人教A版高中数学必修第一册第5章5-5-1第2课时两角和与差的正弦、余弦公式课时学案

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第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．(逻辑推理)2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(数学运算)你能借助公式C(α－β)推导出C(α＋β)吗？如何推导？如何实现正弦函数与余弦函数的转换，由此可以导出S(α＋β)吗？让我们一起进入今天的学习课堂．知识点　三个公式(1)两角和的余弦公式cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)．(2)两角和的正弦公式sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)；(3)两角差的正弦公式sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)．1．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin α＝________，sin α-π4＝________．[答案]　－45　－2102．(1)cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝________．(2)sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝________．[答案]　(1)12　(2)12 类型1　给角求值问题【例1】　(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为(　　)A．－32　　　B．－12　　　C．12　　　D．32(2)sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°＝________．(1)B　(2)2－3　[(1)法一：原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°)＝－cos 60°＝－12．法二：原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40°＝sin (40°－70°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－12．(2)原式＝sin15°-8°+cos15°sin8°cos15°-8°-sin15°sin8°＝sin15°cos8°-cos15°sin8°+cos15°sin8°cos15°cos8°+sin15°sin8°-sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝sin15°cos15°＝sin45°-30°cos45°-30°＝6-246+24＝2－3．]　解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式．[跟进训练]1．求值：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝________；(2)sin 15°＋sin 75°＝________．(1)12　(2) 62　[(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin (14°＋16°)＝sin 30°＝12．(2)sin 15°＋sin 75°＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2sin 45°cos 30°＝62．] 类型2　给值求值问题【例2】　已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角．求cos (α＋β)、sin (α－β)的值．[解]　因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝35，cos β＝－513，所以cos α＝45，sin β＝1213．所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×-513－35×1213＝－5665．所以 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35×-513－45×1213＝－6365．[母题探究]若本例条件不变，求sin (α＋β)的值．[解]　由本例可知sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×-513＋45×1213＝3365．　给值求值问题的解题策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[跟进训练]2．(源自苏教版教材)已知cos (α＋β)＝513，cos β＝45，α，β均为锐角，求sin α的值．[解]　由α，β均为锐角，可知0°<α＋β<180°，从而sin β>0，sin (α＋β)>0．由cos (α＋β)＝513，得sin (α＋β)＝1-cos2α+β＝1-5132＝1213．由cos β＝45，得sin β＝1-cos2β＝1-452＝35．由公式S(α－β)，可得sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)·sin β＝1213×45－513×35＝3365． 类型3　给值求角问题【例3】　已知sin α＝55，sin β＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值．[解]　因为α和β均为钝角，sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝－1-sin2α＝－255，cos β＝－1-sin2β＝－31010．由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝-255×-31010－55×1010＝22．所以α＋β＝7π4．　已知三角函数值求角的方法已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为0，π2，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是-π2，π2，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好．[跟进训练]3．若sin α＝－17，cos β＝3314，且α∈-π2，0，β∈0，π2，求α＋β的值．[解]　因为α∈-π2，0，β∈0，π2，且sin α＝－17，cos β＝3314，所以cos α＝437，sin β＝1314，因此sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－17×3314＋437×1314＝32，又因为α∈-π2，0，β∈0，π2，所以α＋β∈-π2，π2，故α＋β＝π3．1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　)A．12　　　B．－12　　　C．32　　　D．－32D　[原式＝sin (21°－81°)＝－sin 60°＝－32．故选D．]2．sin 105°的值为(　　)A．3+22　　B．2+12　　C．6-24　　D．2+64D　[sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2+64．故选D．]3．化简：sin α+π3cos α－cos α+π3sin α＝________．32　[原式＝sin α+π3-α＝sin π3＝32．]4．若cos α＝－513，α∈π2，π，则cos α+π6＝________．－53+1226　[因为cos α＝－513，α∈π2，π，所以sin α＝1-cos2α＝1--5132＝1213，所以cos α+π6＝cos αcos π6－sin αsin π6＝－513×32－1213×12＝－53+1226．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α＋β)，S(α－β)间存在怎样的联系？[提示]　2．根据三角函数值求角时，一般的步骤是什么？[提示]　根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．课时分层作业(五十三)　两角和与差的正弦、余弦公式一、选择题1．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于(　　)A．12　　　B．－12　　　C．0　　　D．1C　[原式＝cos (75°＋15°)＝0．]2．(2022·江苏扬州中学月考)已知α，β为锐角，且sin β＝35，cos (α＋β)＝－513，则sin α的值为(　　)A．6365　　　B．3365　　　C．－4865　　　D．4865A　[因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，因为cos (α＋β)＝－513，所以sin (α＋β)＝1-25169＝1213，因为sin β＝35，所以cos β＝1-sin2β＝45，故sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝1213×45＋513×35＝6365．故选A．]3．(2022·陕西蒲城县蒲城中学月考)已知A，B∈(0，π)，且cos A＝55，cos B＝－31010，则A＋B＝(　　)A．3π4　　　B．5π3　　　C．5π4　　　D．7π4C　[因为A，B∈(0，π)，且cos A＝55>0，cos B＝－31010<0，所以A∈0，π2，B∈π2，π，所以A＋B∈π2，3π2，因为sin2A＋cos2A＝1，sin2B＋cos2B＝1，所以sinA＝255，sin B＝1010，所以sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝255×-31010＋55×1010＝－22，所以A＋B＝5π4，故选C．]4．若sin π6-α＝cos π6+α，则tan α＝(　　)A．－1　　　B．0　　　C．12　　　D．1A　[由已知得12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，因此1-32sin α＝3-12cos α，于是tan α＝－1．]5．(多选)(2022·江苏沛县一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，若点A、B的坐标分别为35，45和-45，35，则以下结论正确的是(　　)A．cos α＝35 B．cos β＝35C．cos (α＋β)＝0 D．cos (α－β)＝0AD　[由三角函数定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35，A正确，B错误；cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×-45－45×35＝－2425，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×-45＋45×35＝0，C错误，D正确．故选AD．]二、填空题6．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β＝________．±1　[由已知得cos (α＋β)＝0，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin (α＋β)＝±1．]7．已知cos (α＋β)＝45，cos (α－β)＝－45，则cos αcos β＝________．0　[由题意可知cosαcosβ-sinαsinβ=45，　　①cosαcosβ+sinαsinβ=-45，　②①＋②得2cos αcos β＝0，∴cos αcos β＝0．]8．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝________．－12　[由题意可知sinα+cosβ=1，①cosα+sinβ=0，②①2＋②2得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin (α＋β)＝－12．]三、解答题9．已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝45，β是第三象限角，求sin β+π4的值．[解]　∵sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝sin (α－β－α)＝sin (－β)＝－sin β＝45，∴sin β＝－45，又β是第三象限角，∴cos β＝－1-sin2β＝－35，∴sin β+π4＝sin βcos π4＋cos βsin π4＝-45×22＋-35×22＝－7210．10．在△ABC中，如果sin A＝2sin C cos B，那么这个三角形是(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形C　[由sin A＝2sin C cos B可知sin [π－(B＋C)]＝2sin C cos B，∴sin (B＋C)＝2sin C cos B，∴sin B cos C－cos B sin C＝0，∴sin (B－C)＝0，即B＝C，即△ABC为等腰三角形．故选C．]11．(2022·贵州贵阳一中月考)已知sin α-π4＝24，则sinα1-tanα的值为(　　)A．－34 　B．34　　　C．－316　　　D．316A　[由sin α-π4＝24，得22sinα-cosα＝24，∴sin α－cos α＝12，所以1－2sin αcos α＝14，∴sin αcos α＝38，所以sinα1-tanα＝sinα1-sinαcosα＝sinαcosαcosα-sinα＝－34．故选A．]12．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α+π4sin β，则(　　)A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1C　[由sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2sin α+β+π4＝2sin α+π4+β＝2sin α+π4cos β＋2cos α+π4sin β，根据已知条件，得2sin α+π4cos β＝2cos α+π4sin β，故sin α+π4cos β－cos α+π4sin β＝0，即sin α+π4-β＝0，故sin α-β+π4＝22sin (α－β)＋22cos (α－β)＝0，故sin (α－β)＝－cos (α－β)，故tan (α－β)＝－1，故选C．]13．已知0<α<π2，将角α的终边逆时针旋转π6，所得的角的终边交单位圆于P-13，y，则sin α＝________．26+16　[由题意可知，α＋π6的终边交单位圆于P-13，y，所以19＋y2＝1，则y＝±223．又因为0<α<π2，所以π6<α＋π6<2π3，所以y＝223，所以sin α+π6＝223，cos α+π6＝－13，所以sin α＝sin α+π6-π6＝223×32－-13×12＝26+16．]14．若sin 3π4+α＝513，cos π4-β＝35，且0＜α＜π4＜β＜3π4，求cos (α＋β)的值．[解]　∵0＜α＜π4＜β＜3π4，∴3π4＜3π4＋α＜π，－π2＜π4－β＜0．又sin 3π4+α＝513，cos π4-β＝35，∴cos 3π4+α＝－1213，sin π4-β＝－45，∴cos (α＋β)＝sin π2+α+β＝sin3π4+α-π4-β＝sin 3π4+αcos π4-β－cos 3π4+αsin π4-β＝513×35－-1213×-45＝－3365．15．已知α，β∈0，π2，cos α＝45，cos (α＋β)＝35．(1)求sin β的值；(2)求2α＋β的值．[解]　(1)∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，则sin α＝1-cos2α＝35，sin (α＋β)＝1-cos2α+β＝45，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝45×45－35×35＝725．(2)cos (2α＋β)＝cos [(α＋β)＋α]＝cos (α＋β)cos α－sin αsin (α＋β)＝35×45－35×45＝0．由α，β∈0，π2，得2α＋β∈0，3π2，∴2α＋β的值为π2．