题意．
对于D，令an＝(－3)n，则a1＝－3，a3＝－27，不合题意．
答案：C
例4 解析：∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·.
∴当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，a10－a9＝0，即a10＝a9；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
∴数列{an}中最大项为a9或a10，
其值为10×，其项数为9或10.
巩固训练4 解析：由题意得
所以由k∈N＋可得k＝4.类别
定义
递增数列
从第2项起，每一项都________它的前一项，即an＋1____an
递减数列
从第2项起，每一项都________它的前一项，即an＋1____an
摆动数列
从第2项起，有些项________它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
常数列
各项都________的数列
出错原因
纠错心得
在方法二中，若忽略了数列的特征，即n的取值的离散性，常会得出－≤1，即t∈[－2，＋∞)的错误结果．事实上，由抛物线的对称性知，函数f(x)＝x2＋tx在[1，＋∞)上不单调照样可以使得数列{an}单调，当对称轴位于区间内时，a1用函数思想解决数列的问题时，特别是研究数列的单调性时，应注意数列的特征．要能够恰当利用函数的性质，通过数形结合来求解．