2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习5.4 三角函数的图像与性质 (学生版+教师版)

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三角函数的图像与性质 1 周期函数一般地，对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.PS ①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！ ③ 三角函数就是典型的周期函数.2 正弦函数，余弦函数的图像与性质注 表中的k∈Z3 正切函数的图像与性质注 表中的k∈Z 【题型一】求解三角函数的性质性质1 周期性【典题1】 f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（ ) A.π2 B.π C.2π D.3π 【解析】fx+π2=sinx+π2+cosx+π2=cosx+|sinx|=f(x),故π2是y=f(x)的周期，由选项可知选A.【点拨】从定义出发：存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，则T叫做该函数的周期.【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是(　　)A．y=sin|x| B．y=cos|2x| C．y=|tanx| D．y=|sin2x|【解析】由图可知函数y=sin|x|不是周期函数，故A不正确；由于函数y=cos|2x|=cos2x的周期为2π2=π，故B不正确；由图可知函数y=|tanx|的周期T=π，故C不正确；由图可知函数y=|sin2x|的周期为T=π2，故D正确，故选：D．【点拨】① 函数fx=Asin(ωx+φ), fx=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2πω, 函数fx=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=πω；② 利用函数的对称变换与翻转变换，利用图象判断函数周期更容易些.性质2 对称性【典题1】 函数y=sin(2x+π3)的图象(　　)A．关于点(π6 , 0)对称 B．关于点(π3 , 0)对称 C．关于直线x=π6对称 D．关于直线x=π3对称【解析】方法1 对于函数y=sin(2x+π3)，(求出函数的所有对称轴和对称中心再判断)令2x+π3=π2+kπ，则x=π12+kπ2 , 则函数的对称轴是x=π12+kπ2(k∈N*)，若π12+kπ2=π6，解得k=16∉N*；若π12+kπ2=π3，解得k=12∉N*，故排除C , D；令2x+π3=kπ，则x=-π6+kπ2 , 则函数的对称中心是-π6+kπ2 , 0 (k∈N*)，若-π6+kπ2=π6，解得k=23∉N*，可排除A；若-π6+kπ2=π3，解得k=1∈N*，故关于点(π3 , 0)对称.故选：B．方法2 对于函数y=sin(2x+π3)，当x=π6时，2x+π3=2π3，而(2π3,0)不是正弦函数y=sinx的对称中心，故A错误；当x=π3时，2x+π3=π，而(π,0)是正弦函数y=sinx的对称中心，故B正确；当x=π6时，2x+π3=2π3，而x=2π3不是正弦函数y=sinx的对称轴，故C错误；当x=π3时，2x+π3=π，而x=π不是正弦函数y=sinx的对称轴，故D错误；故选：B．【点拨】本题两种方法，方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把ωx+φ看成整体)，再判断；方法2是把问题转化正弦函数y=sinx的性质判断；对于三角函数fx=Asinωx+φ+B① 若x=x0是其对称轴，则ωx0+φ是正弦函数y=sinx的对称轴；② 若(x0 , B)是其对称中心，则(ωx0+φ , B)满足函数y=Asinx+B的对称中心.对于三角函数fx=Acosωx+φ+B类似.【典题2】 已知函数f(x)=cos(3x+φ)(-π2f(3)>f(2)【解析】(显然选项是由函数单调性作出判断)令-π2+2kπ