2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习5.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质 (学生版+教师版)

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函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质1 性质(1) 简谐运动可用函数y=Asinωx+φ，x∈[0,+∞)表示，A是振幅，周期T=2πω ，频率 f=1T=ω2π ，相位ωx+φ ，初相φ.(2) A,ω,φ对f(x)=Asinωx+φ的影响A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置. 2 函数的变换 (1) 平移变换① y=fx⟶ y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；② y=fx⟶y=fx± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).PS f(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)， 而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].(2) 伸缩变换① y=fx⟶ y=A fxA>0将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).② y=fx⟶ y=fω xω>0将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω>1缩短，ω<1伸长)；问题 怎么理解呢？例：若将fx=3sinx+π3图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那得到的函数是fx=3sin2x+π3还是fx=3sin12x+π3呢？解析 我们把fx=3sinx+π3的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T=2πω,T与ω成反比)，即变换后的函数应该是fx=3sin2x+π3. 【题型一】函数图象的变换【典题1】 将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)＝2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-2π3，2kπ+π3](k∈Z) C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3 D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0) 巩固练习1(★) 将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为(　　)A．y=sin(2x+π4) B．y=sin(12x+3π4) C．y=sin(12x+π4) D．y=sin(2x+3π4)2(★) 将函数f(x)=3sin(12x-φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(π3)=32，则φ=(　　)A．-π4 B．-π3 C．π6 D．π33(★★) 为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象(　　)A．向右平移π4个单位 B．向左平移π4个单位 C．向右平移π8个单位 D．向左平移π8个单位 4(★★) 已知函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y=sin(ωx+φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为(　　)A．3π4 B．π4 C．0 D．-π45(★★) 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f(x)的图象(　　)A．关于点(5π12,0)对称 B．关于直线x=π6对称 C．在[-π12，5π12]单调递增 D．在[π12,7π12]单调递减 6(★★★) 将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)=2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z) C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3 D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【题型二】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式【典题1】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分图象如图所示，下述四个结论：①ω=2；②φ=-π3；③f(x+π12)是奇函数；④f(x-π12)是偶函数中，其中所有正确结论的编号是 .【典题2】 已知函数f(x)=sin⁡(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(0)=f(29π)=-f(π3)，且f(x)在(π6, 4π9)上单调，则函数y=f(x)的解析式是 .巩固练习1(★) 函数f(x)=Asin( ωx+φ)(其中A>0, ω>0，|φ|<π2)的图象如图，则此函数表达式为 .2(★★) 如图，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(1,0)，∠PQR=π4，M为QR的中点，PM=342，则A的值为 .3 (★★) 已知函数f(x)=2sin⁡(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，点A0,3，B(π3,0)，则下列说法中错误的是(　　)A．直线x=π12是f(x)图象的一条对称轴 B．f(x)的图象可由g(x)=2sin2x向左平移π3个单位而得到 C．f(x)的最小正周期为π D．f(x)在区间(-π3，π12)上单调递增 4 (★★★) 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；(3)将f(x)的图象向左平移π6个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在x∈[0,7π6]上的最大值和最小值．5 (★★★) 如图是函数f(x)=A sin (ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π2)的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为π4，点F(0,1)是线段DM的中点．(1)求函数f(x)的解析式及[π,2π]上的单调增区间；(2)若x∈[-π12, 5π12]时，函数h(x)=f2(x)-af(x)+1的最小值为12,求实数a的值． 【题型三】三角函数模型的简单应用一 【典题1】已知函数f(x)=sin2x-23sinxcosx+sin(x+π4)sin(x-π4)．(1)求f(x)的最小值并写出此时x的取值集合；(2)若x∈[0 ,π]，求出f(x)的单调减区间.【典题2】已知函数f(x)=4sin2(π4+x2)sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)-1．(1)求f(x)的对称中心；(2)设常数ω>0，若函数y=f(ωx)在区间[-π2 ,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)-af(π2-x)-a]-1在区间[-π4 ,π2]上的最大值为2，求a的值． 【典题3】已知函数f(x)=sin4x+cos4x+asinxcosx(a∈R)．(1)当a=0时，求函数y=f(x)的单调减区间；(2)设方程fx-asin2x-1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x1、x2，求实数a的取值范围及x1+x2的值；(3)若对任意实数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．巩固练习 1(★★) 已知函数fx=3sinxcosx-sin2x．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调增区间；(3)求函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值． 2(★★) 已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx-cos2(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π．(1)求f(x)图象的对称轴方程；(2)将f(x)图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)，求函数g(x)在[0 ,π2]上的值域．3(★★★) 已知函数f(x)=12cos2x+sinxcosx，其中x∈R．(1)求使f(x)≥12的x的取值范围；(2)若函数g(x)=22sin(2x+3π4)，且对任意的0≤x10，-π2<φ<π2)，函数f(x)的图象经过点(-π12 ,1)且f(x)的最小正周期为π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的233倍，得到函数y=h(x)图象，令函数g(x)=h(x)+1，区间[a ,b](a ,b∈R且a