高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精练，共4页。试卷主要包含了下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．数列－2，4，－ eq \f(26,3)，20，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·2n B．an＝(－1)n· eq \f(3n－n,n)
C．an＝(－1)n· eq \f(2n+1－2,n) D．an＝(－1)n· eq \f(3n－1,n)
【答案】D 【解析】选项A：a3＝(－1)3×23＝－8，不符合题意；选项B：a2＝(－1)2× eq \f(32－2,2)＝ eq \f(7,2)，不符合题意；选项C：a2＝(－1)2× eq \f(22+1－2,2)＝3，不符合题意；选项D中的通项公式满足数列－2，4，－ eq \f(26,3)，20.故选D.
2．(2023年云南期末)已知数列－1， eq \f(\r(2),3)，－ eq \f(\r(3),5)， eq \f(2,7)，…，则该数列的第211项为( )
A．－ eq \f(\r(211),421) B． eq \f(\r(211),421)
C．－ eq \f(\r(210),423) D． eq \f(\r(210),423)
【答案】A 【解析】由题意，该数列可表示为－ eq \f(\r(1),1)， eq \f(\r(2),3)，－ eq \f(\r(3),5)， eq \f(\r(4),7)，…，故该数列的一个通项公式为an＝(－1)n eq \f(\r(n),2n－1)，所以a211＝(－1)211 eq \f(\r(211),421)＝－ eq \f(\r(211),421).故选A.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝ eq \f(n－1,n＋1)，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】A 【解析】an＝ eq \f(n－1,n＋1)＝1－ eq \f(2,n＋1)，∴n越大， eq \f(2,n＋1)越小，则an越大，故该数列是递增数列．
4．(多选)下列命题中正确的是( )
A．已知数列{an}，an＝ eq \f(1,n(n＋2))(n∈N*)，那么 eq \f(1,120)是这个数列的第10项，且最大项为第1项
B．数列 eq \r(2)， eq \r(5)，2 eq \r(2)， eq \r(11)，…的一个通项公式是an＝ eq \r(3n－1)
C．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝31
D．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列
【答案】ABD 【解析】令an＝ eq \f(1,n(n＋2))＝ eq \f(1,120)⇒n＝10，易知最大项为第1项，A正确；数列 eq \r(2)， eq \r(5)，2 eq \r(2)， eq \r(11)，…变为 eq \r(2)， eq \r(5)， eq \r(8)， eq \r(11)，…⇒ eq \r(3×1－1)， eq \r(3×2－1)， eq \r(3×3－1)， eq \r(3×4－1)，…⇒an＝ eq \r(3n－1)，B正确；an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29，C错误；由an＋1－an＝3＞0，易知D正确．
5．(2023年海南期末)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝ eq \f(n,n＋1)，则a5＝( )
A． eq \f(5,6)B． eq \f(6,5)C．30 D． eq \f(1,30)
【答案】D 【解析】∵Sn＝ eq \f(n,n＋1)，∴a5＝S5－S4＝ eq \f(5,6)－ eq \f(4,5)＝ eq \f(25－24,30)＝ eq \f(1,30).故选D.
6．(2022年黑龙江三模)已知数列{an}，a1＝ eq \f(1,4)，an＝1－ eq \f(1,an－1)(n≥2)，则a2 022＝( )
A． eq \f(4,5) B． eq \f(1,4) C．－3 D． eq \f(4,3)
【答案】D 【解析】因为a1＝ eq \f(1,4)，所以a2＝1－ eq \f(1,a1)＝－3，a3＝1－ eq \f(1,a2)＝ eq \f(4,3)，a4＝1－ eq \f(1,a3)＝ eq \f(1,4)，a5＝1－ eq \f(1,a4)＝－3，故该数列是周期为3的数列．因为2 022＝674×3，故a2 022＝a3＝ eq \f(4,3).
7．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n-1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n-1＋2n－3
【答案】A 【解析】这四个图形中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an＝3n-1.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(2,n2＋n)，那么 eq \f(1,10)是它的第________项．
【答案】4 【解析】令 eq \f(2,n2＋n)＝ eq \f(1,10)，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以 eq \f(1,10)是第4项．
9．(2021年长春期末)已知数列的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝________.
【答案】100 【解析】∵Sn＝n2＋n＋1，∴当n≥2时，a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7＝122＋12＋1－(72＋7＋1)＝100.
10．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1－an＝3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．
解：由已知，得a1＝4，an＋1＝an＋3，
∴a2＝a1＋3＝4＋3＝7，
a3＝a2＋3＝7＋3＝10，
a4＝a3＋3＝10＋3＝13，
a5＝a4＋3＝13＋3＝16，
a6＝a5＋3＝16＋3＝19.
由以上各项猜测数列的通项公式是an＝3n＋1.
B级——能力提升练
11．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为( )
a1
a2 a3
a4 a5 a6
……
A．－99 B．－97 C．97 D．99
【答案】C 【解析】由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.
12．(多选)(2022年聊城期末)数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”(又称“冰雹猜想”)就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.记正整数a0按照上述规则实施第n(n∈N)次运算的结果为an，若a5＝1，则a0可能为( )
A．32 B．16 C．5 D．4
【答案】ACD 【解析】第一步，若3a4＋1＝1⇒a4＝0，不合题意，则 eq \f(a4,2)＝1⇒a4＝2；第二步，若3a3＋1＝2⇒a3＝ eq \f(1,3)，不合题意，则 eq \f(a3,2)＝2⇒a3＝4；第三步，若3a2＋1＝4⇒a2＝1，若 eq \f(a2,2)＝4⇒a2＝8；第四步，若3a1＋1＝1⇒a1＝0，不合题意，若 eq \f(a1,2)＝1⇒a1＝2；若3a1＋1＝8⇒a1＝ eq \f(7,3)，不合题意，若 eq \f(a1,2)＝8⇒a1＝16；第五步，若3a0＋1＝2⇒a0＝ eq \f(1,3)，不合题意，若 eq \f(a0,2)＝2⇒a0＝4；若3a0＋1＝16⇒a0＝5，若 eq \f(a0,2)＝16⇒a0＝32.故选ACD.
13．(2023年黑龙江月考)已知数列{an}满足an＋1＝ eq \f(1＋an,1－an)，且a1＝ eq \f(1,3)，则{an}的前2 022项之积为( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(1,3) C．－2 D．－3
【答案】A 【解析】∵an＋1＝ eq \f(1＋an,1－an)，且a1＝ eq \f(1,3)，∴a2＝ eq \f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2，a3＝－3，a4＝－ eq \f(1,2)，a5＝ eq \f(1,3)，…，∴an＋4＝an.∴a1·a2·a3·a4＝ eq \f(1,3)×2×(－3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝1.故{an}的前2 022项之积为 eq \f(1,3)×2×1505＝ eq \f(2,3).故选A.
14．(2022年邵阳期末)如图，将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向排列，并依次在2，3，5，7，10，13，…处的位置拐弯．如图，数2作为第一次拐弯，则第33次拐弯处的数是________，超过2 021的第一个拐弯处的数是________．
【答案】290 2 026 【解析】由题意，拐弯处的数字与其序数的关系，如下表．
观察拐弯处的数字的规律：第1个数2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋1,2))) eq \s\up12(2)＋1；第3个数5＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋1,2))) eq \s\up12(2)＋1；第5个数10＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5＋1,2))) eq \s\up12(2)＋1；第7个数17＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7＋1,2))) eq \s\up12(2)＋1；….所以当n为奇数时，第n次拐弯处的数为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,2))) eq \s\up12(2)＋1.同理可得，当n为偶数时，第n次拐弯处的数为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n,2)))× eq \f(n,2)＋1.所以第33次拐弯处的数是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33＋1,2))) eq \s\up12(2)＋1＝290.当n＝88时，可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(88,2)))× eq \f(88,2)＋1＝1 981，当n＝89时，可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(89＋1,2))) eq \s\up12(2)＋1＝2 026，所以超过2 021的第一个拐弯处的数是2 026.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2＋3n；
(2)Sn＝5n－1.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.
当n＝1时，a1＝4×1＋1＝5成立，
所以an＝4n＋1.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝51－1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝5n－1－(5n-1－1)＝4·5n-1.
当n＝1时，a1＝4×51-1＝4成立，
所以an＝4·5n-1.
拐弯处
的序数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
拐弯处
的数
1
2
3
5
7
10
13
17
21
…