苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性导学案

这是一份苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性导学案，共13页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【微点拨】
1.线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直2.接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【即学即练1】如图所示，在△ABC中，DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，其垂足分别为D，M，分别交BC于E，N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝_____．
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝_____．
【即学即练2】如图所示，在中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=2AC．求证：点D在线段AB的垂直平分线上．
知识点02 角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2.角平分线的画法
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
【微点拨】
用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【即学即练3】如图，在中，，AD是的平分线，，垂足为点E．若，，求BE的长．
【即学即练4】如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．
求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）AD是∠BAC的平分线．
能力拓展
考法01 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【典例1】如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：EB平分∠ABC．
（3）求证：AE=EF．
考法02 角平分线的性质定理
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【典例2】如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
2．三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点D．三条高所在直线的交点
3．如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．
A．三条角平分线B．三条中线
C．三条高的交点D．三条垂直平分线
4．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一所小学，使小学到三个小区的距离相等，则小学应建在（ ）
A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
5．如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为 ________．
6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，已知PC＝5，则点P到OA的距离是________.
7．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为_____．
8．如图，在中，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交于点D，连接．若，则的长为______．
9．如图，已知，△ABC（AB＜AC）将△ABC沿过点A的直线折叠，使AB边落在线段AC上，直线交BC边于点M，利用尺规作图方法，作出直线AM；（保留作图痕迹，不写作法）
10．如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
题组B 能力提升练
1．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ）
A．13B．14C．18D．21
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则BD的长为（
A．B．C．D．
3．如图，是的三条角平分线的交点，连接、、，若面积分别为、、，则（ ）
A．B．C．D．无法确定与的大小
4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC三条角平分线的交点，则等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
5．如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于，，，的周长为14cm，则的周长为______cm．
6．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是________cm．
7．如图，在中，，AD是的角平分线，过点D作，若，则______．
8．如图，，若，则到的距离为_________．
9．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°．请你用尺规在AB边上找一点D．使得CD的长度最短．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（ ）
A．9B．5C．10D．不能确定
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
5．如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D．若，，则△ABD的面积为_________．
6．如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝_____°．
7．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，DE交AC于点E，且，△BEC的周长为11，则BC的长为________．
8．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点N，则的周长为___________．
9．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．
(1)求证：∠BAE＝∠C．
(2)若∠BAE＝32°，求∠B的度数．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD为∠BAC的平分线，F为AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，DF＝DB．
(1)求证：DC＝DE；
(2)求证：△CDF≌△EDB；
11．如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．
(1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
12．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：PD＝PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
课程标准
课标解读
1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．
2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线的性质解决问题．
1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念;
2.探索并掌握线段的垂直平分线的性质;
3.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合;