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人教版八年级数学上册 第11章 重点突破训练：与三角形有关的常用结论及应用（原卷版+解析版）
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这是一份人教版八年级数学上册 第11章 重点突破训练：与三角形有关的常用结论及应用（原卷版+解析版），文件包含人教版八年级数学上册第11章重点突破训练与三角形有关的常用结论及应用原卷版docx、人教版八年级数学上册第11章重点突破训练与三角形有关的常用结论及应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
第11章 重点突破训练：与三角形有关的常用结论及应用考点体系考点1：三角板中的角度计算典例：（2020·新疆维吾尔自治区初二月考）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．【答案】75°【解析】如图，∠1=90°-60°=30°，所以，∠α=45°+30°=75°．故答案为75°方法或规律点拨本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．巩固练习1．（2022·河南省初二期中）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于 A． B． C． D．【答案】C【解析】如图：，，，，∴==，故选C．2．（2022·唐山市友谊中学初三月考）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）A．105° B．110° C．115° D．120°【答案】C【解析】如图，对图形进行点标注.∵直线a∥b，∴∠AMO=∠2；∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，∴∠ANM=55°，∴∠2=∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，故选C.3．（2022·河南省初二期中）如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于( )A．60° B．75° C．90° D．105°【答案】C【解析】如图所示：∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∴此三角形是直角三角形，∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．故选C．4．（2022·北京市楼梓庄中学初二期中）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中∠α的度数是 （ ）A．45° B．60° C．70° D．75°【答案】D【解析】如下图，由题意可知：∠DCE=45°，∠B=30°，∵∠=∠DCE+∠B，∴∠=45°+30°=75°.故选D.5．（2022·黑龙江省绥滨农场学校初二月考）将一副三角板按如图所示的方式叠放，则∠α＝______.【答案】75°【解析】如图，根据三角板的特点，可知∠1=45°，然后根据三角形的外角，可求∠α=75°.故答案为75°.考点2：图形折叠的角度计算典例：（2022·重庆初二期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=_____．【答案】80°．【解析】连接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°，∴∠A′BC+∠A′CB=70°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠BAC=180°﹣140°=40°，∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，故答案为:80°．方法或规律点拨考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.巩固练习1．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【解析】∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°， 则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°， ∴可得2∠A=∠1+∠2． 故选：B2．（2022·河南省初二期末）如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为( )A．115° B．105° C．95° D．85°【答案】C【解析】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，∴∠BMF=100°，∠FNB=70°，∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，∴∠F=∠B=180°-50°-35°=95°，∴∠D=360°-100°-70°-95°=95°．故选C．3．（2020·广西壮族自治区初二期末）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）A．40° B．20° C．55° D．30【答案】A【解析】∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∠ACB＝100°，∠A＝20°，∴∠B＝60°，根据翻折不变性可知：∠CB′D＝∠B＝60°，∵∠DB′C＝∠A＋∠ADB′，∴60°＝20°＋∠ADB′，∴∠ADB′＝40°，故选：A．4．（2022·湖北省初二期中）如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．【答案】92°．【解析】由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'，则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1﹣∠2=92°．故答案为：92°．5．（2020·南京市金陵中学河西分校初一期中）有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1=165°，则∠2的度数为_____°．【答案】105 .【解析】∵∠B=90°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=90°，又∵∠BDE+∠2=180°，∠BED+∠1=180°，∴∠1+∠2=360°-（∠BDE+∠BED）=270°．∵∠1=165°，∴∠2=105°．故答案为:105．6．（2020·山西省初二月考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．【答案】40°．【解析】∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．5．（2022·东莞市横沥莞盛学校初二月考）如图，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则的度数为__________．【答案】60°【解析】如图，和内角和均为，∴，又∵四边形的内角和为，∴∴．考点3：与内、外角平分线有关的计算典例：（2022·扬州中学教育集团树人学校初一期中）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2……依此类推，∠BD5C的度数是_______．【答案】56o【解析】在△ABC中，∵∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∴∠BD1C=180°−=180°−=180°−64°，第2次作一次角平分线之后，∠BD2C=180°−−×=180°−60°−32°，按次规律类推,可得∠BD5C的度数是180°−−×−××−×××−××××=52°+=56°，故答案为56o方法或规律点拨本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和等于180°是解答此题的关键.巩固练习1．（2022·山东省初三一模）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )A．118° B．119° C．120° D．121°【答案】C【解析】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=12∠ABC，∠BCD=12∠BCA，∴∠CBE+∠BCD=12（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C．2．（2020·广西壮族自治区初三一模）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（ ） A．90°-α B．90°+ α C． D．360°-α【答案】C【解析】∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选C．3．（2022·河北省初二期中）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，连接 BD，BE 平分∠ABD，BE⊥AD，∠EBC 和∠DCB 的角平分线相交于点F，若∠ADC=110°，则∠F 的度数为（ ）. A．115° B．110° C．105° D．100°【答案】D【解析】解：∵BE⊥AD，∴∠BED=90°，又∵∠ADC=110°，∴四边形BCDE中，∠BCD+∠CBE=360°-90°-110°=160°，又∵∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，∴∠BCF+∠CBF=×160°=80°，∴△BCF中，∠F=180°-80°=100°，故选D．4．（2022·山东省德州四中初二月考）如图，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等于（ ）A．56° B．66° C．76° D．无法确定【答案】B【解析】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2），∵∠B=48°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=114°∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=66°．故选B．5．（2020·安徽省初二期末）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．【答案】66.5°。【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=。∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+ACF）=66.5°。6．（2021·黑龙江省初二期末）如图：BO、CO是∠ ABC，∠ ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为_____．【答案】140°【解析】在中， 分别是的两条角平分线. 故答案为：7．（2022·汕头市东厦中学初二期中）如图，在△ABC中，∠B＝42°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝____________．【答案】69°．【解析】∠AEC＝180°-∠EAC-∠ECA，因为△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，所以∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，所以∠AEC＝180°-∠DAC-∠ACF=（360°-∠DAC-∠ACF）=（180°-∠DAC+180°-∠ACF）=（∠BAC+∠ACB）=(180°-∠B)=69°.考点4：内、外角和的常规应用典例：（2020·成都市泡桐树中学初一期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【解析】解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：以点O为交点的“8字型”有4个： ②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）=（100°+120°）＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.方法或规律点拨本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．巩固练习1．（2022·福建省初二期中）如图，∠B+∠C+∠D+∠E－∠A等于（ ）A．360° B．300° C．180° D．240°【答案】C【解析】∵∠B+∠C=∠CGE=180°-∠1，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠2，∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠1+∠2+∠A），又∵∠1+∠2+∠A=180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠1+∠2+∠A）=180°，故选C．2．（2020·保定市清苑区北王力中学初二期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.【解析】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°； （3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.3．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点.记∠PDA为∠1，∠PEB为∠2，∠DPE为∠α.（1）若点P在线段AB上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2=_____________；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，请猜想∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3所示，则∠α，∠1，∠2之间又有何关系？请直接写出结论，不用说明理由.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+∠α；（3）∠1=90°+∠2+∠α【解析】（1）∵∠1＋∠PDC＝180°，∠2＋∠PEC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠PDC＋∠PEC＝360°，∵四边形CDPE的内角和是360°，∴∠PDC＋∠PEC＋∠C＋∠α＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α＝90°＋50°＝140°，故答案为：140°；（2）∠1+∠2=90°+∠α理由：∵∠1+∠PDC=180°∠2+∠PEC=180°∴∠1+∠2+∠PDC+∠PEC=360°又∵四边形的内角和是360°∴∠PDC+∠PEC+∠C+∠α=360°∴∠1+∠2=∠C+∠α=90°+∠α（3）由三角形的外角性质可知，∠3＝∠2＋∠α，∴∠1＝90°＋∠3＝90°＋∠2＋∠α．4．（2022·江苏省初一期中）已知，AB∥CD，点 E 为射线 FG 上一点．(1)如图 1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED= °；(2)如图 2，当点 E 在 FG 延长线上时，此时 CD 与 AE 交于点 H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；(3)如图 3，DI 平分∠EDC，交 AE 于点 K，交 AI 于点 I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD 的度数．【答案】（1）70；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG，理由见解析；(3) 142°【解析】解：（1）如图，延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D=∠AHE=40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，故答案为：70；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG． 理由：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC 是△DEH 的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，∴设∠EAI=α，则∠BAE=3α，∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=α﹣2°，∵DI 平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3α=22°+2α-4°， 解得α=18°，∴∠EDK=16°，∴在△DKE 中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．5．（2022·山东省初一期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．(1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝____°；(2)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？(3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE＜CD)，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+∠α；（3）∠1=90°+∠2+α．【解析】（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，∴∠1+∠2=∠C+∠α，∵∠C=90°，∠α=50°，∴∠1+∠2=140°；（2）由（1）得出：∠α+∠C=∠1+∠2，∴∠1+∠2=90°+∠α（3）∠1=90°+∠2+α，理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α，6．（2021·湖北省初二期中）(1)如图①②,试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；(2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式;(3)用你发现的结论解决下列问题:如图,AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°,求∠E的度数.【答案】(1)∠1+∠2=∠3+∠4；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3) 60°.【解析】（1）∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6).∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6).∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.（2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.（3）∵∠B＋∠C＝240°，∴∠MDA＋∠NAD＝240°.∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD.∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝120°.∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°.考点5：与三角形的高、中线相关的计算典例：（2022·河北保定师范附属学校初二期中）如图，是一个等边三角形木框，甲虫在边框上爬行（，端点除外），设甲虫到另外两边的距离之和为，等边三角形的高为，则与的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法确定【答案】C【解析】解：如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交BC，AB于点D，E， ∴S△ABC=S△BPC+S△BPA=BC•PD+AB•PE=BC•PD+BC•PE=BC（PD+PE）=d•BC=h•BC ∴d=h故答案选C．方法或规律点拨本题涉及到三角形高的性质，考查了面积法．巩固练习1．（2020·全国初一）已知BD是的中线，，且的周长为11，则的周长是（ ）A．9 B．14 C．16 D．不能确定【答案】A【解析】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∵△ABD的周长为11，AB=5， ∴CD+BD=AD+BD=11-5=6，∵BC=3，∴△BCD的周长是6+3=9，故选：A．2．（2020·湛江市第二十二中学初二开学考试）如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm2，则△ABM的面积为（ ）A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．以上答案都不对【答案】C【解析】已知AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm2，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，可得△ABM的面积为：，故选C.3．（2022·上海市兴陇中学初二月考）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm【答案】A【解析】∵△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，∴AD=CD，AE=CE=4cm，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵△ABC的周长为30cm，∴AB+BC+AC=30cm，∴AB+BC=30-4×2=22cm，∴△ABD的周长是22cm．故选A．4．（2022·重庆初二期中）在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，∠EHF的度数是（ ）A．50° B．40° C．130° D．120°【答案】D【解析】∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵CF是AB上的高，∴∠AFB=90°，∴∠ACF=90°﹣∠A=30°，在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°，故选D．5．（2022·黑龙江省初一期中）如图，AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，AB=7 cm，AC=6 cm，DH=3 cm，则DG的长是( )A．4 cm B．3 cm C． cm D．无法判断【答案】C【解析】因为AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，所以三角形ABD与三角形ADC的面积相等.即：,所以，所以DG=cm.故选C.6．（2022·广西壮族自治区初三一模）如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（ ）A．115° B．120° C．125° D．130°【答案】D【解析】∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF为△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故选D．7．（2020·成都市泡桐树中学初一期中）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为36cm²，则△BEF的面积 =______________.【答案】9【解析】∵AE=DE，∴S△BDE=S△ABE，S△CDE=S△ACE，∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，∴S△BCE=12S△ABC=12×36=18（cm2）；∵EF=CF，∴S△BEF =S△BCF，∴S△BEF=12S△BCE=12×18=9（cm2），即△BEF的面积是9cm2．故答案为：9．8．（2020·成都市棕北中学初三月考）如图，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF =_________度.【答案】75【解析】∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB=35°． ∵CD⊥AB于D， ∴∠CDA=90°， ∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°．∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°． ∵DF⊥CE， ∴∠CFD=90°， ∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．9．（2022·寻乌县澄江中学初二期末）如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE=_____ ． 【答案】124°【解析】在△ABC中， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°，在四边形AFDE中，∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°，又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°，∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56°=124°.10．（2022·上海外国语大学附属大境初级中学初二月考）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．【答案】60°．【解析】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，∴∠AED=85°，∵∠B=50°，∴∠BAE=∠AED-∠B=85°-50°=35°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=70°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°.
第11章 重点突破训练：与三角形有关的常用结论及应用考点体系考点1：三角板中的角度计算典例：（2020·新疆维吾尔自治区初二月考）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．【答案】75°【解析】如图，∠1=90°-60°=30°，所以，∠α=45°+30°=75°．故答案为75°方法或规律点拨本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．巩固练习1．（2022·河南省初二期中）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于 A． B． C． D．【答案】C【解析】如图：，，，，∴==，故选C．2．（2022·唐山市友谊中学初三月考）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）A．105° B．110° C．115° D．120°【答案】C【解析】如图，对图形进行点标注.∵直线a∥b，∴∠AMO=∠2；∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，∴∠ANM=55°，∴∠2=∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，故选C.3．（2022·河南省初二期中）如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于( )A．60° B．75° C．90° D．105°【答案】C【解析】如图所示：∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∴此三角形是直角三角形，∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．故选C．4．（2022·北京市楼梓庄中学初二期中）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中∠α的度数是 （ ）A．45° B．60° C．70° D．75°【答案】D【解析】如下图，由题意可知：∠DCE=45°，∠B=30°，∵∠=∠DCE+∠B，∴∠=45°+30°=75°.故选D.5．（2022·黑龙江省绥滨农场学校初二月考）将一副三角板按如图所示的方式叠放，则∠α＝______.【答案】75°【解析】如图，根据三角板的特点，可知∠1=45°，然后根据三角形的外角，可求∠α=75°.故答案为75°.考点2：图形折叠的角度计算典例：（2022·重庆初二期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=_____．【答案】80°．【解析】连接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°，∴∠A′BC+∠A′CB=70°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠BAC=180°﹣140°=40°，∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，故答案为:80°．方法或规律点拨考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.巩固练习1．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【解析】∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°， 则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°， ∴可得2∠A=∠1+∠2． 故选：B2．（2022·河南省初二期末）如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为( )A．115° B．105° C．95° D．85°【答案】C【解析】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，∴∠BMF=100°，∠FNB=70°，∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，∴∠F=∠B=180°-50°-35°=95°，∴∠D=360°-100°-70°-95°=95°．故选C．3．（2020·广西壮族自治区初二期末）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）A．40° B．20° C．55° D．30【答案】A【解析】∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∠ACB＝100°，∠A＝20°，∴∠B＝60°，根据翻折不变性可知：∠CB′D＝∠B＝60°，∵∠DB′C＝∠A＋∠ADB′，∴60°＝20°＋∠ADB′，∴∠ADB′＝40°，故选：A．4．（2022·湖北省初二期中）如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．【答案】92°．【解析】由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'，则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1﹣∠2=92°．故答案为：92°．5．（2020·南京市金陵中学河西分校初一期中）有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1=165°，则∠2的度数为_____°．【答案】105 .【解析】∵∠B=90°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=90°，又∵∠BDE+∠2=180°，∠BED+∠1=180°，∴∠1+∠2=360°-（∠BDE+∠BED）=270°．∵∠1=165°，∴∠2=105°．故答案为:105．6．（2020·山西省初二月考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．【答案】40°．【解析】∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．5．（2022·东莞市横沥莞盛学校初二月考）如图，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则的度数为__________．【答案】60°【解析】如图，和内角和均为，∴，又∵四边形的内角和为，∴∴．考点3：与内、外角平分线有关的计算典例：（2022·扬州中学教育集团树人学校初一期中）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2……依此类推，∠BD5C的度数是_______．【答案】56o【解析】在△ABC中，∵∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∴∠BD1C=180°−=180°−=180°−64°，第2次作一次角平分线之后，∠BD2C=180°−−×=180°−60°−32°，按次规律类推,可得∠BD5C的度数是180°−−×−××−×××−××××=52°+=56°，故答案为56o方法或规律点拨本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和等于180°是解答此题的关键.巩固练习1．（2022·山东省初三一模）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )A．118° B．119° C．120° D．121°【答案】C【解析】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=12∠ABC，∠BCD=12∠BCA，∴∠CBE+∠BCD=12（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C．2．（2020·广西壮族自治区初三一模）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（ ） A．90°-α B．90°+ α C． D．360°-α【答案】C【解析】∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选C．3．（2022·河北省初二期中）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，连接 BD，BE 平分∠ABD，BE⊥AD，∠EBC 和∠DCB 的角平分线相交于点F，若∠ADC=110°，则∠F 的度数为（ ）. A．115° B．110° C．105° D．100°【答案】D【解析】解：∵BE⊥AD，∴∠BED=90°，又∵∠ADC=110°，∴四边形BCDE中，∠BCD+∠CBE=360°-90°-110°=160°，又∵∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，∴∠BCF+∠CBF=×160°=80°，∴△BCF中，∠F=180°-80°=100°，故选D．4．（2022·山东省德州四中初二月考）如图，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等于（ ）A．56° B．66° C．76° D．无法确定【答案】B【解析】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2），∵∠B=48°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=114°∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=66°．故选B．5．（2020·安徽省初二期末）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．【答案】66.5°。【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=。∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+ACF）=66.5°。6．（2021·黑龙江省初二期末）如图：BO、CO是∠ ABC，∠ ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为_____．【答案】140°【解析】在中， 分别是的两条角平分线. 故答案为：7．（2022·汕头市东厦中学初二期中）如图，在△ABC中，∠B＝42°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝____________．【答案】69°．【解析】∠AEC＝180°-∠EAC-∠ECA，因为△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，所以∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，所以∠AEC＝180°-∠DAC-∠ACF=（360°-∠DAC-∠ACF）=（180°-∠DAC+180°-∠ACF）=（∠BAC+∠ACB）=(180°-∠B)=69°.考点4：内、外角和的常规应用典例：（2020·成都市泡桐树中学初一期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【解析】解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：以点O为交点的“8字型”有4个： ②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）=（100°+120°）＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.方法或规律点拨本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．巩固练习1．（2022·福建省初二期中）如图，∠B+∠C+∠D+∠E－∠A等于（ ）A．360° B．300° C．180° D．240°【答案】C【解析】∵∠B+∠C=∠CGE=180°-∠1，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠2，∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠1+∠2+∠A），又∵∠1+∠2+∠A=180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠1+∠2+∠A）=180°，故选C．2．（2020·保定市清苑区北王力中学初二期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.【解析】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°； （3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.3．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点.记∠PDA为∠1，∠PEB为∠2，∠DPE为∠α.（1）若点P在线段AB上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2=_____________；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，请猜想∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3所示，则∠α，∠1，∠2之间又有何关系？请直接写出结论，不用说明理由.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+∠α；（3）∠1=90°+∠2+∠α【解析】（1）∵∠1＋∠PDC＝180°，∠2＋∠PEC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠PDC＋∠PEC＝360°，∵四边形CDPE的内角和是360°，∴∠PDC＋∠PEC＋∠C＋∠α＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α＝90°＋50°＝140°，故答案为：140°；（2）∠1+∠2=90°+∠α理由：∵∠1+∠PDC=180°∠2+∠PEC=180°∴∠1+∠2+∠PDC+∠PEC=360°又∵四边形的内角和是360°∴∠PDC+∠PEC+∠C+∠α=360°∴∠1+∠2=∠C+∠α=90°+∠α（3）由三角形的外角性质可知，∠3＝∠2＋∠α，∴∠1＝90°＋∠3＝90°＋∠2＋∠α．4．（2022·江苏省初一期中）已知，AB∥CD，点 E 为射线 FG 上一点．(1)如图 1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED= °；(2)如图 2，当点 E 在 FG 延长线上时，此时 CD 与 AE 交于点 H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；(3)如图 3，DI 平分∠EDC，交 AE 于点 K，交 AI 于点 I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD 的度数．【答案】（1）70；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG，理由见解析；(3) 142°【解析】解：（1）如图，延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D=∠AHE=40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，故答案为：70；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG． 理由：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC 是△DEH 的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，∴设∠EAI=α，则∠BAE=3α，∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=α﹣2°，∵DI 平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3α=22°+2α-4°， 解得α=18°，∴∠EDK=16°，∴在△DKE 中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．5．（2022·山东省初一期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．(1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝____°；(2)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？(3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE＜CD)，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+∠α；（3）∠1=90°+∠2+α．【解析】（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，∴∠1+∠2=∠C+∠α，∵∠C=90°，∠α=50°，∴∠1+∠2=140°；（2）由（1）得出：∠α+∠C=∠1+∠2，∴∠1+∠2=90°+∠α（3）∠1=90°+∠2+α，理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α，6．（2021·湖北省初二期中）(1)如图①②,试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；(2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式;(3)用你发现的结论解决下列问题:如图,AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°,求∠E的度数.【答案】(1)∠1+∠2=∠3+∠4；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3) 60°.【解析】（1）∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6).∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6).∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.（2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.（3）∵∠B＋∠C＝240°，∴∠MDA＋∠NAD＝240°.∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD.∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝120°.∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°.考点5：与三角形的高、中线相关的计算典例：（2022·河北保定师范附属学校初二期中）如图，是一个等边三角形木框，甲虫在边框上爬行（，端点除外），设甲虫到另外两边的距离之和为，等边三角形的高为，则与的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法确定【答案】C【解析】解：如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交BC，AB于点D，E， ∴S△ABC=S△BPC+S△BPA=BC•PD+AB•PE=BC•PD+BC•PE=BC（PD+PE）=d•BC=h•BC ∴d=h故答案选C．方法或规律点拨本题涉及到三角形高的性质，考查了面积法．巩固练习1．（2020·全国初一）已知BD是的中线，，且的周长为11，则的周长是（ ）A．9 B．14 C．16 D．不能确定【答案】A【解析】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∵△ABD的周长为11，AB=5， ∴CD+BD=AD+BD=11-5=6，∵BC=3，∴△BCD的周长是6+3=9，故选：A．2．（2020·湛江市第二十二中学初二开学考试）如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm2，则△ABM的面积为（ ）A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．以上答案都不对【答案】C【解析】已知AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm2，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，可得△ABM的面积为：，故选C.3．（2022·上海市兴陇中学初二月考）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm【答案】A【解析】∵△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，∴AD=CD，AE=CE=4cm，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵△ABC的周长为30cm，∴AB+BC+AC=30cm，∴AB+BC=30-4×2=22cm，∴△ABD的周长是22cm．故选A．4．（2022·重庆初二期中）在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，∠EHF的度数是（ ）A．50° B．40° C．130° D．120°【答案】D【解析】∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵CF是AB上的高，∴∠AFB=90°，∴∠ACF=90°﹣∠A=30°，在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°，故选D．5．（2022·黑龙江省初一期中）如图，AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，AB=7 cm，AC=6 cm，DH=3 cm，则DG的长是( )A．4 cm B．3 cm C． cm D．无法判断【答案】C【解析】因为AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，所以三角形ABD与三角形ADC的面积相等.即：,所以，所以DG=cm.故选C.6．（2022·广西壮族自治区初三一模）如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（ ）A．115° B．120° C．125° D．130°【答案】D【解析】∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF为△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故选D．7．（2020·成都市泡桐树中学初一期中）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为36cm²，则△BEF的面积 =______________.【答案】9【解析】∵AE=DE，∴S△BDE=S△ABE，S△CDE=S△ACE，∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，∴S△BCE=12S△ABC=12×36=18（cm2）；∵EF=CF，∴S△BEF =S△BCF，∴S△BEF=12S△BCE=12×18=9（cm2），即△BEF的面积是9cm2．故答案为：9．8．（2020·成都市棕北中学初三月考）如图，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF =_________度.【答案】75【解析】∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB=35°． ∵CD⊥AB于D， ∴∠CDA=90°， ∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°．∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°． ∵DF⊥CE， ∴∠CFD=90°， ∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．9．（2022·寻乌县澄江中学初二期末）如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE=_____ ． 【答案】124°【解析】在△ABC中， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°，在四边形AFDE中，∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°，又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°，∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56°=124°.10．（2022·上海外国语大学附属大境初级中学初二月考）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．【答案】60°．【解析】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，∴∠AED=85°，∵∠B=50°，∴∠BAE=∠AED-∠B=85°-50°=35°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=70°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°.
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