人教A版高中数学必修第一册第5章5-5-1第3课时两角和与差的正切公式课时学案

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第3课时　两角和与差的正切公式1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(逻辑推理)2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(数学运算)3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(数学运算)根据同角三角函数的商数关系tan θ＝sinθcosθ，怎样由sin (α＋β)以及cos (α＋β)的公式将tan (α＋β)用tan α，tan β来表示？如何将tan (α－β)用tan α，tan β来表示？知识点　两角和与差的正切公式T(α±β)体现了tan αtan β与tan α±tan β的内在联系．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立． (　　)(2)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ都成立． (　　)[答案]　(1)√　(2)×2．(1)已知tan α＝2，则tan α+π4＝________；(2)tan56°-tan26°1+tan56°tan26°＝________．[答案]　(1)－3　(2)33 类型1　公式的正用、逆用【例1】　(源自人教B版教材)求下列各式的值．(1)tan 75°；(2)tan17°+tan43°1-tan17°tan43°；(3)1-tan15°1+tan15°．[解]　(1)tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan45°+tan30°1-tan45°tan30°＝1+331-33＝2＋3．(2)tan17°+tan43°1-tan17°tan43°＝tan (17°＋43°)＝tan 60°＝3．(3)因为tan 45°＝1，所以1-tan15°1+tan15°＝tan45°-tan15°1+tan45°tan15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33．　公式T(α±β)的正用、逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan π4+α＝1+tanα1-tanα，tan π4-α＝1-tanα1+tanα之间的互化或变形．[跟进训练]1．(1)若tan α＝13，tan (α＋β)＝12，则tan β＝(　　)A．17 　　　B．16　　　C．57 　　　D．56(2)计算：3-tan15°1+3tan15°＝________．(1)A　(2)1　[(1)tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tanα+β-tanα1+tanα+βtanα＝17．(2)原式＝tan60°-tan15°1+tan60°tan15°＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1．] 类型2　公式的变形应用【例2】　求值：(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°；(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)．[解]　(1)∵tan 67°－tan 22°＝tan (67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°，∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1．(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2．[母题探究]1．将例2(1)中的角同时增加1°结果又如何？[解]　∵tan 45°＝tan (68°－23°)＝tan68°-tan23°1+tan68°tan23°，∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1．2．能否为例2(1)归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解]　一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1．证明：∵tan 45°＝tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ，∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，即tan α－tan β－tan αtan β＝1．　两角和的正切公式的常见4种变形(1)tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)．(2)1－tan αtan β＝tanα+tanβtanα+β．(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)．(4)tan αtan β＝1－tanα+tanβtanα+β．[跟进训练]2．若α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．[解]　∵α＋β＝45°，∴tan (α＋β)＝tan 45°＝1．∴原式＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋tan (α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2． 类型3　公式的综合应用【例3】　(源自苏教版教材)如图，有三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝π4．[证明]　由题图可知tan α＝12，tan β＝13，从而得tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝12+131-12×13＝1．因为α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)．在区间(0，π)内，正切值为1的角只有1个，即tan π4＝1．故α＋β＝π4．　探究利用公式T(α±β)求角的步骤(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值．(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．[跟进训练]3．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为210，255．求：(1)tan (α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．[解]　(1)由条件得cos α＝210，cos β＝255．∵α，β为锐角，∴sin α＝1-cos2α＝7210，sin β＝1-cos2β＝55．因此tan α＝sinαcosα＝7，tan β＝sinβcosβ＝12．∴tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanα·tanβ＝7+121-7×12＝－3．(2)∵tan 2β＝tan (β＋β)＝2tanβ1-tan2β＝2×121-122＝43，∴tan (α＋2β)＝tanα+tan2β1-tanα·tan2β＝7+431-7×43＝－1．∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4．1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan (α－β)等于(　　)A．3　　　B．－3　　　C．13　　　D．－13C　[tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ＝3-431+3×43＝13．故选C．]2．与1-tan21°1+tan21°相等的是(　　)A．tan 66° B．tan 24°C．tan 42° D．tan 21°B　[原式＝tan45°-tan21°1+tan45°tan21°＝tan (45°－21°)＝tan 24°．]3．已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为(　　)A．π4　　　B．3π4　　　C．π3　　　D．2π3B　[因为sin α＝55，且α为锐角，所以cos α＝255，tan α＝12，所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝12-31-12×-3＝－1．又α＋β∈π2，3π2，故α＋β＝3π4．]4．计算tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝________．1　[由tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ的变形tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)得：tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能分析一下T(α±β)公式的特征吗？[提示]　公式的右边为分式形式，其中分子为tan α，tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反．符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？当式子中同时出现这些关系中的几个时常怎么处理？[提示]　揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式．课时分层作业(五十四)　两角和与差的正切公式一、选择题1．(2022·湖北丹江口市第一中学月考)若tan α＝32，则tan π3-α＝(　　)A．－35 　B．0　　　C．33　　　D．35D　[tan π3-α＝tan π3-tanα1+tan π3tanα＝3-321+3×32＝35．故选D．]2．(2022·吉林东北师大附中月考)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°的值为(　　)A．33　　　B．3　　　C．1　　　D．－3B　[∵tan 60°＝tan 10°+50°＝tan10°+tan50°1-tan10°tan50°＝3，∴tan 10°＋tan 50°＝3－3tan 10°tan 50°，∴tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝3．故选B．]3．(2022·四川成都期中)若tan α，tan β是方程2x2＋3x－7＝0两个实数根，则tan (α＋β)＝(　　)A．－13　　　B．B．13　　　C．－32　　　D．25A　[由根与系数的关系得：tan α＋tan β＝－32，tan α·tan β＝－72，所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanα·tanβ＝-321+72＝－13．故选A．]4．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝(　　)A．3m B．3(1－m)C．3(m－1) D．3(m＋1)B　[∵28°＋32°＝60°，∴tan 60°＝tan (28°＋32°)＝tan28°+tan32°1-tan28°tan32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－m)．]5．(多选)(2022·辽宁实验中学期中)若tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β的值可能为(　　)A．π3　　　B．π6　　　C．－2π3　　　D．－5π6AC　[由题意得tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝3，所以α＋β＝π3＋kπk∈Z，所以α＋β的值可能为π3，－2π3．故选AC．]二、填空题6．(2022·湖南衡阳期末)已知角α的终边经过点(－2，3)，则tan α+π3＝________．35　[由题意得tan α＝－32，tan α+π3＝-32+31+32×3＝35．]7．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β＝________．12　[∵tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝4，且tan α＋tan β＝2，∴21-tanαtanβ＝4，解得tan αtan β＝12．]8．若tan β＝3，tan (α－β)＝－2，则tan α＝________．17　[tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tanα-β+tanβ1-tanα-βtanβ＝-2+31--2×3＝17．]三、解答题9．(源自北师大版教材)已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2<β<π．求：(1)tan (α－β)；(2)α＋β．[解]　(1)tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ＝2--131+2×-13＝7．(2)tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝2+-131-2×-13＝1．因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2．由于在π2与3π2之间，只有5π4的正切值等于1，故α＋β＝5π4．10．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为(　　)A．222　　　B．223　　　C．224　　　D．225B　[若α＋β＝45°，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋tan (α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1＋tan 45°(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2．∴(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝223．故选B．]11．(多选)已知tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则(　　)A．tan α＋tan β＝33 B．tan (α＋β)＝3C．tan α·tan β＝4 D．α＋β＝－2π3BCD　[由题意可知tanα+tanβ=-33，tanαtanβ=4，　　　∴tan (α＋β)＝-331-4＝3．又tan α<0，tan β<0，∴α，β∈-π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3，故选BCD．]12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，下列各式中正确的是(　　)A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－3C．tan A＝tan B D．cos B＝3sin ACD　[∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，∴tan (A＋B)＝3，∴选项A，B错误；∵tan A＋tan B＝3(1－tan A·tan B)＝233，∴tan A·tan B＝13，①又tan A＋tan B＝233，②∴联立①②解得tan A＝tan B＝33，∴cos B＝3sin A，故选项C，D正确．]13．(2022·河北石家庄二中月考)设α，β∈0，π2，sin αcos β＝3sin βcos α，则α－β的最大值为________．π6　[由sin αcos β＝3sin βcos α可得tan α＝3tan β，因为α，β∈0，π2，所以tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ＝2tanβ1+3tan2β＝23tanβ+1tanβ≤223tanβ·1tanβ＝33，当且仅当3tan β＝1tanβ，即tan β＝33，tan α＝3时取等号，此时α－β取得最大值π6．]14．已知在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B＝tan A tan B－1，试判断△ABC的形状．[解]　∵3tan A＋3tan B＝tan A tan B－1，∴3(tan A＋tan B)＝tan A tan B－1，∴tanA+tanB1-tanAtanB＝－33，∴tan (A＋B)＝－33．又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝5π6，∴C＝π6．∵tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，tan C＝33，∴tan B＋33＋tan B＝3，tan B＝33，∴B＝π6，∴A＝2π3，∴△ABC为等腰钝角三角形．15．是否存在两个锐角α和β使得两个条件：①α＋β＝2π3，②tan α2tan β2＝2－3同时成立，若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．[解]　假设存在两个锐角α和β，使得两个条件①α＋β＝2π3，②tan α2tan β2＝2－3同时成立，由α2＋β2＝π3，可得tan α2+β2＝3，即tan α2+tan β21-tan α2tan β2＝3，∵tan α2tan β2＝2－3，∴tan α2+tan β21-2-3＝3，化简得tan α2＋tan β2＝3－3，由tan α2+tan β2=3-3，tan α2·tan β2=2-3 联解，可得tan α2=1， tan β2=2-3或tan α2=2-3，tan β2=1． ∵α，β∈(0，π)，∴α2=π4，β2=π12 或α2=π12，β2=π4， 即α=π2，β=π6 或α=π6，β=π2，这与α和β都是锐角矛盾，因此不存在两个锐角α和β使得两个条件：①α＋β＝2π3，②tan α2tan β2＝2－3同时成立．名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)且tan α·tan β≠1两角差的正切T(α－β)tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβα，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tan α·tan β≠－1