11.2.1.2 直角三角形的性质和判定（同步课件）-人教版初中数学八年级上册

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复习回顾三角形定义三角形三角形性质定义：有一个角是直角的三角形.情景导入思考：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度?30° + 60° = 90°45° + 45° = 90°新知探究思考：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°， 由三角形内角和定理， 可得：∠A+∠B=90°.新知探究应用格式：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∴∠A +∠B = 90°．　直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC．典例精析例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则∠BCD =______.40°解：在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠B=50°,在Rt△BDC中，∠B+∠BCD+∠BDC=180°∴∠BCD=40°.新知探究思考：从以上例题中我们能得到什么启发？如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则∠BCD =______.40°事实上，在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，在Rt△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°因此，∠B=∠ACD，同理可得，∠A=∠BCD.典例精析例2如图,在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，则∠AHC=______.130°在 Rt△EBC 中，∠B+ ∠BCH= 90°.∴∠CHD= ∠B=50°，解：∵AD、CE是△ABC 的高， ∴∠CEB=∠CDA=90°，在 Rt△HDC 中，∠CHD+ ∠BCH= 90°.∴∠AHC=180°-∠CHD= 130°.新知探究思考：从以上例题中我们能得到什么启发？证明：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E， ∴∠BEA =∠BDF = 90°. ∴∠ABE +∠A = 90°， ∠ABE +∠DFB = 90°. ∴∠A =∠DFB. ∵∠DFB +∠BFC = 180°， ∴∠A +∠BFC = 180°.如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F，∠A 与∠BFC 有如下关系：∠A +∠BFC = 180°.典例精析例3如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° - ∠AEC.在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° -∠BED.∵∠AEC = ∠BED，∴∠CAE = ∠DBE.解：∠CAE = ∠DBE. 理由如下：新知探究思考：从以上例题中我们能得到什么启发？新知探究事实上，这是一个条件更多的“八字型”.证明：∵∠B = ∠D = 90°，∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°.∵∠AOB = ∠COD，∴∠A = ∠C.如图，∠B =∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，则∠A =∠C .O归纳总结∠A =∠C∠A =∠D典例精析例4 如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么△ABC直角三角形吗？解：△ABC 是直角三角形，理由如下：在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 而∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°，即△ABC 是直角三角形.归纳总结ABC应用格式：在△ABC 中，∵∠A +∠B = 90°，∴△ABC 是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形.　　典例精析例5如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？解：△AHC是直角三角形，理由：∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°.∵AH，CH分别为∠CAB，∠ACD的平分线，∴∠CAH+∠ACH=90°.∴∠AHC=90°，即△AHC是直角三角形.典例精析例6如图，∠C = 90°，∠1 = ∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？在 Rt△ABC 中，∠2 + ∠A = 90°.∵∠1 = ∠2， ∴∠1 + ∠A = 90°，即 △ADE 是直角三角形.解：△ADE 是直角三角形. 理由如下：归纳总结直角三角形当堂检测1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B2. 具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 （ 　　）  A．∠A + ∠B = ∠C B．∠A - ∠B = ∠C C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 D．∠A = 2∠B = 3∠C D3. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°， CD⊥AB，则与∠1 互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD C当堂检测6. 在△ABC 中，若∠A = 43°，∠B = 47°，则这个三角形是____________.4. 如图，一张长方形纸片，剪去一角后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是______.90°5. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若∠BOD = 38°，则∠A = _____°.52第4题图第5题图直角三角形当堂检测7.如图，在△ABC中，已知∠B= ∠A= ∠C.求证:△ABC为直角三角形.