初中数学北师大版七年级上册4.2 比较线段的长短导学案

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知识清单
知识点01 线段大小比较
比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法
叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：

【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法．
知识点02 尺规作图
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
知识点03 线段的和与差
如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度.
知识点04 线段的中点
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC．
【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
考点精析
考点一 尺规作图
例1
根据所示图形填空，已知：线段a、b，且a>3b，画一条线段，使它等于a-3b．

（1）画射线_____；
（2）在射线_____上，截取______=a；
（3）在线段______上，顺次截取______=______=_______=b；线段______就是所要画的线段．
【答案】(1)AF
(2)AF，AB
(3)BA，BC，CD，DE，AE
【分析】结合图形，根据作图步骤，利用线段的和差定义求解即可．
（1）
解：画射线AF，
故答案为：AF；
（2）
解：在射线AF上，截取AB＝a，
故答案为：AF，AB；
（3）
解：在线段BA上，顺次截取BC＝CD＝DE＝b；线段AE就是所要画的线段，
故答案为：BA，BC，CD，DE，AE．
例2
如图，已知线段m，n，用尺规作图法，作一条线段，使它等于m-n.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】在射线AP上截取AB=m，AC=n，则BC即为所作．
【详解】如图，线段BC为所作．
变1
如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使．要求：不写作法，但要保留作图痕迹，标注大写字母．

【答案】作图见解析
【分析】根据线段的和差的尺规作图方法作图即可．
【详解】解：如图所示，线段AB即为所求；
先作射线AP，再以A为圆心，以线段a的长为半径画弧与射线AP交于点C，再以点C为圆心，以线段c的长为半径画弧交射线AP于D，再以D为圆心，以线段b的长为半径画弧交射线AP于E，最后以E为圆心，以线段b的长为半径画弧交射线AP于B，线段AB即为所求；
变2
如图，已知线段a，b，用直尺和圆规在射线MH上作线段MP，使MP=3b-a，不写作法，保留作图痕迹．

【答案】见解析
【分析】在射线MH上依次截取MA=AB=BC=b，再在CM上截取CP=a，则MP满足条件．
【详解】解：如题所示：MP为所求．
考点二 线段的和差计算
类型一 线段的和差计算（1）
例1
如图，已知线段AB＝4 cm，延长AB至点C，使AC＝11 cm．点D是AB的中点，点E是AC的中点，则DE的长为（ ）

【答案】B
【分析】根据线段中点得出AD＝2cm，AE＝5.5cm，结合图形即可得出结果．
【详解】解：∵AB＝4 cm，点D是AB的中点，
∴AD＝AB＝2cm．
∵AC＝11cm，点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝5.5 cm．
∴DE＝AE－AD＝5.5－2＝3.5cm
故选：B．
例2
延长线段AB到C，使，反向延长AC到D，使，若AB=8cm，则CD= cm．
【解题思路】根据题中线段的长度关系，即能求出CD的长度．
【解答过程】解：如图，BC4，AC＝AB+BC＝8+4＝12cm，
AD6，CD＝AD+AC＝12+6＝18cm．
故答案为18．
例3
已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（ ）
【答案】C
【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出、的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵cm，
又∵的中点为，
∴，
∵cm，
∵的中点为，
∴，
∴．
故选：C
例4
如图，点，点在线段上，点，点分别为，的中点．若，，则的长为______．

【答案】m+n
【分析】先根据中点的定义可得EC=AC、DF=BD，再根据线段的和差可得AC+BD=AB-CD=m-n，最后根据=EC+CD+DF求解即可．
【详解】解：∵点、点分别为、的中点
∴EC=AC,DF=BD
∵，
∴AC+BD=AB-CD=m-n
∴=EC+CD+DF=AC+CD+BD=(AC+BD)+CD=( m-n)+n=m+n．
故答案为m+n．
变1
如图，是线段上两点，若，，且是中点，则的长等于（ ）

【答案】A
【分析】先根据CB=4cm，DB=7cm求出CD的长，再根据D是AC的中点求出AC的长即可．
【详解】解：∵C，D是线段AB上两点，CB=4cm，DB=7cm，
（cm），
∵D是AC的中点，
（cm）．
故选：A．
变2
线段MN上有P、Q两点，MN=32cm，MP=17cm，PQ=6cm，求NQ的长．

【答案】
【分析】根据线段之间的和与差进行求解即可．
【详解】解：∵MN=32cm，MP=17cm，PQ=6cm，
∴NQ=MN-MP-PQ=9cm．
变3
如图，点C、D是线段AB上任意两点，点M是AC的中点，点N是DB的中点，若AB=a，MN
=b，则线段CD的长是（ ）

【解题思路】先由AB﹣MN＝a﹣b，得AM+BN＝a﹣b，再根据中点的性质得AC+BD＝2a﹣2b，最后由CD＝AB﹣（AC+BD）即可求出结果．
【解答过程】解：∵AB＝a，MN＝b，
∴AB﹣MN＝a﹣b，
∴AM+BN＝a﹣b，
∵点M是AC的中点，点N是DB的中点，
∴AM＝MC，BN＝DN，
∴AC+BD＝AM+MC+BN+DN＝2（AM+BN）＝2（a﹣b）＝2a﹣2b．
∴CD＝AB﹣（AC+BD）＝a﹣（2a﹣2b）＝2b﹣a．
故选：A．
类型二 线段的和差计算（2）
例1
如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长（ ）

【答案】C
【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，
∵AD＝AE＋DE，DE＝AE，
∴AE＋AE＝8，
∴AE＝6，DE＝2，
∵点C为DB的中点，
∴CD＝BD＝×8＝4，
∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，
故选：C．
例2
如图，点C是线段AB的中点，CD＝AC，若AD=2cm，则AB=（ ）

【答案】D
【分析】根据CD＝AC，设，则，根据AD＝2cm列出方程，即可求出AC的长度，再根据点C是线段AB的中点，即可得出答案．
【详解】解：设，
∵CD＝AC，
∴
∵AD＝2cm，
∴
∴
∴
∵点C是线段AB的中点，
∴
故选D．
变1
已知线段，延长到，使，为的中点，若cm，则（ ）

【答案】D
【分析】根据题意可得，根据中点的性质可得，根据，结合已知条件即可求解．
【详解】解：，
，
为的中点，
，
，
，
cm，
故选D
变2
如图，已知，，点是线段的中点，求的长．

【答案】
【分析】根据已知条件求出和的长，根据线段中点求出，即可依据，求出的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴
．
∴的长为．
类型三 线段的和差计算（3）
例1
如图，长度为12cm的线段AB的中点是点M，点C在线段MB上，且，则线段AC的长为______．
【答案】8cm##8厘米
【分析】先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB=1：2的关系，求MC的长，最后利用AC=AM+MC得其长度．
【详解】解：∵线段AB的中点为M，
∴AM=BM=6cm，
设MC=x，则CB=2x，
∴x+2x=6，解得x=2，
即MC=2cm，
∴AC=AM+MC=6+2=8（cm）．
例2
如图所示，C，D两点把线段AB分成了2：3：4三部分，M是AB的中点，DB＝12，求AM的长．

【答案】13.5
【分析】根据比例设出AC、CD、DB的长度，然后根据DB的长度求出三条线段的长度，从而得到AB的长度，再根据点M是AB的中点求出AM的长度．
【详解】解：设AC＝2x，CD＝3x，DB＝4x，
∵DB＝12，
∴4x＝12，
解得x＝3，
∴AC＝2×3＝6，CD＝3×3＝9，
∴AB＝AC+CD+DB＝27，
又M为AB中点，
∴AM＝AB＝13.5．
例3
如图，已知AB和CD的公共部分，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是
10cm，则AB的长是 ．
【解题思路】设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，由中点的定义可得EF（3x+4x）＝10，即可求解x值，进而可求得AB的长．
【解答过程】解：设BD＝x，
∵BDABCD，
∴AB＝3x，CD＝4x，
∵线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，
∴EF＝BE+BFABCD﹣BD（AB+CD）﹣BD（3x+4x）﹣x＝10cm，
解得x＝4，
∴AB＝3x＝12（cm）．
故答案为12cm．
变1
如图，点、、在线段上，，是的中点，，求线段的长．

【答案】
【分析】由是的中点，可求得BC=2BE=4cm，又由，可求出AC=10cm，从而求得AB=6cm，再根据，可求得BD=4cm，即可由DE=BD+BE求解．
【详解】解：∵，且是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴(cm)，，
∵，AD+BD=AB，
∴BD+BD=6cm
∴.
∴，
答：长为.
变2
如图，已知BD＝16cm，，点C是线段BD的中点，那么AC＝ cm．
【解题思路】先由BD＝16cm，BDAB知ABBD＝40cm，再由点C是线段BD的中点知BCBD＝8cm，根据AC＝AB﹣BC求解可得答案．
【解答过程】解：∵BD＝16cm，BDAB，
∴ABBD16＝40（cm），
又∵点C是线段BD的中点，
∴BCBD＝8cm，
则AC＝AB﹣BC＝40﹣8＝32（cm），
故答案为：32．
变3
如图，已知C是线段上的一点，，，求线段的长．

【答案】
【分析】根据即可得到，再根据AC+BC=AB进行求解即可
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵AC+BC=AB，AB=10cm，
∴，
∴．
变4
如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别在线段AC与线段BC上，且MC，BN＝2NC．

（1）若AC＝9，BC＝6，求线段MN的长；
（2）若MC：NC＝5：2，MN＝7，求线段AB的长．
【答案】(1)8；
(2)13.5．
【分析】（1）由AC＝9及AM＝MC可求解CM的长，由BN＝2NC及BC＝6可求得CN的长，再利用MN＝CM+CN可求解；
（2）由MC：NC＝5：2，MN＝7，可求解MC，CN的长，结合AM＝MC，BN＝2NC可求解AM，BN的长，利用AB＝AM+MN+BN计算可求解．
（1）
解：（ 1）∵AM＝MC，
∴CM＝AC，
∵AC＝9，
∴CM＝6，
∵BN＝2NC，
∴CN＝BC，
∵BC＝6，
∴CN＝2，
∴MN＝CM+CN＝6+2＝8；
（2）
解：∵MC：NC＝5：2，MN＝7，
∴MC＝5，CN＝2，
∵AM＝MC，BN＝2NC，
∴AM＝2.5，BN＝4，
∴AB＝AM+MN+BN＝2.5+7+4＝13.5．
类型四 线段的和差计算（4）
例1
已知线段AB＝6cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝2cm，则线段AC的长为（ ）
【答案】D
【分析】分情况讨论，点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．
【详解】解：当点C在线段AB上，
∵AB=6cm，BC=2cm，
∴AC=AB-BC=6-2=4（cm）；
当点C在线段AB的延长线上，
∵AB=6cm，BC=2cm，
∴AC=AB+BC=6+2=8（cm）；
综上，线段AC的长为4cm或8cm．
故选：D．
例2
若点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，线段AB＝18cm，则线段的BD长为（ ）
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义画出图形即可得到结论．
【详解】解∶∵C是线段AB的中点， AB= 18cm，
∴AC=BC=AB=×18=9cm，
点D是线段AC的三等分点，
当点D离点A较近，即AD=AC时，如图1，
∵AD=AC，AC=9cm，
∴AD=3cm，
∴BD=AB-AD= 18-3=15cm；
②当点D离点C较近，即CD=AC时，如图2，
∵CD=AC，AC=9cm，
∴CD=3cm，
∵BC=9cm，
∴BD= BC+CD=9+3=12cm，
故选：C．
例3
一条直线上有，，三点，，，点，分别是，的中点，则______．
【答案】或
【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解．
【详解】解：根据题意由两种情况
若B在A，C两点之间，如图：
则,
，
(cm)；
若C在A，B两点之间，如图：
则
，
(cm)，
故答案为：13cm或5cm．
例4
已知线段，点C是直线AB上的一点，且，若点E、F分别是线段AB、BC的中点，求线段EF的长．（要求画出示意图）
【答案】线段EF的长为8或4
【分析】先根据，，求出，再根据点E、F分别是线段AB、BC的中点，求出，，分两种情况讨论，求出EF的长即可．
【详解】解：当点C在点B的右侧时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点E、F分别是线段AB、BC的中点，
∴，，
∴；
当点C在点B的左侧时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点E、F分别是线段AB、BC的中点，
∴，，
∴；
综上分析可知，线段EF的长为8或4．
变1
如果A、B、C三点共线，线段cm，cm，那么A、C两点间的距离是______．
【答案】12cm或2cm
【分析】分两种情况：点C在点B的右边时，点C在点B的左边时，根据直线上两点间的距离来解决问题即可．
【详解】解：如图所示，点C、点C'的位置就是点C位置的两种情况．
点C的位置有两种情况，
点C在点B的右边时，AC=7+5-12cm；
点C在点B的左边时，AC=7-5=2cm．
故答案为：12cm或2cm．
变2
在直线线上取A、B、C三点，使，，点O是线段AC的中点，则线段OB的长是______．
【答案】1cm或4cm##4cm或1cm
【分析】分C在线段AB上和不在线段AB上两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图1所示，当点C不在线段AB上时，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=AB+BC=8cm，
∵O是线段AC的中点，
∴，
∴OB=OC-BC=1cm；
如图2所示，当C在线段AB上时，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=AB-BC=2cm，
∵O是线段AC的中点，
∴，
∴OB=OC+BC=4cm；
故答案为：1cm或4cm．
变3
在一条直线上顺次取，，三点，使得，点是线段的中点，且，则______．
【答案】或
【分析】分两种情况：①点在线段上；②点在线段上，然后根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质可得的长，最后再根据线段的和差可求得的长．
【详解】解：①点在线段上，如图，
∵，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴；
②点在线段上，如图，
∵，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴．
综上所述，线段的长为或．
故答案为：或．
变4
已知点在直线上，且线段，，点、分别是、的中点，则的长为______．
【答案】6或12##12或6
【分析】由线段的中点，线段的和差倍分求出线段PQ的长为6或12．
【详解】解：①点M在线段AB上时，如图所示：
∵AB＝AM＋MB，AM＝BM，AB＝16，
∴AM＝4，BM＝12，
又∵Q是AB的中点，
∴AQ＝BQ＝AB＝×16＝8，
又∵MQ＝BM−BQ，
∴MQ＝12−8＝4，
又∵点P是AM的中点，
∴AP＝PM＝AM＝×4＝2，
又∵PQ＝PM＋MQ，
∴PQ＝2＋4＝6；
②点M在线段AB的反向延长线上时，如图所示：
同理可得：AQ＝AB＝×16＝8，
又∵AM＝BM，
∴AM＝AB＝×16＝8，
又∵点P是AM的中点，
∴AP＝AM＝8＝4，
又∵PQ＝PA＋AQ，
∴PQ＝4＋8＝12，
综合所述PQ的长为6或12．
故答案为：6或12．
变5
如图，点C为线段AD上一点，点B为线段CD的中点，且AD=10cm，BD=3cm．

（1）图中共有几条线段；
（2）求线段AC的长；
（3）点E若在直线AD上，且AE=2cm，求BE的长．
【答案】(1)6条线段
(2)
(3)或
【分析】（1）根据线段的定义找出线段即可；
（2）先根据点B为CD的中点，BD=3cm求出线段CD的长，再根据AC=AD-CD即可得出结论；
（3）分点E在AC上和点E在CA延长线上两种情况，先求得AB=AC+BC=7cm，再分别根据BE=AB-AE、BE=AB+AE可得答案．
（1）
解：图中共有1+2+3=6条线段，
∴共有6条线段；
（2）
∵点B为CD的中点.
∴CD=2BD，
∵BD=3cm，
∴CD=6cm，
∵AC=AD-CD且AD=10cm，CD=6cm，
∴AC=4cm；
（3）
如图1，当E在线段AC上时，
∵AB=AD-BD=7cm，AE=2cm，
∴BE=AB-AE=5cm，
如图2，当E在CA延长线上时，
∵AB=AD-BD=7cm，AE=2cm，
∴BE=AB+AE=9cm，
综上，BE的长为5cm或9cm．
类型五 线段的和差计算（5）
例1
如图，、是线段上的点，若，，则图中以、、、为端点的所有
线段的长度之和为（ ）

【分析】先根据线段的定义表示出所有的线段，然后整理成用、表示形式，再代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：以、、、为端点的所有线段分别是、、、、、共6条，
长度之和为：
．
故选：．
例2
如图，已知线段长度为，长度为，则图中所有线段的长度和为 ．

【分析】依据线段长度为，可得，依据长度为，可得，进而得出所有线段的长度和．
【解答】解：线段长度为，
，
又长度为，
，
图中所有线段的长度和为：，
故答案为：．
例3
如图，，是线段上的两点，且，已知图中所有线段长度之和为81，则长为（ ）

【分析】设，根据，得到，，，，，再把各线段相加即可．
【解答】解：设，
，
，，
，，，
所有线段长度之和为81，
．
，
．
故选：．
变1
如图，已知，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则图中所有线段的和是 ．

【分析】首先根据线段中点的定义可得，再找出图中所有的线段，根据线段的和差可得答案．
【解答】解：，，
，
是线段的中点，
，
图中所有线段的和是：．
故答案为：16.5．
变2
如图，点、在线段上．，，，则图中所有线段的和
是 ．

【分析】根据线段的和差，可得的长，根据拆项法，可得，，根据交换律、结合律，可得答案．
【解答】解：图中线段有、、、、、，共六条线段．
其中，
，
，，
，
，
故图中所有线段的和为，
故答案为：53．
变3
已知：如图，，为线段上的两点，点为的中点，若，图中所有线段的和为80（不重复计），则线段的长是 ．

【分析】先找出图中所有的线段，然后根据题目的已知条件即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
故答案为：15．
变4
如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以，，，为端点的所有线段长度和不可能为（ ）

【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是，然后根据，线段的长度是一个正整数，可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：，
以、、、为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1，
以、、、为端点的所有线段长度和不可能为21．
故选：．
考点三 线段和差的综合应用
例1
如图，已知点、、在同一直线上，、分别是、的中点．

（1）若，，求的长；
（2）若，，求的长；
（3）若，，求的长；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？

【分析】（1）由于点、、在同一直线上，、分别是、的中点，由此即可得到，，而，由此就可以求出的长度；
（2）根据（1）的结论可以知道，然后把，代入即可求出的长度；
（3）方法和（2）一样，直接把，代入即可求出结果．
（4）根据（1）（2）（3）可以得出的长度始终等于线段的一半．
【解答】解：（1），，
，
点、、在同一直线上，、分别是、的中点，
，，
；
（2）根据（1）得；
（3）根据（1）得；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到线段始终等于线段的一半，与的点的位置无关．
例2
（1）如图，已知点在线段上，且，，点、分别是、的中
点，要求线段的长度，可进行如下的计算．请填空：
解：因为是的中点，所以 ，因为，所以．
因为是的中点，所以，因为，所以 ．所以 ．
（2）对于（1），如果，，其他条件不变，请求出的长度．

【分析】（1）已知，的长度，点，分别为，的长度．则，，，从而可求出的长度．
（2）将第一问中得到的中和的具体值分别换成，即可用，表示的的长度．
【解答】解：（1）由分析可得题中应填：；；
（2）因为是的中点，所以，
因为，所以
因为是的中点，所以，
因为，所以，
所以．
例3
如图，点在线段上，点、分别是、的中点．

（1）若，，求线段的长；
（2）若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3）若在线段的延长线上，且满足，、分别为、的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【分析】（1）根据“点、分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可，
（2）当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在，
（3）点在的延长线上时，根据、分别为、的中点，即可求出的长度．
【解答】解：（1），点是的中点，
，
，点是的中点，
，
，
线段的长度为，
（2），
当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在，
（3）当点在线段的延长线时，如图：
则，
是的中点，
，
点是的中点，
，
．
变1
（1）如下图，已知点在线段上，且，，点，分别是，的中点，求线段的长度．
（2）在（1）中，如果，，其它条件不变，你能猜出的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律．
（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它：“已知线段，，点在直线上，点，分别是，的中点，求的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．

【分析】（1）（2）在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，最好准确画出几何图形，再根据题意进行计算；
（3）会出现两种情况：①点在线段上；②点在的延长线上．不要漏解．
【解答】解：（1），，点，分别是，的中点，
；
（2），直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
（3）如图，有变化，会出现两种情况：
①当点在线段上时，；
②当点在的延长线上时，．
变2
如图①点在线段上，点、分别是、的中点，且满足，．

（1）若，，求线段的长；
（2）若点为线段上任意一点，其它条件不变，你能猜想的长度吗？直接写出你的猜想结果；
（3）若点在线段的延长线上，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请在图②中画出图形，写
出你的猜想并说明理由．

【分析】（1）根据、分别是、的中点，求出、的长度，；
（2）根据（1）的方法求出；
（3）作出图形，，，所以．
【解答】解：（1）、分别是、的中点，
，，
，
所以的长为．
（2）同（1），．
（3）图如右，．
理由：由图知
．
变3
（1）如图，已知点在线段上，且，，点、分别是、的中点，求线段的长度；
（2）若点是线段上任意一点，且，，点、分别是、的中点，请直接写出线段的长度；（用、的代数式表示）
（3）在（2）中，把点是线段上任意一点改为：点是直线上任意一点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，求出结果．

【分析】（1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，则；
（2）根据点、分别是、的中点，，，所以；
（3）长度会发生变化，分点在线段上、点在、之间和点在、之间三种情况讨论．
【解答】解：（1），点是的中点
，点是的中点
线段的长度为．
（2）．
（3）线段的长度会变化．
当点在线段上时，由（2）知
当点在线段的延长线时，如图：
则
点是的中点
点是的中点
当点在线段的延长线时，如图：
则
同理可求：
综上所述，线段的长度变化，，，．
例4
如图，是定长线段上一点，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动在线段上，在线段上）
（1）若、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；

（2）在（1）的条件下，是直线上一点，且，求的值．

（3）在（1）的条件下，若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动点在线段上），、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．

【分析】（1）根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以点在线段上距离的处；
（2）由题设画出图示，根据求得；然后求得，从而求得与的关系；
（3）当点停止运动时，有，从而求得与的数量关系；然后求得以表示的与的值，所以．
【解答】解：（1）根据、的运动速度知：
，
，即，
点在线段上的处；
（2）如图：
，
；
又，
，
，
．
当点在的延长线上时
所以
所以；
（3）②．
理由：当时，点停止运动，此时，
①如图，当，在点的同侧时
②如图，当，在点的异侧时
当点停止运动，点继续运动时，的值不变，所以，．
变4
已知：如图1，是定长线段上一定点，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示在线段上，在线段上）
（1）若，当点、运动了，求的值．
（2）若点、运动时，总有，直接填空： ．
（3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的值．

【分析】（1）计算出及的长，进而可得出答案；
（2）根据图形即可直接解答；
（3）分两种情况讨论，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．
【解答】解：（1）当点、运动了时，，
，，
．
（2）设运动时间为，
则，，
，，
又，
，
即，
，
，
故答案为：．
（3）当点在线段上时，如图
，又
，，即．
当点在线段的延长线上时，如图
，又
，即．综上所述
课后强化
1.尺规作图：已知线段a、b，求作线段AB，使得AB=a+2b．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】作图见解析
【分析】如图，先作射线AF，再在射线AF上依次截取AD=a，DE=EB=b，从而可得答案．
【详解】解：如图，线段 即为所求作的线段，
【点睛】本题考查的是作一条线段等于已知线段，一条线段等于已知线段的和，掌握“基本作图的方法与步骤”是解本题的关键．
2.如图，已知线段a、b、c，用尺规求作线段AB，使得（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】见解析
【分析】在射线l上截取AD=a，再从AD上截取CD=b，CB=c，进而得出AB的长．
【详解】解：如图所示，AB即为所求．
3.已知点M在线段AB上，在①AB＝2AM；②BM＝AB；③AM＝BM；④AM+BM＝AB四个式子中，能说明M是线段AB的中点的式子有（ ）
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义，借助图形逐一判断即可．
【详解】解：如图：
∵AB=2AM，
∴点M是线段AB的中点，
∵BM=AB，
∴点M是线段AB的中点，
∵AM=BM，
∴点M是线段AB的中点，
故①②③都能说明点M是线段AB的中点，
根据：④AM+BM=AB，不能判断点M是线段AB的中点，
故选：C．
4.已知点P，Q在线段上，P是线段的中点，Q是线段的中点，，则的长为（ ）
【答案】C
【分析】根据中点定义求得AQ=AP，AP=AB，从而AQ==3，进而利用线段和差即可求解．
【详解】解：如图，
∵P是线段的中点，Q是线段的中点，
∴AQ=AP，AP=AB，
∴AQ=，
∵，
∴AQ=3，
∴BQ=AB-AQ=12-3=9，
故选C．
5.已知：C是线段AB中点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若DE=10cm，则线段AD的长（ ）
【答案】A
【分析】先画出图形，再利用线段中点的含义证明从而可得答案．
【详解】解：如图，
∵C是线段AB中点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴
∴
∵
∴
故选A
6.C是线段上一点，是的中点，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，先求出，再根据线段中点的定义详解．
【详解】解：如图，，，
．
是的中点，
．
故答案是：．
7.如图，已知点C是线段上的点，D是延长线线上的点，且，，，求的长.

【答案】
【分析】根据，，可求出的长，即可得的长，根据，可求出的长，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
8.如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB=6，CD=1．

（1）求BC的长；
（2）若AE：EC＝1：3，求EC的长．
【答案】(1)BC＝2
(2)EC＝3
【分析】（1）根据线段中点的定义得到BDAB＝3，由线段的和差即可得到结论；
（2）由线段中点的定义得到ADAB＝3，得到AC＝AD+CD＝4，根据已知条件即可得到结论．
（1）
解：∵点D为线段AB的中点，AB＝6，
∴BDAB＝3，
∵CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2；
（2）
∵点D为线段AB的中点，AB＝6，
∴ADAB＝3，
∵CD＝1，
∴AC＝AD+CD＝4，
∵AE：EC＝1：3，
∴EC4＝3．
9.如图，C、D是线段上两点，且AC：CD：BD =2：3：4，若E为AC的中点，F为DB的中点，EF=4.8cm，求AB的长．

【答案】
【分析】根据题意设，根据E为AC的中点，F为DB的中点，EF=4.8cm，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵AC：CD：BD =2：3：4，
∴设，
∵E为AC的中点，F为DB的中点，
，
，
，
，
解得，
．
10.如图所示，点在线段上，点，分别为，的中点．

（1）若，，求线段，的长；
（2）若点在线段的延长线上，且满足，点，分别是线段，的中点，请画出图形，并用的式子表示的长度．
【答案】(1)，
(2)画图见解析，
【分析】（1）根据线段中点的定义得到MC=AC=3cm，NC=BC=3.5cm，然后利用，进行计算；
（2）根据（1）的方法进行计算即可求解．
（1）
解：∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
∴．
（2）
如图所示：
∵点是的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴．
11.如图，已知线段，，点M是AC的中点．

（1）求线段AM的长；
（2）在CB上取一点N，使得，求线段MN的长．
【答案】(1)4
(2)9
【分析】（1）根据线段的和差关系，可得，根据点M是AC的中点，可得；
（2）由，求得,根据点M是AC的中点，求得，根据即可求解．
（1）
解：线段，，
∴，
又∵点M是AC的中点．
∴，即线段AM的长度是4；
（2）
解：∵，，
∴，
又∵点M是AC的中点，，
∴，
∴，即MN的长度是9 ．
12.如图，B、C两点把线段AD分成了2：3：4三部分，M是AD的中点，CD=16，求：

（1）MC的长
（2）BM：AB的值．
【答案】(1)2
(2)5：4
【分析】（1）根据线段之间的比，算出三条线段的长度，再求出AD的总长，根据中点的定义得出MD的长，运用线段的和差关系MC=MD-CD算出即可；
（2）求出BM和AB的值，再求出比即可．
（1）
由AB：BC：CD=2：3：4，设AB=，BC=，CD=
∵CD=16，
∴，
∴，
∴AB=，BC=，
∴AD=AB+BC+CD=36，
又∵M是AD的中点，
∴ AM=MD=18
由线段的和差，得MC=MD-CD=18-16=2
（2）
由⑴得AM=18，AB=8，
∴BM=AM-AB=10，
∴BM=AM-AB=18-8=10
∴BM：AB=5：4
13.点A、B、C在同一直线上，，，则（ ）
【答案】C
【分析】分两种情况分别计算，即可分别求得．
【详解】解：当点C在线段AB上时，BC=AB-AC=10-2=8(cm)，
当点C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC=10+2=12(cm)，
故BC的长为12cm或8cm，
故选：C．
14.若点A、B、C在一条直线上，且，，则线段的长为______．
【答案】3cm或9cm##9cm或3cm
【分析】分点C在点B的左侧和右侧两种情况计算即可．
【详解】当点C在点B的右侧时，
AC=AB+BC=3+6=9（cm）；
当点C在点B的左侧时，
AC=AB-BC=6-3=3（cm）；
故答案为：3cm或9cm．
15.如图所示，是线段的中点，是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为39，求线段
的长度．

【分析】结合图形可知，图形中共有6条线段，分别用的代数式表示出6条线段，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：设，则，，，．
解得
．
答：线段的长为6．
16.如图，是线段的中点，是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为26，则线段的
长度为 ．

【分析】设，根据线段的中点得出，，，，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设，
是线段的中点，是线段的中点，
，，，，
，
，
解得：，
即，
故答案为：4．
17.如图，点，，在线段上，线段，是线段上靠近点的三等分点．点为线段的中点，且图中所有线段的长度和是线段的长度的10倍，求的长度．

【分析】利用是线段上靠近点的三等分点，可以先求出与的长，所有线段的长度共有10条，表示出所有线段的长度和，利用方程思想即可求解．
【解答】解：是线段上靠近点的三等分点，
，
，
设为，
点为线段的中点，
，，
，，，
图中共有10条线段，它们的线段和为：
，
图中所有线段的长度和是线段的长度的10倍，
，
解得：，
则，
答：的长度是．
18.（1）如图，点C在线段AB上，线段，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．
（2）对于（1），如果叙述为：“已知线段，点C在直线AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．”，结果会有变化吗？如果有，画出图形，求出结果．

【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）由已知条件可知，MN=MC+NC，又因为点M、N分别是AC、BC的中点，则MC=AC，NC=BC，故MN=MC+NC=（AC+BC），由此即可得出结论；
（2）本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，分2种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵AC=6cm，且M是AC的中点，
∴MC=AC==3cm，
同理：CN=2cm，
∴MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm，
∴线段MN的长度是5cm；
（2）分2种情况：
当点C在线段AB上，
由（1）得MN=5cm，
当C在线段AB的延长线上时，如图，

∵AC=6cm，且M是AC的中点，
∴MC=AC=×6=3cm，
同理：CN=2cm，
∴MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm，
∴当C在直线AB上时，或．
19.（1）已知：如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，求的长度．
（2）根据（1）的计算过程与结果，设，其它条件不变，你能猜出的长度吗？请用一句简洁的语言表达你发现的规律．
（3）若把（1）中的“点在线段上”改为“点在直线上”，其它条件不变，结论又如何？请说明你的理由．

【分析】（1）
（2）由（1）即可得出规律．
（3）画出简单的图形，数形结合会很简单．
【解答】解：（1）点、分别是、的中点，
，，
．
（2）的长度是．
已知线段分成两部分，它们的中点之间的距离等于原来线段长度的一半．
（3）分情况讨论：当点在线段上时，由（1）得；
当点在线段延长线上时，．
课程标准
1.熟练掌握尺规作图的方法；
2.掌握线段大小比较的常用方法；
3.熟练掌握计算线段的长度.
A．3cm
B．3.5cm
C．4cm
D．4.5cm
A．13cm
B．6cm
C．3cm
D．1.5cm
A．6cm
B．5cm
C．7cm
D．4cm
A．2b-a
B．2（a-b）
C．A-b
D．（a+b）
A．7
B．
C．6
D．5
A．3cm
B．2.5cm
C．4cm
D．6cm
A．13cm
B．14cm
C．15cm
D．16cm
A．4cm
B．8cm
C．6cm
D．8cm或4cm
A．6cm
B．15cm
C．12cm或15cm
D．12cm或6cm
A．24
B．22
C．20
D．26
A．9
B．
C．
D．以上都不对
A．
B．
C．
D．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A．3
B．6
C．9
D．12
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．20cm
A．12cm
B．8cm
C．12cm或8cm
D．以上均不对