初中北师大版2.3 绝对值学案

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知识清单
知识点01 绝对值的定义
（1）一般地，数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值，记作 .
（2）绝对值的几何意义：的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离.
【例】的几何意义表示到原点的距离；的几何意义表示x到5的距离；的几何意义表示x到的距离.
知识点02 绝对值的性质
正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 .即当a>0时，是它
的 ；当a<0时，是它的 ；当a=0时，是 .
【注意】①绝对值等于它本身的数是__________.
②若，那么a就是非负数；若，那么a就是非正数.
知识点03 绝对值的非负性
“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则．
考点精析
考点一 绝对值的定义
例1
下列说法：
①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等；⑤只有负数的绝对值是它的相反数；⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数．
其中正确的有（ ）
例2
下列说法中正确的是（ ）
变1
在数轴上，下面说法中不正确的是（ ）
变2
下列说法中，正确的有（ ）
①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③ 任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等.
考点二 绝对值的计算及其性质
例1
计算：______；______；______；______；______.
变1
写出下列各数的绝对值：6，-3.5，0，，，-4，1.2，π.
例2
一个数的绝对值等于，则这个数是（ ）
变2
相反数是2的数是______；______的绝对值是3．
例3
如果，则a一定是（ ）
变3
若|a|=-a，则a的值不可以是（ ）
例4
若|x|=5，|y|=2且x<0，y>0，则x=____，y=____.
变4
若，，（1）求的值；（2）若，求的值？
考点三 比较大小
例1
下列各数中最小的数是（ ）
例2
下列比较有理数的大小，正确的是（ ）
例3
2020年末“霸王级”寒潮来袭，全国各地气温骤降．如图表示2021年元月某天山西省四个城市
的天气情况．这一天最高气温最低的城市为（ ）

变1
某年，一些国家商品进出口总额的增长率如下：
商品进出口总额的增长率最大的国家是（ ）
变2
比较大小：______（填“”“”或“”）．
例4
如图，数轴上的点B表示实数b，若实数a满足不等式，则a可能为（ ）

例5
已知a>0，b<0，且|a|<|b|，则下列关系正确的是（ ）
变3
有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、-a、-b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
变4
若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（ ）
例6
在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数．
-|-3.5|，1，0，-（-2），-（+1），4

变5
如图是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字
母标在数轴上方的相应位置，最后请将这些数用“<”连接起来．
点A：2；点B：-1.5；点C：300%；点D：-（-）；点E：-|-|．
考点四 利用绝对值化简
【方法点睛】1.绝对值的化简主要是看绝对值内的正负性，若为正则直接去绝对值，若为负则加上负号.
2.在数轴上，右-左>0，左-右<0.
例1
已知-1≤x≤2，则化简代数式3|x-2|-|x+1|的结果是（ ）
变1
当1例2
有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）

例3
表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ）

变2
已知有理数 a、b表示的点在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|＋|1-b|=_______.

变3
如图，化简代数式|b-a|-|a-1|+|b+2|的结果是_______.
变4
有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|=_______.
考点五 绝对值的非负性
【方法点睛】非负数+非负数=0，那么它们应该都等于0.
例1
已知，则______，______.
例2
已知，则______，______.
变1
已知与互为相反数，则______.
变2
已知，则______，______.
考点六 绝对值的几何意义
【方法点睛】绝对值的几何意义：|a|=|a-0|的几何意义是到原点的距离；|a-b|的几何意义是a到b的距离.
【方法点睛】1.|x-a|+|x-b|有最小值，可以看做是数轴上的点到a、b的距离之和，那么当介于a、b之间时，就有最小值|a-b|.
2.|x-a|-|x-b|有最大值，可以看做是数轴上的点到a、b的距离之差，那么当位于a、b之外时，就有最大值|a-b|.
3.|x-a|+|x-b|+|x-c|有最小值，例如|x+1|+|x-2|+|x-5|有最小值，当x=2（即-1、2、5三个数中大小在中间的数）时，有最小值|-1-5|=6.
例1
求解：（1） （2）
变1
若，则x= ．
例2
数轴上的点B到原点的距离是6，则点B表示的是为（ ）
例3
数轴上表示数为a和a-4的点到原点的距离相等，则a的值为（ ）
变2
数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是12，在A、B之间有一点P，P到A的距离是P到B的距离的2倍，求P点表示的数_______．
例4
同学们都知道，|3-（-1）|表示3与-1之差的绝对值，实际上也可理解为3与-1两数在数轴上所对
的两点之间的距离．试探索：
（1）求|3-（-1）|＝ ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x-（-1）|=4，这样的整数是 ．
变3
同学们都知道|5-（-2）|表示5与（-2）之差的绝对值，也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两
点之间的距离，试探索：
（1）求|5-（-2）|= ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7成立的整数是 ．
例5
若a为有理数，则|a-3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2|-|a-1|的最大值是_______．
变4
求|x-2|+|x-7|的最小值是_______；|x-2|-|x-7|的最大值是_______.
例6
我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而即则表示3和-1这两点的距离．式子的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与-2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索：
（1）直接写出____________．
（2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x，的所有整数的和．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由．
变5
阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a-b|．回答下列问题：

（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
变6
在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到﹣2及到4的距离之和，所以当时，它的最小值为6．
阅读下面的材料：
我们知道，在数轴上，表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
（1）数轴上有理数对应的点到有理数3对应的点的距离是_______；
（2）表示有理数a对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果，那么有理数a的值是_______；
（3）如果，那么有理数a的值是_______．
（4）代数式的最小值是_________，此时有理数a可取的整数值有______个．
课后强化
1.以下叙述中，正确的是（ ）
2.下列说法错误的个数是（ ）
①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②只有负数的绝对值是它的相反数；
③正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等．
3.的相反数等于（ ）
4.若|x|=1，|y|=5，且x>0，y<0，则x+y=_______.
5.若|x|=1，|y|=5，则x+y=_______.
6.若|x|=2，|y|=3，且xy>0，则x+y=_______.
7.如果，则x一定是（ ）
8.如果，则a+1一定是（ ）
9.下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
其中沸点最低的是（ ）
10.如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为，b，c，其中A，B两点间的距离与B，C两点间的距离相等，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）

11.数轴上，有理数a、b、-a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c-b|的结果为（ ）
12.已知a、b、c的位置如图所示，化简|a+b|-|c-a|+|b+2c|=_______.
13.已知与互为相反数，则______.
14.若，则_________，_________．
15.求|x-1|+|x+4|的最小值是_______.
16.已知|a|＝2，|b|＝3，且b＜a，试求a、b的值．
17.从数轴上看：|a|表示数 a 的点到原点之间的距离，类似地表示数 a 的点到表示数3的点之间的距离，表示数 a 的点到表示数–7的点之间的距离．一般地表示数 a 的点到表示数 b 的点之间的距离．
（1）在数轴上，若表示数x的点与表示数–2 的点之间的距离为 3 个单位长度，则 x＝_______．
（2）利用数轴，求方程的所有整数解．
18.回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
（3）当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
课程标准
1.掌握绝对值的定义及其性质；
2.掌握正数、负数、0的绝对值的算法；
3.灵活应用绝对值比较大小；
4.灵活掌握绝对值在解题中的应用；
5.掌握非负数的应用.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
A．若|a|=|b|，则a=b
B．若|a|=|b|，则a，b互为相反数
C．a的绝对值一定是负数
D．若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数
A．两个有理数，绝对值小的离原点近
B．大数对应的数在右边
C．两个负数，较大的数对应的点离原点近
D．两个有理数，大数离原点近
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A．
B．
C．
D．
A．非正数
B．负数
C．非负数
D．正数
A．2
B．-5
C．0
D．-0.5
A．7
B．-7
C．3
D．-3
A．2022
B．-2022
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．大同
B．太原
C．长治
D．晋城
美国
德国
法国
中国
英国
意大利
日本
-6.4%
1.3%
-2.4%
7.5%
-3.5%
0.2%
2.4%
A．美国
B．英国
C．中国
D．日本
A．-1
B．-2
C．2
D．3
A．b<﹣aB．﹣aC．﹣aD．bA．-aB．a<-a<0<-bC．-bD．a<0<-aA．
B．
C．
D．
A．-4x+5
B．4x+5
C．4x-5
D．-4x-5
A．2a
B．2a+2b-2c
C．0
D．-2c
A．2a-2b-2c
B．-2a
C．2a-2b
D．-2b
A．12或-12
B．6
C．-6
D．6或-6
A．-2
B．2
C．4
D．不存在
A．正数与负数互为相反数
B．表示相反意义的量的两个数互为相反数
C．任何有理数都有相反数
D．一个数的相反数是负数
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
A．
B．
C．
D．
A．非正数
B．负数
C．非负数
D．正数
A．非正数
B．负数
C．非负数
D．正数
液体名称
液态氧
液态氢
液态氮
液态酒精
沸点/℃
-183
-253
-196
78.2
A．液态氧
B．液态氢
C．液态氮
D．液态酒精
A．点A的左边
B．点B与之间，靠近点B
C．点A与B之间，靠近点A
D．点A与B之间，靠近点B
A．
B．
C．
D．