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    人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第一课时课时作业

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第一课时课时作业,共4页。试卷主要包含了))等内容,欢迎下载使用。


    A级——基础过关练
    1.等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=( )
    A. eq \f(1,2) B.- eq \f(1,2) C.2 D.-2
    【答案】C 【解析】∵等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q+a1q3=20,,a1q2+a1q4=40,))解得q=2.
    2.(2023年陕西期末)已知等比数列{an}中,a1= eq \f(1,8),公比q=2,则a4与a8的等比中项为( )
    A.±4 B.±8
    C.± eq \f(1,4) D.± eq \f(1,8)
    【答案】A 【解析】依题意,a4·a8=(a1q3)·(a1q7)=(a1q5)2= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)×25)) eq \s\up12(2)=42,故a4与a8的等比中项为±4.
    3.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是( )
    A.a≠1 B.a≠0或a≠1
    C.a≠0 D.a≠0且a≠1
    【答案】D 【解析】∵等比数列的每一项都不能为零,∴依题意得a≠0且a≠1.
    4.(2021年成都期末)已知等比数列{an}的公比为正数,且a2·a6=9a4,a2=1,则a1的值为
    ( )
    A.3 B.-3
    C.- eq \f(1,3) D. eq \f(1,3)
    【答案】D 【解析】因为在等比数列{an}中,a2·a6=9a4,a2=1,所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q·a1q5=9a1q3,,a1q=1,))由于q>0,所以解方程组得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q=3,,a1=\f(1,3).))
    5.(2022年哈尔滨四模)在等比数列{an}中,a1=1,a3-a2=2,则a5=( )
    A.16 B.-1
    C.-16或-1 D.16或1
    【答案】D 【解析】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,由a1=1,a3-a2=2,则有q2-q=2,解得q=2或q=-1.若q=2,则a5=a1q4=16;若q=-1,则a5=a1q4=1.故a5=16或a5=1.
    6.(多选)设{an}是等比数列,则下列结论中正确的是( )
    A.若a1=1,a5=4,则a3=2
    B.若a1+a3>0,则a2+a4>0
    C.若a2>a1,则a3>a2
    D.若a2>a1>0,则a1+a3>2a2
    【答案】AD 【解析】由a5=a1q4,得4=1×q4,得q2=2,所以a3=a1q2=1×2=2,因此A正确;若a1+a3>0,则a2+a4=q(a1+a3),其正负由q确定,因此B不正确;若a2>a1,则a1(q-1)>0,于是a3-a2=a1q(q-1),其正负由q确定,因此C不正确;若a2>a1>0,则a1q>a1>0,可得a1>0,q>1,所以1+q2>2q,则a1(1+q2)>2a1q,即a1+a3>2a2,因此D正确.故选AD.
    7.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,a是b,c的等比中项,且a+3b+c=10,则a的值是( )
    A.8 B.-4 C.2 B.-1
    【答案】B 【解析】由题意,得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b=a+c,,a2=bc,,a+3b+c=10,))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-4,,b=2,,c=8.))
    8.已知等比数列{an}为递增数列,设其前n项和为Sn,若a2=2,a1+a3=5,则a5的值为________.
    【答案】16 【解析】设等比数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公比为q,由题意可得a1+a3= eq \f(2,q)+2q=5,整理得2q2-5q+2=0,解得q=2或q= eq \f(1,2).因为等比数列{an}为递增数列,则q>1,所以q=2,a1=1.因此a5=a1q4=16.
    9.(2023年南宁期末)在数列{an}中,a1=3,且对任意正整数n,an-5an+1=0,则an=________.
    【答案】3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up12(n-1) 【解析】因为an-5an+1=0,所以 eq \f(an+1,an)= eq \f(1,5),所以{an}是以 eq \f(1,5)为公比的等比数列.又因为a1=3,所以an=3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up12(n-1).
    10.已知等比数列{an}中,a3+a6=36,a4+a7=18,an= eq \f(1,2),求n.
    解:设等比数列{an}的公比为q,
    因为a3+a6=36,a4+a7=18,
    所以 eq \f(a4+a7,a3+a6)= eq \f(a1q3+a1q6,a1q2+a1q5)= eq \f(a1q3(1+q3),a1q2(1+q3))=q= eq \f(1,2),
    故a3+a6=a1q2+a1q5= eq \f(1,4)a1+ eq \f(1,32)a1=36,
    解得a1=27,故an=27× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n-1)=28-n.
    令28-n= eq \f(1,2)=2-1,解得n=9.
    B级——能力提升练
    11.(多选)(2023年漳州期末)在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5= eq \f(8,27),则( )
    A.等比数列{an}的公比为 eq \f(2,3)
    B.a1=- eq \f(2,3)
    C.an=- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n-2)
    D.- eq \f(16,81)是这个等比数列中的第6项
    【答案】ACD 【解析】因为2an=3an+1,所以 eq \f(an+1,an)= eq \f(2,3),故等比数列{an}的公比为 eq \f(2,3),A正确;由a2·a5= eq \f(8,27),得a1q·a1q4= eq \f(8,27),即a12· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(5)= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(3),由于数列各项均为负数,则a1=- eq \f(3,2),B错误;an=- eq \f(3,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n-1)=- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n-2),C正确;设an=- eq \f(16,81),由等比数列的通项公式,得- eq \f(16,81)=- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n-2),即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(4)= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n-2),解得n=6,因此- eq \f(16,81)是这个等比数列中的第6项,D正确.
    12.设等比数列{an}的公比为q,则下列结论正确的是( )
    A.数列{anan+1}是公比为q的等比数列
    B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列
    C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列
    D.数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比为 eq \f(1,q)的等比数列
    【答案】D 【解析】对于A,由 eq \f(anan+1,an-1an)=q2(n≥2)知数列{anan+1}是公比为q2的等比数列,故A错误;对于B,当q=-1时,数列{an+an+1}的项中有0,不是等比数列,故B错误;对于C,当q=1时,数列{an-an+1}的项中有0,不是等比数列,故C错误;对于D, eq \f(\f(1,an+1),\f(1,an))= eq \f(an,an+1)= eq \f(1,q),所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比为 eq \f(1,q)的等比数列,故D正确.
    13.在等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an等于________.
    【答案】(-2)n-1 【解析】设公比为q,则a1q4=-8a1q.因为a1≠0,q≠0,所以q3=-8,q=-2.又因为a5>a2,所以a2<0,a5>0,从而a1>0,即a1=1,故an=(-2)n-1.
    14.若x1,x2是函数f(x)=x3-mx2+nx(m>0,n>0)的两个不同的零点,且x1,x2,-3这三个数适当排列后可以成等差数列,也可以适当排列后成等比数列,则m=________,n=________.
    【答案】 eq \f(15,2) 9 【解析】由题意,x1,x2为方程x2-mx+n=0的两根,x1+x2=m,x1x2=n,由m>0,n>0,得x1>0,x2>0,不妨设x115.(2021年上海期末)已知数列{an}满足a1= eq \f(5,6),an+1= eq \f(1,3)an+ eq \f(1,3)(n∈N*).
    (1)求证:数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an-\f(1,2)))是等比数列;
    (2)求数列{an}的通项公式.
    (1)证明:∵an+1= eq \f(1,3)an+ eq \f(1,3)(n∈N*),
    ∴ eq \f(an+1-\f(1,2),an-\f(1,2))= eq \f(\f(1,3)an+\f(1,3)-\f(1,2),an-\f(1,2))= eq \f(\f(1,3)an-\f(1,6),an-\f(1,2))= eq \f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an-\f(1,2))),an-\f(1,2))= eq \f(1,3),因此数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an-\f(1,2)))是等比数列.
    (2)解:由于a1- eq \f(1,2)= eq \f(5,6)- eq \f(1,2)= eq \f(1,3),
    ∴数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an-\f(1,2)))是以 eq \f(1,3)为首项、 eq \f(1,3)为公比的等比数列.
    ∴an- eq \f(1,2)= eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(n-1)= eq \f(1,3n),因此an= eq \f(1,2)+ eq \f(1,3n).
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