2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习5.4 三角函数的图像与性质 (学生版+教师版)

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三角函数的图像与性质 1 周期函数一般地，对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.PS ①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！ ③ 三角函数就是典型的周期函数.2 正弦函数，余弦函数的图像与性质注 表中的k∈Z3 正切函数的图像与性质注 表中的k∈Z 【题型一】求解三角函数的性质性质1 周期性【典题1】 f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（ ) A.π2 B.π C.2π D.3π 【解析】fx+π2=sinx+π2+cosx+π2=cosx+|sinx|=f(x),故π2是y=f(x)的周期，由选项可知选A.【点拨】从定义出发：存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，则T叫做该函数的周期.【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是(　　)A．y=sin|x| B．y=cos|2x| C．y=|tanx| D．y=|sin2x|【解析】由图可知函数y=sin|x|不是周期函数，故A不正确；由于函数y=cos|2x|=cos2x的周期为2π2=π，故B不正确；由图可知函数y=|tanx|的周期T=π，故C不正确；由图可知函数y=|sin2x|的周期为T=π2，故D正确，故选：D．【点拨】① 函数fx=Asin(ωx+φ), fx=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2πω, 函数fx=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=πω；② 利用函数的对称变换与翻转变换，利用图象判断函数周期更容易些.性质2 对称性【典题1】 函数y=sin(2x+π3)的图象(　　)A．关于点(π6 , 0)对称 B．关于点(π3 , 0)对称 C．关于直线x=π6对称 D．关于直线x=π3对称【解析】方法1 对于函数y=sin(2x+π3)，(求出函数的所有对称轴和对称中心再判断)令2x+π3=π2+kπ，则x=π12+kπ2 , 则函数的对称轴是x=π12+kπ2(k∈N*)，若π12+kπ2=π6，解得k=16∉N*；若π12+kπ2=π3，解得k=12∉N*，故排除C , D；令2x+π3=kπ，则x=-π6+kπ2 , 则函数的对称中心是-π6+kπ2 , 0 (k∈N*)，若-π6+kπ2=π6，解得k=23∉N*，可排除A；若-π6+kπ2=π3，解得k=1∈N*，故关于点(π3 , 0)对称.故选：B．方法2 对于函数y=sin(2x+π3)，当x=π6时，2x+π3=2π3，而(2π3,0)不是正弦函数y=sinx的对称中心，故A错误；当x=π3时，2x+π3=π，而(π,0)是正弦函数y=sinx的对称中心，故B正确；当x=π6时，2x+π3=2π3，而x=2π3不是正弦函数y=sinx的对称轴，故C错误；当x=π3时，2x+π3=π，而x=π不是正弦函数y=sinx的对称轴，故D错误；故选：B．【点拨】本题两种方法，方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把ωx+φ看成整体)，再判断；方法2是把问题转化正弦函数y=sinx的性质判断；对于三角函数fx=Asinωx+φ+B① 若x=x0是其对称轴，则ωx0+φ是正弦函数y=sinx的对称轴；② 若(x0 , B)是其对称中心，则(ωx0+φ , B)满足函数y=Asinx+B的对称中心.对于三角函数fx=Acosωx+φ+B类似.【典题2】 已知函数f(x)=cos(3x+φ)(-π2<φ<π2)图象关于直线x=5π18对称，则函数f(x)在区间[0,π]上零点的个数为 .【解析】∵函数f(x)=cos(3x+φ)图象关于直线x=5π18对称，∴3×5π18+φ=kπ，(y=cosx的对称轴是x=kπ)∴φ=-5π6+kπ，k∈Z，由-π2<φ<π2知，k=1时，φ=π6，故f(x)=cos(3x+π6)，令f(x)=0得3x+π6=π2+kπ,k∈Z，∴x=π9+kπ3,k∈Z．因为x∈[0,π]，所以k=0,1,2时，φ=π9,4π9,7π9满足条件，故零点有三个． 性质3 单调性【典题1】 函数f(x)=3sin(2π3-2x)的一个单调递减区间是(　　)A．[7π12 , 13π12] B．[π12 , 7π12] C．[-π2 , π2] D．[-5π6 , π6]【解析】 (求出函数的全部减区间)解-π2+2kπ≤2π3-2x≤π2+2kπ得，π12-kπ≤x≤7π12-kπ(k∈Z)，k=0时，π12≤x≤7π12；k=1时，-11π12≤x≤-5π12；k=-1时，13π12≤x≤19π12，∴[π12 , 7π12]是f(x)的一个单调递减区间．故选：B．【点拨】① 复合函数的单调性：同增异减函数f(x)=3sin(2π3-2x)可看成y=3sinu与u=2π3-2x组成复合函数.因为u=2π3-2x是减函数，求函数f(x)=3sin(2π3-2x)的减区间，则把2π3-2x代入y=sinx的增区间[-π2+2kπ , π2+2kπ]求出x的范围.② 判断[7π12 , 13π12]是否f(x)=3sin(2π3-2x)的一个单调递减区间，也可以采取前面判断对称性的方法.具体想法如下 [7π12 , 13π12]是f(x)=3sin(2π3-2x)的一个单调递减区间 ⇔[7π12 , 13π12]是f(x)=3sin(2x-2π3)的一个单调递增区间 ⇔由7π12f(2)>f(3) B．f(3)>f(2)>f(1) C．f(2)>f(1)>f(3) D．f(1)>f(3)>f(2)【解析】(显然选项是由函数单调性作出判断)令-π2+2kπ<2x-π4<π2+2kπ，解得-π8+kπf(2)>f(3)．故选：A．性质4 最值【典题1】 若函数f(x)=cos(ωx-π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(x)在[0 , π4]上的值域为　 　．【解析】依题意得2πω=π2，∴ω=4．∵x∈[0 , π4]，∴4x-π3∈[-π3 , 2π3]，∴cos(4x-π3)∈[-12 , 1]，即fx的值域是[-12 , 1].【典题2】 已知函数f(x)=2cos(2x-π3)在[a-π4,a](a∈R)上的最大值为y1，最小值为y2，则y1-y2的取值范围是 . 【解析】函数f(x)=2cos(2x-π3)的周期为π，且对称轴为x=π6+kπ2，对称中心5π12+kπ,0，k∈Z，f(x)的图象大致如图所示；区间[a-π4,a]正好是函数14个周期，在一个周期内讨论就行，设a-π4,a的中点为P，由图可知，当点P落在对称轴上，即a-π8=π6时， y1=2，y2=2，此时y1-y2取得最小值为2-2；当点P落在对称中心上，即a-π8=5π12时， y1=2，y2=-2，此时y1-y2的值为22；∴y1-y2的取值范围是[2-2,22]．【点拨】① 对于正弦函数、余弦函数，由图可知，相对而言靠近对称轴位置，函数值变化较慢，而靠近对称中心位置函数值变化较快些.② 本题也属于“纵向距”问题，数形结合处理恰当.巩固练习1(★)下列函数中最小正周期为π的函数是(　　)A．y=sinx B．y=cos12x C．y=tan2x D．y=|sinx|【答案】 D 【解析】A、函数y=sinx的最小正周期T=2π，不满足条件；B、函数y=cos12x的最小正周期为T=2π12=4π，不满足条件；C、y=tan2x的最小正周期为T=π2，不满足条件；D、y=|sinx|的周期T=π，满足条件．故选：D．2(★) 下列函数中，关于直线x=-π6对称的是(　　)A．y=sin(x+π3) B．y=sin(2x+π3) C．y=cos(x+π3) D．y=cos(2x+π3)【答案】 D 【解析】将x=-π6代入y=cos(2x+π3)，得函数值为1，故x=-π6是y=cos(2x-π3)的一条对称轴，故选：D．3(★) 设函数f(x)=cos(2x-π3)，则下列结论错误的是(　　)A．f(x)的一个周期为-π B．y=f(x)的图象关于直线x=2π3对称 C．f(x+π2)的一个零点为x=-π3 D．f(x)在区间[π3 , π2]上单调递减【答案】 C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A、f(x)=cos(2x-π3)，其周期T=2π2=π，A正确；对于B、f(x)=cos(2x-π3)，令2x-π3=kπ，解可得x=kπ2+π6，即y=f(x)的对称轴为x=kπ2+π6，当k=1时，x=2π3，即y=f(x)的图象关于直线x=2π3对称，B正确；对于C、f(x+π2)=cos(2x+π-π3)=cos(2x+2π3)，当x=-π3时，f(x+π2)=cos0=1，则x=-π3不是f(x+π2)的零点，C错误；对于D、f(x)=cos(2x-π3)，2kπ≤2x-π3≤2kπ+π，解可得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，即函数f(x)的递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，则函数在[π6,2π3]上递减，又由[π3,π2]∈[π6，2π3]，则f(x)在区间[π3,π2]上递减，D正确；故选：C．4(★) 下列函数中，以π为周期且在区间(π2 , π)单调递增的是(　　)A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=|cosx| D．f(x)=|sinx| 【答案】 C 【解析】由于f(x)=|cos2x|的周期为12•2π2=π2，故A不满足条件；由于f(x)=|sin2x|的周期为12•2π2=π2，故B不满足条件；由于f(x)=|cosx|的最小正周期为12•2π=π，在区间(π2,π)上，f(x)=|cosx|=－cosx单调递增，故C满足条件；由于f(x)=|sinx|的最小正周期为12•2π=π，在区间(π2,π)上，f(x)=sinx单调递减，故D不满足条件，故选：C．5(★) 关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是(　　)A．f(x)的最小正周期为π2 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称 D．f(x)在每一个区间(kπ , kπ+π2)(k∈Z)内单调递增【答案】A 【解析】对于函数f(x)=|tanx|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A错误；又f(－x)=|tan(－x)|=|tanx|=f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，C正确；根据f(x)的图象知，f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增，D正确．故选：A．6 (★★) 下列函数中，以2π为周期，x=π2为对称轴，且在(0 , π2)上单调递增的函数是(　　)A．y=2|sinx|+sinx B．y=2cos(x+π2) C．y=sin(2x-π2) D．y=tan(x2+π4) 【答案】 A 【解析】∵y=sin(2x-π2)=－cos2x的周期为2π2=π，不满足条件，故排除A；∵y=cos(2x+π2)=－sin2x的周期为2π2=π，不满足条件，故排除B；对于y=2|sinx|+sinx=3sinx,x∈[2kπ,2kπ+π)-sinx,x∈[2kπ+π,2kπ+2π)，故函数的周期为2π，当x=π2时，y=3，为最大值，故函数x=π2为对称轴，且该函数在在(0,π2)上单调递增的函数，故C满足条件；由于y=tan(x2+π4)，当x=π2时，y不存在，故函数的图象不以x=π2为对称轴，故排除D，故选：C．7 (★★) 已知直线x=x1 , x=x2分别是曲线f(x)=2sin(x+π3)与gx=-cosx的对称轴，则f(x1-x2)=(　　)A．2 B．0 C．±2 D．±1 【答案】 C 【解析】由x+π3=kπ+π2得x=kπ+π6，即f(x)的对称轴为x=kπ+π6，k∈Z，y=－cosx的对称轴为x=k1π，k1∈Z，∵直线x=x1，x=x2分别是曲线f(x)与g(x)的对称轴，∴x1=kπ+π6，k∈Z，x2=k1π，k1∈Z，则x1－x2=kπ+π6-k1π=(k－k1)π+π6，k∈Z，k1∈Z，则f(x1x2)=2sin[(k－k1)π+π6+π3]=2sin[(k－k1)π+π2]=－2cos[(k－k1)π]=±2，故选：C．8 (★★) 关于函数f(x)=|sinx|+cosx有下述四个结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为-2；③f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(π4,π2)单调递增．其中所有正确结论的编号是(　　)A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】 B 【解析】函数f(x)=|sinx|+cosx，其中|sinx|的周期为π，cos2x的周期为2π，所以函数的最小正周期为2π，故函数为周期函数．①f(x)是周期函数；正确．②函数的最小值为－1，所以：f(x)的最小值为-2；错误．③由于f(－x)=f(x)，f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(π4,π2)单调递减．故错误．故选：B．9 (★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且关于(-π8,0)中心对称，则下列结论正确的是(　　)A．f(1)f(1)>f(2)，即f(2)0,0<φ≤π)是R上的奇函数，若f(x)的图象关于直线x=π4对称，且f(x)在区间[-π22,π11]内是单调函数，则f(π6)=(　　)A．-32 B．-12 C．12 D．32【答案】A 【解析】f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)是R上的奇函数，所以φ=kπ，k∈Z，当k=1时，φ=π．所以f(x)=sin(ωx+π)=－sinωx，由于f(π4)=－sin(π4ω)=±1，所以π4ω=kπ+π2(k∈Z)，整理得14ω=k+12，整理得ω=4k+2．当k=0时，ω=2，函数f(x)=－sin2x，由于x∈[-π22,π11]，所以2x∈[-π11,2π11]，故函数是单调递减函数．当k=1时ω=4+2=6，函数f(x)=－sin6x，由于x∈[-π22,π11]，所以6x∈[-3π11,6π11]，由于6x∈[-3π11,6π12]内单调，故函数不为单调函数．当k=2时，ω=10，函数f(x)在区间[-π22,π11]内也不是单调函数，所以f(x)=－sin2x，故f(π6)=-sinπ3=-32．故选：A．【题型二】根据三角函数性质求解参数的值或范围【典题1】 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx-π4)的图象在区间(π2 , π)上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是　 　.【解析】 由ωx-π4=kπ+π2，解得x=kπω+3π4ω，则y=f(x)的对称轴x=kπω+3π4ω , k∈Z，由y=f(x)在 (π2 , π)上有一条对称轴，则满足π20)在区间[-π3 , 5π6]上单调递减,则ω的取值范围为 . 【解析】 y=|cosx|的单调递减区间为[kπ , kπ+π2] , k∈Z，(注 由函数y=|cosx|图象易得)由kπ≤ωx+π3≤kπ+π2 , k∈Z，得kπ-π3ω≤x≤kπ+π6ω，即函数y=f(x)的单调递减区间为[kπ-π3ω，kπ+π6ω]，k∈Z，若f(x)在区间[-π3 , 5π6]上单调递减，则kπ-π3ω≤-π3且kπ+π6ω≥5π6，得ω≤65k+15ω≤-3k+1，k∈Z，∵ω>0 ∴k只能取0；当k=0时，ω≤15ω≤1，即0<ω≤15，即ω 的取值范围是(0 , 15]． 【点拨】本题先得到y=|cosx|的单调减区间再由复合函数单调性得到求出f(x)=|cos (ω x+π3)|的减区间[kπ-π3ω，kπ+π6ω]，k∈Z，根据题意肯定可得[-π3 , 5π6]⊆[kπ-π3ω，kπ+π6ω].【典题3】 已知函数f(x)=sin(ωx+π3)，(ω>0)在区间[-2π3，5π6]上是增函数，且在区间[0 , π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是 (　　)A．(0 , 15] B．[12 , 35] C．[16 , 15] D．[12 , 52)【解析】方法一 复合函数法 令u=ωx+π3，-2π3≤x≤5π6，则-2π3ω+π3≤u≤5π6ω+π3．∴函数y=sinu在区间[-2π3ω+π3 , 5π6ω+π3]上单调递增，∴[-2π3ω+π3, 5π6ω+π3]⊆[-π2 , π2]， ∴ω≤15．当0≤x≤π时，π3≤u≤πω+π3，∴函数y=sinu在区间[π3 , πω+π3]恰好取一次最大值1，∴π2≤πω+π3<5π2，∴16≤ω≤136．综上所知16≤ω≤15，故选C．方法二 特殊值法 当ω=12时，令u=x2+π3，-2π3≤x≤5π6，则0≤u≤3π4，则函数y=sinu在区间[0 , 3π4]上不单调，∴ω=12不合题意，排除BD．当ω=112时，令u=x12+π3，0≤x≤π , 则π3≤u≤5π12，则函数y=sinu在区间[π3 , 5π12]取不到最大值1，∴ω=112不合题意，排除A．故选：C．【点拨】根据三角函数性质求解参数的值或范围此类问题，往往都会限制函数在某个区间上的对称轴、单调性、最值等，此时最简单的想法就是先求出该函数的全部对称轴、单调区间等，再结合函数的图象判断求出来的对称轴、单调性等与区间端点的关系！巩固练习1(★★) 设f(x)=3sin(ωx-π12)+1，若f(x)在[-π3 , π6]上为增函数，则ω的取值范围是　 　．【答案】 (0,54] 【解析】设f(x)=3sin(ωx-π12)+1，在[-π3,π6]上，ωx-π12∈[-ωπ3-π12，ωπ6-π12]，由于f(x)为增函数，∴-ωπ3-π12≥-π2ωπ6-π12≤π2，即 ω≤54ω≤72，求得 0<ω≤54，故选：D．2(★★) 已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0 , π12)上单调递增，则ω的最大值是　 　.【答案】 4 【解析】由函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(0,π12)上单调递增，可得ω•π12+π6≤π2，求得ω≤4，故ω的最大值为4，3(★★) 设函数f(x)=sin(ωx+ϕ) , A>0 , ω>0 , 若f(x)在区间[π6 , π2]上单调，且f(π2)=f(2π3)=-f(π6)，则f(x)的最小正周期为　 　． 【答案】 π 【解析】函数f(x)=sin(ωx+ϕ)，A>0，ω>0，若f(x)在区间[π6,π2]上单调，则T2=πω≥π2-π6，∴0<ω≤3．∵f(π2)=f(2π3)=-f(π6)，∴x=π2+2π32=7π12为f(x)=sin(ωx+φ)的一条对称轴，且(π6+π22,0)即(π3,0)为f(x)=sin(ωx+φ)的一个对称中心，∴T4=14⋅2πω=7π12-π3=π4，解得ω=2∈(0,3]，∴T=2π2=π，4(★★★) 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(π4)=1，f(π2)=0，且f(x)在区间(π4 , π3)上单调，则ω取值的个数有　 个． 【答案】3 【解析】设函数的最小正周期为T，则T=2πω，∵f(π4)=1，f(π2)=0，∴π2-π4=2n-14T=2(2n-1)π4ω，n∈N*，即ω=2(2n－1)，n∈N*，又f(x)在区间(π4,π3)上单调，∴π3-π40)在区间[0 , π]上的值域为[-1,32]，则ω的取值范围为　 　．【答案】 [56,53]【解析】在区间[0,π]上，ωx+π6∈[π6,ωπ+π6]，f(x)=cos(ωx+π6)的值域为[－1，32]，∴ωπ+π6∈[π，11π6]，∴ωπ∈[5π6,5π3]，∴ω∈[56,53]. 【题型三】 综合解答题【典题1】 已知函数f(x)=sin(2x-π3)．(1)当x1∈(-π2 , -π3) , x2∈(0 , π6)时f(x1)+f(x2)=0，求x1-x2的值；(2)令Fx=fx-3，若对任意x都有F2x-(2+m)F(x)+2+m≤0恒成立，求m的最大值．【解析】(1)f(x1)+f(x2)=0，即为sin(2x1-π3)+sin(2x2-π3)=0 , 即有sin2x1-π3=-sin(2x2－π3)=sin(π3-2x2)，可得2x1-π3=2kπ+π3-2x2，或2x1-π3=2kπ+π－π3+2x2 , k∈Z，即有x1+x2=kπ+π3或x1-x2=kπ+π2 , k∈Z，由x1∈(-π2 , -π3) , x2∈(0 , π6)，可得x1-x2∈(-2π3 , -π3)，可得x1-x2=-π2；2Fx=fx-3 即Fx=sin2x-π3-3，令t=F(x)，可得t∈[-4 , -2]，对任意x都有F2x-(2+m)F(x)+2+m≤0恒成立，即为t2-(2+m)t+2+m≤0，t∈[-4 , -2]；则16+4(2+m)+2+m≤0 , 4+2(2+m)+2+m≤0，解得m≤-265，即m的最大值为-265．【点拨】① 若sinα=sinβ，则α=2kπ+β或α=2kπ+π-β② 第二问涉及恒成立问题，采取了二次函数零点的分布问题的方法即通过二次函数的图象分析便可求解.【典题2】 已知函数f(x)=sin2x+acosx+a , a∈R．(1) 当a=1时，求函数f(x)的最大值；(2) 如果对于区间[0 , π2]上的任意一个x，都有f(x)≤1成立，求a的取值范围．【解析】(1) 当a=1时，fx=-cos2x+cosx+2=-(cosx-12)2+94，∵cosx∈[-1 , 1]，∴当cosx=12，即x=2kπ±π3(k∈Z)时，[f(x)]max=94．(2) 依题得 sin2x+acosx+a≤1，即a(cosx+1)≤cos2x对任意x∈[0 , π2]恒成立．当x∈[0 , π2]时，0≤cosx≤1，则1≤cosx+1≤2，∴a≤cos2xcosx+1对任意x∈[0 , π2]恒成立．令t=cosx+1，则1≤t≤2，∴a≤(t－1)2t=t2－2t+1t=t+1t－2对任意1≤t≤2恒成立，于是a≤(t+1t-2)min．又∵t+1t-2≥0，当且仅当 t=1，即x=π2时取等号；∴a≤0．【点拨】第二问涉及恒成立问题，利用了分离参数法和换元法.巩固练习1(★★★) 已知函数f(x)=3sin(ωx－π6)(其中ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离为π．(1)求函数f(x)的图象的对称轴；(2)若函数y=fx-m在[0 , π]内有两个零点x1 , x2 , 求m的取值范围及cos(x1+x2)的值．【答案】 1x=kπ2+π3 , k∈Z； 2m∈-3 , -32∪-32 , 3 , cosx1+x2=12.【解析】 (1)∵已知函数f(x)=3sin(ωx－π6)(其中ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离2πω=π，∴ω=2，故函数f(x)=3sin(2x－π6)．令2x－π6=kπ+π2，k∈Z 得x=kπ2+π3，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2+π3,k∈Z．(2)由(1)可知函数f(x)=3sin(2x－π6)．∵x∈[0,π]，∴2x－π6∈[－π6,11π6]∴－3≤3sin(2x－π6)≤3，要使函数y=f(x)－m在[0,π]内有两个零点．∴－30)，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为π2．(1)求函数的单调区间和对称中心．(2)若关于x的方程2sin2x-mcosx-4=0在x∈(0 , π2)上有实数解，求实数m的取值范围．【答案】 1单调递增区间kπ-2π3 , kπ-π6 , 单调递减区间kπ-π6 , kπ+π3 , 对称中心为12kπ+π12 , 0 k∈Z， (2){m|m<-4}.【解析】(1)函数f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为π2．∴周期12T=π2，即T=π，那么2πω=π，可得ω=2．∴f(x)=cos(2x+π3)令2kπ－π≤2x+π3≤2kπ，k∈Z，可得：kπ－2π3≤x≤kπ－π6，∴可得函数的单调递增区间[kπ－2π3,kπ－π6],k∈Z，令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z，可得：kπ－π6≤x≤kπ+π3，∴可得函数的单调递减区间[kπ－π6,kπ+π3],k∈Z，令2x+π3=π2+kπ，可得：x=12kπ+π12，可得函数的对称中心为12kπ+π12,0 k∈Z，(2)方程2sin2x－mcosx－4=0在x∈(0,π2)上有实数解，∵sin2x=1－cos2x，∴2(1－cos2x)－mcosx－4=0，即2cos2x+mcosx+2=0，令t=cosx，∵x∈(0,π2)上， ∴t∈(0,1)，则2t2+mt+2=0在(0,1)上有解，m=－2(t+1t )，令 f(t)=t+1t)≥2t⋅1t=2，当且仅当t=1时，取等号．即－2(t+1t)≤－4．任取00．因此f(t)在(0,1)上单调递减，因此m<－2k(1)=－4，所以m范围{m|m<－4}． y=sinxy=cosx图像定义域RR值域[-1 , 1][-1 , 1]最值当x=π2+2kπ时，ymax=1；当x=-π2+2kπ时，ymin=-1.当x=2kπ时，ymax=1；当x=π+2kπ时，ymin=-1.周期性2π2π对称中心kπ , 0kπ+π2 , 0对称轴x=kπ+π2x=kπ单调性在-π2+2kπ , π2+2kπ上是增函数；在π2+2kπ , 3π2+2kπ上是减函数.在-π+2kπ , 2kπ上是增函数；在2kπ , π+2kπ上是减函数.y=tanx图像定义域xx≠kπ+π2 值域R最值既无最大值也无最小值周期性π对称中心kπ2 , 0对称轴无对称轴单调性在(kπ-π2 , kπ+π2)上是增函数