人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算课时训练

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知识精讲
知识点01 向量加法的定义及其运算法则
1．向量加法的定义
求 的运算，叫做向量的加法．
2．向量求和的法则
的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型， 的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型．
【即学即练1】化简 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
知识点02 向量加法的运算律
【即学即练2】[多选]如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
知识点03 向量加法的实际应用
【即学即练3】在静水中船的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，水流的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
能力拓展
考法01 向量的加法法则
【典例1】已知在边长为2的等边 SKIPIF 1 < 0 中，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
考法02 相等加法运算律的应用
【典例2】如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值.
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
2．下列说法错误的是（ ）
A．向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 长度相等B．单位向量都相等
C． SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
3．如图所示，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4． SKIPIF 1 < 0 中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．若 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0
B．若两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是互为相反向量
C． SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合
D．模为 SKIPIF 1 < 0 是一个向量方向不确定的充要条件
8．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．模为 SKIPIF 1 < 0 是一个向量方向不确定的充要条件
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0
C．若两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是互为相反向量
D． SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合
9．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积比为___________．
10．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，E为 SKIPIF 1 < 0 中点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
11．向量的和、向量的加法：已知向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，______________，则向量 SKIPIF 1 < 0 叫作 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的和，记作：____________．求两个向量_________的运算叫作向量的加法．
12．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的点且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ______．
题组B 能力提升练
1．若非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．若非零不共线的向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4． SKIPIF 1 < 0 为非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相同B． SKIPIF 1 < 0 是共线向量且方向相反
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 无论什么关系均可
5．（多选）下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量 SKIPIF 1 < 0 的相反向量是 SKIPIF 1 < 0
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足关系 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线
6．（多选）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．一架救援直升飞机从 SKIPIF 1 < 0 地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达 SKIPIF 1 < 0 地，再由 SKIPIF 1 < 0 地沿正北方向飞行40 km到达 SKIPIF 1 < 0 地，求此时直升飞机与 SKIPIF 1 < 0 地的相对位置.
8．在静水中船的速度是 SKIPIF 1 < 0 ，水流的速度是 SKIPIF 1 < 0 .如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
题组C 培优拔尖练
1．如图，D，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（多选）在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列等式中成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（多选）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（其中 SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，当线段 SKIPIF 1 < 0 取最小值时 SKIPIF 1 < 0 ____ SKIPIF 1 < 0 ____
6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 SKIPIF 1 < 0 ，风速是 SKIPIF 1 < 0 ；水的流向是正东方向，流速是 SKIPIF 1 < 0 ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东___________，大小是____________ SKIPIF 1 < 0 ．
7.如图，小船要从 SKIPIF 1 < 0 处沿垂直河岸 SKIPIF 1 < 0 的方向到达对岸 SKIPIF 1 < 0 处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.
8．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为 SKIPIF 1 < 0 .如果此船实际向南偏西 SKIPIF 1 < 0 方向行驶 SKIPIF 1 < 0 ，然后又向西行驶 SKIPIF 1 < 0 ，你知道此船在整个过程中的位移吗?
课程标准
课标解读
理解并掌握向量加法的概念.
掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．
1、通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与数量加法的异同.
2、熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两个向量的加法运算.
3、.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广.
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则．
对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量eq \(OC,\s\up6(→))(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)