2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习5.6 三角函数倍角公式 (学生版+教师版)

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三角函数倍角公式 (本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)1 二倍角的正弦余弦正切公式① sin2α=2sinαcosα② cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1③ tαn2α=2 tαnα1-tαn2α(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式)2 降幂公式cos2α=1+cos2α2 sin2α=1-cos2α2 (由余弦倍角公式可得)3* 半角公式sinα2 =±1-cosα2 ,cosα2 =±1+cosα2 ,tanα2 =±1-cosα1+cosα (由降幂公式可得)4* 万能公式sinα=tanα21+tan2α2，cosα=1-tan2α21+tan2α2 ,tanα=2tanα21-tan2α2(由倍角公式可得)5*积化和公式sinα∙cosβ=12sinα+β+sinα-βcosα∙cosβ=12[cosα+β+cosα-β]sinα∙sinβ=12[cosα-β-cosα+β](由和差公式可得)6* 和化积公式sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2 sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2 cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2(由和差公式可得) 【题型一】 倍角公式的运用 【典题1】 求值cos20°cos35°1-sin20°=　 　．【解析】 cos20°cos35°1-sin20°=cos210°-sin210cos⁡(45°-10°)(cos10°-sin10°)=cos10°+sin10°cos45°cos10°+sin45°sin10°=cos10°+sin10°22(cos10°+sin10°) =2. 【典题2】计算4cos50°-tan40°= .【解析】 4cos50°-tan40°=4cos50°-sin40°cos40°=4cos50°cos40°-sin40°cos40°=4sin40°cos40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2cos10°-sin40°cos40°=2cos⁡(40°-30°)-sin40°cos40°=3cos40°cos40°=3【点拨】① 正切化弦；② 注意角度之间的关系，比如互余(50°与40°、80°与10°)、倍数关系、角度相差值是特殊值(10°与40°相差30°). 【典题3】如果1+tanα1-tanα=2013，那么1cos2α+tan2α= .【解析】1cos2α+tan2α =1cos2α+sin2αcos2α=1+sin2αcos2α (化切为弦)=cosα+sinα2cosα+sinαcosα-sinα =cosα+sinαcosα-sinα =1+tanα1-tanα=2013 【点拨】① 本题的思路有二，一是先化简所求式子再利用已知条件，化二倍角为一倍角；二是由已知可求tanα，进而可得sinα,cosα，再求tan2α与cos2α得结果，但数值不好求.② 化切为弦是常见思路，也可1cos2α+tan2α=cos2α+sin2αcos2α-sin2α+2tanα1-tan2α=1+tan2α1-tan2α+2tanα1-tan2α=(1+tanα)21-tan2α=1+tanα1-tanα=2013．方法多样，多思考. 【典题4】已知sin(π12-α2)=33，则sin(2α+π6)的值为 .【解析】∵sin(π12-α2)=33，∴cosπ6-α=1-2sin2(π12-α2)=13，∴sin2α+π6=cosπ3-2α=2cos2π6-α-1=2×132-1=-79．【点拨】α2与2α是四倍关系，故可用借助α进行转化；解题中多用综合法与分析法求解.【典题5】 若α∈(0 , π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，则tanα=　 　．【解析】 ∵α∈(0 , π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，∴cos2α=25×22(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，∴cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，∴cosα-sinα=15 ① , ∴①式两边平方可得：1-2sinαcosα=125，解得2sinαcosα=2425，∴2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=2425，(巧用sin2α+cos2α=1，齐次化处理)可得12tan2α－25tanα+12=0，解得tanα=34或43．由①可知cosα>sinα，即tanα<1，(注意对最后求值的取舍)∴tanα=34.【点拨】本题的处理方法很多，平时要多注意一题多解，提高对公式灵活运用的能力.比如凑角cos2α=25sinα+π4⇒sin2α+π4=25sinα+π4；得到cosα-sinα=15后能求出cosα和sinα等等.巩固练习1(★) 计算3-tan12°(2cos212°-1)sin12°=　 　． 【答案】 8 【解析】原式=3-sin12°cos12°cos24°sin12°=3cos12°-sin12°cos24°sin12°cos12°=2sin(60°-12°)14sin48°=2sin48°14sin48°=8．2(★) 已知θ∈(0 ,π2) ,sinθ=55，则cos2θtanθ=　 . 【答案】 65 【解析】∵θ∈(0，π2)，sinθ=55，∴cosθ=1-sin2θ=255，tanθ=sinθcosθ=12，则cos2θtanθ=cos2θ-sin2θtanθ=2025-52512=65，3(★) 若tanα+1tanα=3，则cos4α=　 . 【答案】 19 【解析】∵tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=2sin2α=3，∴sin2α=23，∴cos4α=1－2sin22α=19．4(★★) 设tanα=12，cos(π+β)=-45(β∈(0 ,π))，则tan(2α－β)的值为　 . 【答案】 724 【解析】∵tanα=12，tan2α=2tanα1-tan2α=11-(12)2=43，cos(π+β)=-cosβ=-45，β∈(0，π)，∴cosβ=45，sinβ=35，tanβ=34，∴tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=724．5(★★) 已知α∈(0 ,π)，且3cos2α－8cosα=5，则sinα=　 .【答案】 53 【解析】由3cos2α－8cosα=5，得3(2cos2α－1)－8cosα－5=0，即3cos2α－4cosα－4=0，解得cosα=2(舍去)，或cosα=-23．∵α∈(0，π)，∴α∈(π2，π)，则sinα=1-cos2α=1-(-23)2=53．6 (★★) 已知α∈(0 , π2)，若sin2α－2cos2α=2，则sinα=　 . 【答案】 255 【解析】∵sin2α－2cos2α=2，∴sin2α=2(cos2α+1)=4cos2α，可得sinαcosα=2cos2α，∵α∈(0，π2)，可得cosα≠0，∴sinα=2cosα，∵sin2α+cos2α=sin2α+14sin2α=1，解得sin2α=45，可得sinα=255．7 (★★) 已知α∈(π2 ,π) ,tan2α=34 ,则sin2α+cos2α=　 . 【答案】-12 【解析】∵tan2α=2tanα1-tan2α=34，α∈(π2，π)，∴tanα=－3或 13(舍去)，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=2tanα+1tan2α+1=-12．8 (★★) 已知sinα=2sinβ , tanα=3tanβ，则cos2α=　 . 【答案】 -14或1【解析】∵已知sinα=2sinβ，∴sinβ=12sinα ①．∵tanα=3tanβ，∴sinαcosα=3sinβcosβ，可得 cosβ=32cosα②，或sinα=0 ③．若②成立，则把①、②平方相加可得 1=14sin2α+94cos2α=14+2cos2α，解得cos2α=38．可得：cos2α=2cos2α－1=-14，若③成立，则有cos2α=1．可得cos2α=2cos2α－1=1，综上可得，cos2α=-14，或cos2α=1．故答案为：-14或1． 【题型二】 降幂公式的运用 【典题1】 在∆ ABC中，若3 cos2A-B2+5sin2A+B2=4，求tαn A tαnB.【解析】在∆ ABC中，若3 cos2A-B2+5sin2A+B2=4∴ 3× 1+cosA-B2+5× 1-cos⁡(A+B)2=4即32 cos (A-B)-52 cos (A+B)=0即3(cos A cos B+sin A sin B)=5(cos A cos B-sin A sin B)，即2 cos A cos B=8 sin A sin B , ∴ tαn A tαn B=14【点拨】式子中出现“平方”形式，想到降幂公式cos2α=1+cos2α2、sin2 α=1-cos2α2 .巩固练习1(★★) 若cos2θ=14，则sin2θ+2cos2θ的值为　 . 【答案】 138 【解析】∵cos2θ=14，∴sin2θ+2cos2θ=1-cos2θ2+1+cos2θ=32+12cos2θ=32+12×14=138．2(★★) 已知tanθ是方程x2－6x+1=0的一根，则cos2(θ+π4)= 　 . 【答案】 13 【解析】∵tanθ是方程x2－6x+1=0的一根，∴tan2θ－6tanθ+1=0，则sin2θcos2θ-6sinθcosθ+1=0，可得sin2θ－6sinθcosθ+cos2θ=0，可得sinθcosθ=16，∴sin2θ=2sinθcosθ=13，∴cos2(θ+π4)=1+cos(2θ+π2)2=1-sin2θ2=1-132=13．3(★★) 已知cos2αsinα+cosα=24，则cos2(34π+α)的值是　 .【答案】 78 【解析】∵cos2αsinα+cosα=(cosα+sinα)(cosα-sinα)sinα+cosα=cosα－sinα=24，∴两边平方，可得1－sin2α=18，可得sin2α=78，∴cos2(34π+α)=cos(3π2+2α)=sin2α=78．【题型三】角的变换【典题1】若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ-π4)=　 .【解析】∵2θ-π4=2θ+π8-π2，∴sin2θ-π4=sin2θ+π8-π2=-cos2θ+π8=-1－2sin2θ+π8=-79．【点拨】因为已知角θ+π8和所求角2θ-π4中θ的系数是2倍的关系，故想到2θ+π8与2θ-π4的差π2是特殊角为关键，则有2θ-π4=2θ+π8-π2.【典题2】 已知sin(α+3π4)=45，cos(π4-β)=35，且-π4<α<π4 , π4<β<3π4，求cos2(α－β)的值．【解析】 由-π4<α<π4得，π2<α+34π<π，(注意角度的范围)所以cos(α+34π)=-1-sin2(α+34π)=-35，由π4<β<34π得，-π2<π4-β<0，所以sin(π4-β)=-1-cos2(π4-β)=-45，所以cos[(α+34π)+(π4-β)]=cos(α+34π)cos(π4-β)－sin(α+34π)sin(π4-β)=-35×35-45×-45=725即－cosα－β=725，所以cos2α－β=2cos2α－β－1=2×(-725)2-1=-527625 【点拨】本题关键在于发现两个已知角之和α+34π+π4-β=π+α－β与所求角2(α－β)之间差个特殊角π存在两倍的关系.【总结】① 当已知角只有一个时，可已知角与所求角的和或差的值是否为一固定特殊角，或看已知角(所求角)的2倍与所求角(已知角)和或差的值是否为一固定特殊角；当已知角有两个时，主要看两个已知角的和或差形式与所求角的关系；特殊角为0、π3、π4、π6、π等.② 常见的角变换有：α=2∙α2 ， α=α+β-β=β-α+β，π4+α=π2-(π4-α)，β=12[α+β-α-β]等.③ 在运用和差角公式和倍角公式时，要注意“整体思想”的运用.巩固练习1(★★) 若cos(α+π12)=23，则sin(π3-2α)的值为　 　．【答案】 -59 【解析】∵cos(α+π12)=23，∴cos[2(α+π12)]＝2cos2(α+π12)－1＝2×232－1=-59，即cos(2α+π6)=-59，即cos[π2-(π3-2α)]＝sin(π3-2α)=-59．2(★★) 已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)，则cos(2α+7π12)=　 　． 【答案】 -31250 【解析】∵cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)．∴(α+π6)∈(0，π2)，(2α+π3)∈(0，π)．cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)-1=2×(35)2-1=-725．∴sin(2α+π3)=1-cos2(2α+π3)=2425．∴cos(2α+7π12)=cos(2α+π3+π4) =cos(2α+π3)cosπ4-sin(2α+π3)sinπ4 =-725×22-2425×22 =-31225．3(★★) 已知cos(θ+π6)=-33，则sin(π6-2θ)=　 　． 【答案】 -13 【解析】∵cos(θ+π6)=-33，∴sin(π6-2θ)=cos[π2-(π6-2θ)]=cos(2θ+π3)=2cos2(θ+π6)-1 =2(-33)2-1=-13．4(★★) 已知cosα=255，cos(β－α)=31010，且0<α<β<π2，则β=　 　． 【答案】 π4 【解析】由于0<α<β<π2，故0<β-α<π2，cosα=255．所以sinα=55．cos(β－α)=31010，所以sin(β-α)=1010，所以cosβ=cos[(β－α)+α]=cos(β－α)cosα－sin(β－α)sinα=22．所以β=π4．5(★★★) 已知π2<β<α<3π4，且cos(α－β)=1213，sin(α+β)=-35，求cos2α的值．【答案】 -3365 【解析】∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π2，π<α+β<3π2，∵cos(α－β)=1213，sin(α+β)=-35，∴sin(α－β)=1-(1213)2=513，cos(α+β)=-1-(-35)2=-45，则cos2α＝cos[(α－β)+(α+β)]＝cos(α－β)cos(α+β)－sin(α－β)sin(α+β) =1213×(-45)－(-35)×513=-3365．6(★★★) 设00，∵sinα=2tanα21+tan2α2=2x1+x2，cosα=1-tan2α21+tan2α2=1-x21+x2，∴sinα+2cosα=2x1+x2+2⋅1-x21+x2=2x+2-2x21+x2=2，即x+1-x2=1+x2，解得x=12.【点拨】本题利用万能公式，也可利用sinα+2cosα=2求出sinα,cosα，再求tanα得到tanα2.【典题2】在△ABC中，B=π4，则sinAsinC的最大值是 .【解析】方法一 两角和差公式、二倍角公式 sinAsinC=sinAsin(π-A-B)=sinAsin(3π4-A)=sinA(22cosA+22sinA) =24sin2A-24cos2A+24=12sin(2A-π4)+24 ∵00，则2kπ<θ<2kπ+π ,k∈Z，则kπ<θ2