2023_2024学年新教材高中数学第八章立体几何初步午练15平面与平面平行新人教A版必修第二册

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午练15　平面与平面平行1.对于两个不同的平面α,β和三条不同的直线a,b,c.有以下几个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,a∥β,则α∥β;⑤若a∥α,α∥β,则a∥β.其中所有错误的命题是(　　)A.③④⑤ B.②④⑤ C.②③④ D.②③④⑤2.若P,Q,R分别是三棱锥S-ABC三条侧棱SA,SB,SC的中点,则平面ABC与平面PQR的位置关系是(　　)A.平行 B.相交C.重合 D.相交或平行3.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是(　　)A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α,且b∥βC.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b4.(多选题)以下四个命题中,正确的命题有(　　)A.在平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行B.在平面α内有无数条直线和平面β平行,那么这两个平面平行C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交5.(多选题)如图是四棱锥P-ABCD的平面展开图,其中四边形ABCD是正方形,E,F,G,H分别是PA,PD,PC,PB的中点,则在原四棱锥中,下列结论中正确的有(　　)A.平面EFGH∥平面ABCD B.PA∥平面BDGC.EF与平面PBC相交 D.FH∥平面BDG6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M,交BC于N,则=　　　　. 7.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为　　　　　. 8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,AP=1,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　 . 9.P为正方形ABCD所在平面外一点,E,F,G分别为PD,AB,DC的中点,如图.求证:(1)AE∥平面PCF;(2)平面PCF∥平面AEG.10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AC1,A1C1的中点.(1)求证:EF∥平面BCC1B1.(2)在线段BC1上是否存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1?请说明理由.午练15　平面与平面平行1.D　因为a∥b,b∥c,根据空间中直线平行的传递性,得a∥c,故①正确;因为a∥α,b∥α,所以直线a,b平行、异面、相交均有可能,故②错误;若a∥b,b∥α,则a∥α或a⊂α,故③错误;若a∥α,a∥β,则平面α,β平行或相交,故④错误;若a∥α,α∥β,则a∥β或a⊂β,故⑤错误.所以错误的命题是②③④⑤.故选D.2.A　由三角形中位线的性质知PQ∥AB,PR∥AC,由线面平行的判定定理,可得PQ∥平面ABC,PR∥平面ABC,又PQ∩PR=P,根据面面平行的判定定理,可得平面ABC∥平面PQR.3.D　选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行,也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α,且b∥β,也可能b 在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言,故选D.4.CD　对于A,在平面α内有两条相交直线和平面β平行,那么这两个平面平行,故A错误;对于B,在平面α内有任意条直线和平面β平行,那么这两个平面平行,故B错误;对于C,平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面的距离相等且不为0(强调同侧),那么这两个平面平行,故C正确;对于D,平面α内有无数个(不是任意个)点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交,故D正确.5.ABD　由平面展开图还原四棱锥,如图所示,可知ABD均正确.若O为BD,AC交点,则O为BD,AC中点.连接OG,G为PC中点,故OG∥PA,OG⊂平面BDG,PA⊄平面BDG,所以PA∥平面BDG,B正确;又F,H为PD,PB中点,则FH∥BD,BD⊂面BDG,FH⊄面BDG,所以FH∥平面BDG,D正确;由E,F为PA,PD中点,得EF∥AD,BC∥AD,故EF∥BC.又BC⊂平面PBC,EF⊄平面PBC,故EF∥平面PBC,C错误;由EF∥AD,AD⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,则EF∥平面ABCD,同理可得EH∥平面ABCD,而EH∩EF=E,EH,EF⊂平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,A正确.6.　∵平面MNE∥平面ACB1,∴由面面平行的性质定理可得EN∥B1C,EM∥B1A.又∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA,BC的中点,∴MN=AC,即.7.a⊂β或a∥β　若a⊂β,则显然满足题目条件.若a⊄β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,又a⊄β,c⊂β,所以a∥β.8.2　连接A1C1,AC.∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面PQNM=PQ,平面A1B1C1D1∩平面PQNM=MN,∴MN∥PQ,又MN∥A1C1,A1C1∥AC,∴MN∥AC,∴PQ∥AC.又AP=1,∴,所以PQ=AC=×3=2.9.证明 (1)如图所示:取PC中点H,分别连接EH,FH,∵E,F,H分别为PD,AB,PC的中点,∴EH∥DC,EH=DC,∴四边形EAFH为平行四边形.∴EA∥FH.又AE⊄平面PCF,FH⊂平面PCF,∴AE∥平面PCF.(2)∵E,G分别为PD,CD的中点,∴EG∥PC.又EG⊄平面PCF,PC⊂平面PCF,∴EG∥平面PCF.由(1)知AE∥平面PCF,EG∩AE=E.∴平面PCF∥平面AEG.10.解 (1)证明:因为E,F分别为棱AC1A1C1的中点,所以EF∥A1A.因为B1B∥A1A,所以EF∥B1B.又因为EF⊄平面BCC1B1,B1B⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.(2)取BC1的中点G,连接GE,GF.因为E为AC1的中点,所以GE∥AB.因为GE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以GE∥平面ABB1A1.同理可得EF∥平面ABB1A1.又因为EF∩EG=E,EG,EF⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1,故在线段BC1上存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1.