高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用课堂检测

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2．D [由图象可得，ω>0，T＝4×1800＝1200，即2πω＝1200，则ω＝400π．]
3．A [由题意得1＝2sin φ，∴sin φ＝12，
又∵|φ|<π2，∴φ＝π6．又T＝2ππ3＝6，故选A．]
4．C [雨棚横截面正弦曲线振幅为A，则雨棚的最低点到地面的距离为H－A，雨棚的最高点到地面的距离为H＋A，由题意有H－A≥23(H＋A)，解得A≤H5，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为H5．故选C．]
5．BCD [对于A选项，血压p(t)的最小正周期为2ππ6＝12，A错误；对于B选项，下午3点时，即t＝9，可得p(9)＝116＋22sin 3π2+π3＝116－22cs π3＝105，B正确；对于C选项，因为p(t)max＝116＋22＝138<140，p(t)min＝116－22＝94≥90，所以，当天小王有高血压，C正确；对于D选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为p(t)max－p(t)min＝138－94＝44，D正确．故选BCD．]
6．20．5 [由题意可知A＝28-182＝5，a＝28+182＝23．从而y＝5cs π6x-6＋23．故10月份的月平均气温值为y＝5cs π6×4＋23＝20.5．]
7．y＝－6sin π6x，x∈[0，24] [设y与x的函数关系式为y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝2πω＝12，ω＝π6．
又当x＝9时，ymax＝6，
故π6×9＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z．
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sin π6x，x∈[0，24]．]
8．g4π2 [由已知得2πgl＝1，所以gl＝2π，gl＝4π2，l＝g4π2．]
9．[解] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃．所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃．
(2)令10sin π8x-5π4＋20＝15，
可得sin π8x-5π4＝－12．
而x∈[4，16]，所以－3π4≤π8x－5π4≤3π4，
所以π8x－5π4＝－π6，所以x＝263．
令10sin π8x-5π4＋20＝25，
可得sin π8x-5π4＝12，而x∈[4，16]，
所以x＝343．故该细菌的存活时间为343－263＝83小时．
10．B [设t1时开始开放，t2时开始闭合，则20－10sin π8t1-π8＝20，又t1∈[5，17]，∴π2≤π8t1－π8≤2π，解得t1＝9.20－10sin π8t2-π8＝28，
∴sin π8t2-π8＝－45，由sin 3π10≈0.8得sin 13π10≈－45，∴π8t2－π8＝13π10，∴t2＝575，∴t2－t1＝125＝2.4．故选B．]
11．C [当x＝1时图象处于最低点，当x＝7时图象处于最高点．又当x∈[1，7]时，函数y是单调递增的，x∈[7，12]时，函数y是单调递减的，且易知a＝-5.9+22.82＞0．故选C．]
12．C [令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin θ2＝d2，∴d＝2sin θ2＝2sin l2，
即d＝f (l)＝2sin l2(0≤l≤2π)，故选C．]
13．ACD [依题意A>0，ω>0，0<φ<π，
根据图象可知2A=30-10b=20 ⇒A=10，b=20，
f (x)＝10sin (ωx＋φ)＋20，
根据图象可知T2＝14－6＝8，T＝16，ω＝2πT＝2π16＝π8，B选项错误；
f (x)＝10sin π8x+φ＋20，
f (6)＝10sin 3π4+φ＋20＝10，
sin 3π4+φ＝－1，
因为0<φ<π，所以3π4<3π4＋φ<7π4，
所以3π4＋φ＝3π2⇒φ＝3π4，A选项正确；
f (x)＝10sin π8x+3π4＋20．
f (x＋8)＝10sin π8x+8+3π4＋20
＝10sin π8x+3π4+π＋20
＝－10sin π8x+3π4＋20，
所以f (x)＋f (x＋8)＝40，C选项正确；
g(x)＝f (x＋m)＝10sin π8x+m+3π4＋20
＝10sin π8x+π8m+3π4＋20是偶函数，
所以π8m＋3π4＝kπ＋π2，k∈Z，m＝8k－2，k∈Z，所以当k＝0时，m的最小值为2，D选项正确．故选ACD．]
14．[解] (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为2π300 t＝π150 t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin π150 t＋12(t≥0)．
(2)由10sin π150t＋12≥17，得sin π150t≥12，
则25≤t≤125，
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m．
15．[解] (1)由题意得：A＝7-32＝2，k＝7+32＝5，T＝2×(8－2)＝12＝2πω，∴ω＝π6．
当x＝2时最大，∴2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，
又φ∈-π2，π2，
∴φ＝π6，
∴f (t)＝2sin π6t+π6＋5，t∈[0，24)．
(2)(ⅰ)由题意得2sin π6t+π6＋5>4.5＋1.5，
即 sin π6t+π6≥12，
∴2kπ＋π6≤π6t＋π6≤2kπ＋5π6，k∈Z，
解得12k≤t≤12k＋4，k∈Z．
∵t∈[0，24)，
∴k＝0或k＝1．
∴0≤t≤4或12≤t≤16，
∴该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口．
(ⅱ)空载时水深至少要4米，由2sin π6t+π6＋5≥2.5＋1.5得：sin π6t+π6≥－12，∴2kπ－π6≤π6t＋π6≤2kπ＋7π6，k∈Z．∴12k－2≤t≤12k＋6，k∈Z．
又t∈[0，24)，∴0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t≤24．
因为6－0.5＝5.5，
所以最多滞留到五点半可确保安全离港．